Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN31Definition 4.11 (Fundamentallösung des Differentialoperators ∂ t − P (D)). Die durche ct((t, x) ↦→(4πt) n/2 det a 1/2 exp − 1 )4t 〈a−1 (x + tb) | x + tb〉definierte Funktion k : R >0 × R n heißt Fundamentallösung des Differentialoperators ∂ t − P (D).Im folgenden wird die Notation k t := k(t, ·) für alle t ∈ R >0 verwendet. Im Spezialfall a = I n , b =0, c = 0 heißt( )1h t (x) :=(4πt) n/2 exp − ‖x‖2 für alle (t, x) ∈ R >0 × R n4tder Wärmeleitungskern.Aus der Definition der Fundamentallösung erhalten wir unmittelbar die folgenden Beobachtungen.Bemerkung 4.12. (1) Zwischen dem allgemeinen Kern k t und dem Wärmeleitungskern h tbesteht der folgende Zusammenhang: Für alle t ∈ R >0 und x ∈ R n giltk t (x) =e tcdet(a 1/2 ) h t(a −1/2 (x + tb)). (4.5)(2) Der Kern k t erfüllt die Gleichung (∂ t − P (D))k t = 0.(3) (e −ct k t ) t∈R>0 ist eine approximierende Eins. Insbesondere giltk t ∗ g(x) → g(x 0 ) für (t, x) → (0, x 0 )für alle g ∈ C b (R n ) und x 0 ∈ R n .Beweis. (1) folgt direkt aus der Definition.(2) Nach Konstruktion ist ̂k t = exp(tP (i·)), und da ∂ t k t offenbar lokal gleichmäßige Majorantenbesitzt, folgtalsô∂ t k t (ξ) = ∂ t ̂kt (ξ) = ∂ t(exp(tP (iξ)))= P (iξ) exp(tP (iξ)) = P (iξ) ̂kt (ξ) = ̂ P (D)k t (ξ),((∂ t − P (D))k t) b=0 und damit auch (∂t − P (D))k t = 0.(3) Betrachte zunächst als Spezialfall den Wärmeleitungskern. Es gilt∫∫1h 1 =(4π) n/2 exp ( − ‖x‖2 )dx = 14sowie h t = 1 √tn h 1(· √t). Nach Beispiel 3.24 ist (h t ) t>0 eine approximierende Eins.Betrachte nun den allgemeinen Fall. Setze ˜k t := e −ct k t , dann gilt ˜k t (x) = 1 hdet a 1/2 t (a −1/2 (x+tb)).Damit folgt∫ ∫ ∫| ˜k t | = ˜k t = h t = 1.