Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...
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6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN62Nach <strong>der</strong> Gård<strong>in</strong>gschen Ungleichung 6.31 erfüllt die Bil<strong>in</strong>earform B λ die Voraussetzungen desSatzes von Lax-Milgram, wähle also e<strong>in</strong> entsprechendes T ∈ L(H 1 (R n )). Dann folgtF (v) = 〈v | w〉 H 1 = B λ (v, T −1 w) = B λ (u, v)mit u := T −1 w. Zusammenfassend beweist dies den folgendenSatz 6.34 (Existenzsatz für schwache Lösungen <strong>der</strong> elliptischen Gleichung). Sei f ∈ L 2 (R n )und λ ∈ R >ω . Dann existiert e<strong>in</strong>e schwache Lösung <strong>der</strong> elliptischen GleichungLu + λu = f.Die schwache Lösung u <strong>der</strong> Gleichung Lu + λu = f ist zunächst nur e<strong>in</strong> Element von H 1 (R n ).Man kann zeigen, daß <strong>in</strong> dieser Situation sogar u ∈ H 2 (R n ) ist:Satz 6.35 (elliptische Regularität). Unter <strong>der</strong> Voraussetzung a ∈ C 1 (R n ) ∩ L ∞ (R n ) und Da ∈L ∞ (R n ) gilt für alle f ∈ L 2 (R n ) und λ ∈ R >ω : Ist u ∈ H 1 (R n ) mit (L + λ)u = f, so folgtu ∈ H 2 (R n ).Beweis. Für beschränkte Gebiete Ω anstelle von R n f<strong>in</strong>det sich dieses Aussage <strong>in</strong> [Ev98], Abschnitt6.3, Theorem 4. Für e<strong>in</strong>en Beweis <strong>der</strong> vorliegenden (e<strong>in</strong>facheren) Situation Ω = R n siehezum Beispiel [EN00], Theorem VI.5.22.Damit ist auch Bed<strong>in</strong>gung (ii) des Satzes von Hille-Yosida erfüllt. Es folgt <strong>der</strong> zentrale Satzdieses Abschnittes:Satz 6.36. Der Operator A erzeugt e<strong>in</strong>e ω-Kontraktionshalbgruppe <strong>in</strong> L 2 (R n ). Somit gilt:∀ g ∈ H 2 (R n ) ∃ 1 u ∈ C 1 (R ≥0 , L 2 (R n )) : u ′ = −Lu und u(0) = g. (6.10)Mit diesem Ergebnis schließen wir den kurzen E<strong>in</strong>blick <strong>in</strong> die Theorie elliptischer und parabolischer<strong>Differentialgleichungen</strong> ab. Als kle<strong>in</strong>en Ausblick werden im folgenden noch e<strong>in</strong>ige weiterführendeErgebnisse notiert, die die bisherigen Resultate ergänzen.• Die bisherigen Ergebnisse stimmen im allgeme<strong>in</strong>en Fall für alle C 0 -Halbgruppen. Tatsächlicherzeugt A aufgrund <strong>der</strong> sogenannten Parabolizitätsbed<strong>in</strong>gungsup ‖(λ − ω)R(λ, A)‖ < +∞.λ∈R >ωsogar e<strong>in</strong>e analytische Halbgruppe. Für diese gelten stärkere Resultate als im allgeme<strong>in</strong>enFall. Zum Beispiel erhält die Analytizität <strong>der</strong> Lösung u, und die Aussage (6.10) bleibtrichtig für alle g ∈ L 2 (R n ).