Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

5 DIE BLACK-SCHOLES FORMEL 43(1) p(t, x) → (x − K) + für t → 0.(2) Setze ∆ := ∂ x p. Der Herleitung der Black-Scholes-Gleichung kann man entnehmen, daß ∆den Aktienanteil im absichernden Portfolio beschreibt. Es gilt:∆(t, x) = Φ((h(t, x)) + xϕ(h(t, x)) ∂ x h(t, x) − e −rt Kϕ(h(t, x) − σ √ t) ∂ x h(t, x)(= Φ(h(t, x)) + xϕ(h(t, x)) − e −rt Kϕ(h(t, x) − σ √ )t) ∂} {{ } x h(t, x),(∗):=sowie mit h := h(t, x)(∗) =x√2πe −h2 /2 −K √2πe −rt e − 1 2 (h−σ√ t) 2 =x √2πe −h2 /2 −√ K e −h2 /2 e hσ√ t−rt− σ22 t2π} {{ }=x/K nach Def.= 0.Also gilt ∆ = Φ ◦ h.Insbesondere ist ∆ > 0, das heißt, zum Bilden des absichernden Portfolios müssen keineLeerverkäufe zugelassen werden.Entsprechend ist e −rT KΦ◦h 2 der Anteil der festverzinslichen Wertanlage im absicherndenPortfolio, wobei ein Wertanlage mit Wert 1 zum Zeitpunkt T angenommen wird.(3) Das in (2) angegebene ∆ heißt auch ”Delta der Option“und gehört zu den sogenanntenGriechen (Greeks) der Finanzmathematik. Ein weiteres Beispiel hierfür ist Γ := ∂ 2 xp, dassogenannte ”Gamma der Option“. Mit (2) folgtΓ(t, x) = ϕ(h(t, x)) · ∂ x h(t, x) = ϕ(h(t, x)) ·1σx √ t > 0.Also ist die Preisfunktion p(t, ·) strikt konvex im Aktienpreis. Außerdem läßt sich Γ = ∂ x ∆interpretieren als die Sensitivität des Aktienanteils im absichernden Portfolio in Bezug aufden Aktienpreis.Weitere Greeks sind zum Beispiel Θ := ∂ t p, R := ∂ r p und Vega := ∂ σ p. Analoge Rechnungenwie oben ergeben Θ, R, Vega > 0. Das heißt, mit abnehmender Laufzeit verliert dieOption an Wert. Andererseits steigt der faire Preis sowohl bei steigendem Marktzinssatzwie auch bei steigender Volatilität der Aktie.Zur Volatilität σDie Volatilität σ ist ein entscheidender Parameter in der Black-Scholes-Formel. In der Praxissind zwei Methoden für einen konkreten Ansatz von σ üblich:(1) Schätzen der Volatilität aus historischen Preisdaten (...)