Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 10Faßt man das Integral gegen dτ als klassisches Integral auf, so muß noch das zweite Integralerklärt werden, welches in der allgemeinen Situation die Gestalt∫ T0f(t, ω) dW t (ω)hat. Klassische würde man dieses Integral als ein pfadweises Riemann-Stieltjes-Integral auffassen,also für festes ω als Grenzwert von Approximationsfolgen der Gestaltn−1∑s (n) (f, t)(ω) := f(t j , ω) (W tj+1 (ω) − W tj (ω)).j=0Man kann jedoch zeigen, im allgemeinen keine Konvergenz dieser Approximationsfolge vorliegt.Die Ursache hierfür ist, daß die Pfade t ↦→ W t (ω) des Wienerprozesses für fast alle ω nicht vonbeschränkter Variation sind.Andererseits kann man die Approximation s (n) (f, t)(ω) auch als Funktion von ω und damit alsElement von L 2 (Ω) auffassen. Dann kann gezeigt werden, daß für geeignete f eine Konvergenz imRaum L 2 (Ω) vorliegt. Wir skizzieren das Vorgehen zur Definition des stochastischen Integrals:1. Betrachte nur elementare Funktionen von der Gestaltn−1∑s(t, ω) = s j (ω) · 1 ]tj ,t j+1 ],j=0wobei die s j geeignete Zufallsgrößen seien. Dann definiere das stochastische Integral vons alsI(s)(ω) :=∫ T0n−1∑s(t, ω) dW t (ω) := s j (ω) · (W tj+1 (ω) − W tj (ω)).j=02. Für diese elementaren Funktionen läßt sich unter geeigneten Voraussetzungen an die s jzeigen, daß die sogenannte Itô-Isometrie gültig ist:‖I(s)‖ L2 (Ω) = ‖s‖ L2 ([0,T ]×Ω).3. Damit läßt sich die Definition des stochastischen Integrals ausdehnen auf Funktionen f(mit geeigneten Voraussetzungen), die sich in L 2 ([0, T ]) durch elementare Funktionen approximierenlassen. Ist s eine entsprechende Folge, so ist wegen der Itô-Isometrie auch I(s)eine konvergente Folge in L 2 (Ω), und wir definieren∫ T0f(t, ω) dW t (ω) := L 2 - limn→∞ I(s n).Gleichungen zwischen stochastischen Integralen werden oft auch in der bereits verwendetendifferentiellen Form notiert. Zum Beispiel ist die GleichungdS t = µS t dt + σS t dW t