Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN59schwache Ableitungen in H 1 (R n ) immer noch die Formel für partielle Integration gilt. Damitfolgt für alle u ∈ H 2 (R n ), v ∈ H 1 (R n ):∫ ⎛ ⎞n∑n∑〈Lu | v〉 L2 = ⎝− ∂ k (a jk ∂ j u) · v + b j ∂ j u · v + cu · v⎠=part. Int.==n∑j,k=1n∑j,k=1∫ ⎛ ⎝∫−∫j,k=1n∑j,k=1j=1∂ k (a jk ∂ j u) · v +∫ ⎛ ⎝a jk ∂ j u · ∂ k v +∫ ⎛ ⎝a jk ∂ j u · ∂ k v +⎞n∑b j ∂ j u · v + cu · v⎠j=1⎞n∑b j ∂ j u · v + cu · v⎠j=1⎞n∑b j ∂ j u · v + cu · v⎠ .Offensichtlich läßt der letzte Ausdruck auch noch für u, v ∈ H 1 (R n ) formulieren.Definition/Bemerkung 6.30 (zu L gehörige Form). Definiere die Bilinearform B auf H 1 (R n )durch∫ ⎛ ⎞n∑n∑B L (u, v) := ⎝ a jk ∂ j u · ∂ k v + b j ∂ j u · v + cu · v⎠ für alle u, v ∈ H 1 (R n ).j,k=1j=1B := B L heißt die zu L gehörige Form. Ist u ∈ H 2 (R n ) und v ∈ H 1 (R n ), so gilt nach dem obenGezeigtem B(u, v) = 〈Lu | v〉.Zentrales Hilfsmittel zum Herleiten der Bedingungen aus dem Satz von Hille-Yosida ist derfolgendeSatz 6.31 (Gårdingsche Ungleichung). Es gibt α, β ∈ R >0 und ω ∈ R ≥0 so, daß für alleu, v ∈ H 1 (R n ) gilt(1) |B(u, v)| ≤ α‖u‖ 1 · ‖v‖ 1 ,(2) β‖u‖ 2 1 ≤ B(u, u) + ω‖u‖2 L 2.Für den Beweis verwenden wir die sogenannte Cauchy-Ungleichung:j=1∀ a, b, ε ∈ R >0 : ab ≤ εa 2 + 1 4ε b2 . (6.8)Beweis von (6.8). Seien a, b, ε ∈ R >0 . Mit der AGM-Ungleichung folgt dannab = √ √b2εa 2 2·2ε ≤ 1 2 · 2εa2 + 1 2 · b22ε = εa2 + 1 4ε b2 .