Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 15Wir wenden nun auf V t = f(t, S t ) die Itô-Formel (2.3) an und erhaltendV t =(∂ t f(t, S t ) + µS t ∂ x f(t, S t ) + 1 )2 σ2 St 2 ∂ xx f(t, S t ) dt + σS t ∂ x f(t, S t ) dW t . (2.8)Aufgrund der Selbstfinanzierungsbedingung muß außerdem geltendV t!= g t dR t + h t dS t = g(t, S t )re rt dt + h(t, S t ) ( )µS t dt + σS t dW t)=(g(t, S t )re rt + µh(t, S t )S t dt + σS t h(t, S t ) dW t . (2.9)Subtrahieren der den Gleichungen (2.8) und (2.9) liefert(!0 = ∂ t f(t, x) + µx∂ x f(t, x) + 1 2 σ2 x 2 ∂ xx f(t, x) − g(t, x)re rt ∣∣x=St− µh(t, x)x)∣dt(∣∣x=St+ σx∂ x f(t, x) − σxh(t, x))∣dW t(= ∂ t f(t, x) + µx ( ∂ x f(t, x) − h(t, x) ) + 1 2 σ2 x 2 ∂ xx f(t, x) − re rt ∣∣x=Stg(t, x))∣dt(∣∣x=St+σx ∂ x f(t, x) − h(t, x))∣dW t . (2.10)Um diese Gleichung zu erfüllen setzen wirh := ∂ x f. (2.11)Damit wird Gleichung (2.7) zue rt g(t, x) (2.7)= f(t, x) − xh(t, x) (2.11)= f(t, x) − x∂ x f(t, x). (2.12)Einsetzen von (2.11) und (2.12) in Gleichung (2.10) liefert eine Differentialgleichung, in der nurnoch f auftaucht:0 ! = ∂ t f(t, x) + 1 2 σ2 x 2 ∂ xx f(t, x) + rx∂ x f(t, x) − rf(t, x). (2.13)Damit haben wir die Black-Scholes-Differentialgleichung in einer Dimension hergeleitet. Wirfassen unsere Ergebnisse zum zentralen Satz dieses Kapitels zusammen.Satz 2.6. Sei f : [0, T ] × R >0 eine C 1,2 -Funktion, die der Black-Scholes-Differentialgleichung(2.13) genügt. Definiereg(t, x) := e −rt ( f(t, x) − x∂ x f(t, x) ) undh(t, x) := ∂ x f(t, x).Dann wird durch g t := g(t, S t ) und h t := h(t, S t ) eine selbstfinanzierende HandelsstrategieH t := (g t , h t ) definiert, deren Wertprozeß durch V t = f(t, S t ) gegeben ist.Ist C ein Claim von der Gestalt C = c(S t ), und erfüllt f zusätzlich die Endwertbedingungf(T, x) = c(x),so gilt V T = f(T, S T ) = c(S T ) = C, also ist H ein Hedge für C und damit V 0 = f(0, S 0 ) derfaire Preis des Claims C zum Zeitpunkt 0.