Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN35Beweis. Als erstes soll gezeigt werden, daß durch (4.6) eine auf ganz R ≥0 × R konvergentePotenzreihenfunktion definiert wird. Dazu werden die Koeffizienten g(m) (t)(2m)!mit Hilfe der Cauchy-Formel abgeschätzt. Für alle z ∈ C\R ≤0 bezeichne z α := exp(α log(z)) den Hauptzweig derPotenzfunktion, wobei log den Hauptzweig des Logarithmus bezeichnet, und entsprechend werdeg durch z ↦→ exp(−z −α ) zu einer holomorphen Funktion auf C\R ≤0 fortgesetzt. Sei t ∈ R >0 ,und sei r ∈ ]0, 1[ . Durch Integration von g über ∂K C (t, rt) ⊆ C\R ≤0 folgt für alle m ∈ N 0 mitder Cauchyschen Integralformel:|g (m (t)| ==∫m!∣2πi|z−t|=rt∣g(z) ∣∣∣∣(z − t) m+1 dz ≤ m!(rt) m sup | exp(−z −α )||z−t|=rtm!(rt) m sup exp(− Re(z −α )).|z−t|=rtIm folgenden soll das Supremum abgeschätzt werden, das in der obigen Ungleichung auftritt.Sei dazu z ∈ C mit |z − t| = rt, dann existiert ein φ ∈ [−π, π] mit z = t + rte iφ = t(1 + re iφ ).Damit folgt− Re(z −α ) = − Re((t(1 + re iφ )) −α ) = − Re(t −α (1 + re iφ ) −α ) = −t −α Re((1 + re iφ ) −α ).Da durch (ρ, ϕ) ↦→ Re((1 + ρe iϕ ) −α ) eine stetige Abbildung κ : [0, 1/2] × [−π, π] → R mitκ| {0}×[−π,π] ≡ 1 definiert wird, kann man ein r ∈ R >0 wählen mit κ| [0,r]×[−π,π] ≥ 1/2. Für diesesr folgt− Re(z −α ) = −t −α Re((1 + re iφ ) −α ) ≤ − 1 2 t−α .Dies liefert insgesamt als Abschätzung für die Koeffizienten:|g (m (t)| ≤ m! ((rt) m exp − 1 )2 t−α .Sei nun t ∈ R >0 und x ∈ R. Dann gilt:∣∞∑g (m) (t) ∣∣∣∣ ∞∑ |x| 2m(∣ (2m)! x2m ≤(m!) 2 · m!(rt) m exp − 1 )2 t−α =m=0m=0( ) |x|2= exp exp(− 1 )rt 2 t−α = exp(|x| 2r− 12t α−1 ))∞∑1m! ·( ) |x|2 mexp(− 1 )2 t−αrtm=0( ( 1 |x|2t r − 1 ))2t α−1 .(Da die Funktion t ↦→ exp 1tauf ganz R ≥0 beschränkt ist, folgt hieraus, daß fürjede beschränkte Teilmenge B ⊆ R die Reihe (4.6) gleichmäßig auf R ≥0 × B konvergiert undsomit eine stetige Funktion auf R ≥0 × R definiert, für die u| {0}×R ≡ 0 gilt. Da u(t, ·) für festest ∈ R ≥0 eine Potenzreihenfunktion ist, ist u(t, ·) unendlich oft differenzierbar. Für alle k ∈ N 0und (t, x) ∈ R ≥0 × R gilt außerdem:(∂ x ) 2k u(t, x) ==∞∑m=0∞∑j=0g (m) (t)(2m)!g (j+k) (t)(2j))!( ) d 2k(x 2m ) =dxx 2j =∞∑ g (m) (t)(2(m − k))! x2(m−k)m=k∞∑( ( )dkgdt) (j) (t)x 2j(2j)!j=0