Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN52Satz 6.18 (Resolventengleichung). Sei A ein abgeschlossener Operator, und seien λ, µ ∈ ρ(A).Dann giltR(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A).Insbesondere gilt R(λ, A)R(µ, A) = R(µ, A)R(λ, A).Beweis. Es giltR(λ, A) − R(µ, A) = R(λ, A)(µ Id X −A)R(µ, A) − R(λ, A)(λ Id X −A)R(µ, A)= R(λ, A)((µ Id X −A) − (λ Id X −A) )R(µ, A)} {{ }=(µ−λ) Id X= (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A).Nach diesem Einschub kehren wir zurück zur Theorie der Halbgruppen und Ihrer Erzeuger.Satz 6.19 (Eigenschaften des Erzeugers). Sei A der Erzeuger von U. Dann gilt(1) Der Definitionsbereich D(A) ist dicht in X,(2) A ist ein abgeschlossener Operator.Beweis. (1) Sei x ∈ X. Setze x h := ∫ h0 U(t)x dt für alle h ∈ R >0. Da U(·)x stetig ist, gilt1h x h −→ U(0)x = x für h ↘ 0,also reicht es, x h ∈ D(A) für alle h ∈ R >0 zu zeigen. Dies folgt ausU(s)x h − x hs= 1 s= 1 s= 1 s= 1 s∫ h0∫ s+hs∫ s+hh∫ s0U(t + s)x dt − 1 sU(t)x dt − 1 sU(t)x dt − 1 s∫ h0∫ h0∫ s0U(t)x dtU(t)x dtU(t)x dt(U(h + t)x − U(t)x) dt → U(h + 0)x − U(0)x = U(h)x − xfür s → 0. Nach Definition des Erzeugers ist daher x h ∈ D(A).(2) Seien x ∈ D(A) N und x 0 , y 0 ∈ X mit x n → x 0 und Ax n → Ax 0 für n → ∞. Zu zeigen istx 0 ∈ D(A) und Ax 0 = y 0 . Nach Satz 6.11 und dem Hauptsatz giltU(t)x n − x n =∫ t0(U(·)x n ) ′ (s) ds =∫ t0U(s)Ax n dsfür alle t ∈ R >0 , n ∈ N. Da einerseits U(t)x n −x n → U(t)x 0 −x 0 und andererseits ∫ t0 U(s)(Ax n) ds →∫ t0 U(s)y 0 ds für n → ∞ gilt, folgt U(t)x 0 − x 0 = ∫ t0 U(s)y 0 ds, alsoU(t)x 0 − x 0t= 1 t∫ t0U(s)y 0 ds → U(0)y 0 = y 0 für t → 0.Nach Definition des Erzeugers ist daher x 0 ∈ D(A) und Ax 0 = y 0 .