Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 19Satz 3.7 (Inversionssatz für die Fouriertransformation). Sei f ∈ L 1 (R n ) so, daß auch ̂f ∈L 1 (R n ) ist. Dann giltf(x) = (2π) −n̂f(−x) ∫1 = ̂f(ξ)e ixξ(2π) n dξfür fast alle x ∈ R n .Beweis. später.Korollar 3.8. Die Fouriertransformation F : L 1 (R n ) → C ∞ (R n ), [f] ↦→ ̂f ist injektiv.Beweis. Sei [f] ∈ Kern(F), dann ist ̂f = 0 ∈ L 1 (R n ), also folgt aus der Fourierumkehrformelf(x) = 1(2π) n ∫ ̂f(ξ)e ixξ dξ = 0 für fast alle x ∈ R n , also [ ̂f] = 0 in L 1 (R n ).Man kann zeigen, daß die Fouriertransformation nicht surjektiv auf C ∞ (R n ) ist. Außerdem wirdder Raum L 1 (R n ) unter F nicht invariant gelassen. Es ist daher zweckmäßig, auf einen geeigneteninvarianten Teilraum von L 1 (R n ) überzugehen.Definition/Bemerkung 3.9 (schnell fallende Funktion, Schwartzfunktionen, Schwartzraum).Eine Funktion f : R n → K heißt schnell fallend, falls für alle α ∈ N n 0 giltSetzedann giltx α f(x) → 0 für ‖x‖ → ∞.S := S n := S(R n ) := {f ∈ C ∞ (R n ) | ∀ β ∈ N n 0 : ∂ β f ist schnell fallend },S = {f ∈ C ∞ (R n ) | ∀ α, β ∈ N n 0: supx∈R n |x α ∂ β f(x)| < +∞}.S heißt Schwartzraum, und seine Elemente heißen Schwartzfunktionen. Offensichtlich gilt C ∞ 0 (Rn ) ⊆S(R n ) ⊆ L p (R n ) für alle p ∈ [1, +∞].Beispiel 3.10. Für die Funktion ϕ aus Beispiel 3.5(2) gilt ϕ ∈ S, denn ϕ ist schnell fallend,und für alle β ∈ N n 0 existiert eine Polynomabbildung p auf Rn mit ∂ β ϕ = p · ϕ.Eine fundamentale Eigenschaft der Fouriertransformation ist, daß sie Differentiation in Multiplikationüberführt, wie der folgende Satz zeigt. Da sich S nach Definition als invariant unterDifferentiation und Multiplikation mit Polynomen erweisen wird, ergibt er sich als geeigneterRaum zum Arbeiten mit der Fouriertransformation.Notation 3.11. Für f : R n → K und α ∈ N n 0 bezeichnen wir die Abbildung Rn → R, x ↦→x α f(x) intuitiv, aber formal etwas lax, auch mit x α f.Satz 3.12. Sei f ∈ S und α ∈ N n 0 . Dann gilt auch ∂α f ∈ S und x α f ∈ S. Außerdem ist ̂f ∈ S,und es gilt(1) ∂ α ̂f = (−i)|α| ̂xα f,(2) ̂∂ α f = i |α| ̂xα f.