Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

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6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN62Nach der Gårdingschen Ungleichung 6.31 erfüllt die Bilinearform B λ die Voraussetzungen desSatzes von Lax-Milgram, wähle also ein entsprechendes T ∈ L(H 1 (R n )). Dann folgtF (v) = 〈v | w〉 H 1 = B λ (v, T −1 w) = B λ (u, v)mit u := T −1 w. Zusammenfassend beweist dies den folgendenSatz 6.34 (Existenzsatz für schwache Lösungen der elliptischen Gleichung). Sei f ∈ L 2 (R n )und λ ∈ R >ω . Dann existiert eine schwache Lösung der elliptischen GleichungLu + λu = f.Die schwache Lösung u der Gleichung Lu + λu = f ist zunächst nur ein Element von H 1 (R n ).Man kann zeigen, daß in dieser Situation sogar u ∈ H 2 (R n ) ist:Satz 6.35 (elliptische Regularität). Unter der Voraussetzung a ∈ C 1 (R n ) ∩ L ∞ (R n ) und Da ∈L ∞ (R n ) gilt für alle f ∈ L 2 (R n ) und λ ∈ R >ω : Ist u ∈ H 1 (R n ) mit (L + λ)u = f, so folgtu ∈ H 2 (R n ).Beweis. Für beschränkte Gebiete Ω anstelle von R n findet sich dieses Aussage in [Ev98], Abschnitt6.3, Theorem 4. Für einen Beweis der vorliegenden (einfacheren) Situation Ω = R n siehezum Beispiel [EN00], Theorem VI.5.22.Damit ist auch Bedingung (ii) des Satzes von Hille-Yosida erfüllt. Es folgt der zentrale Satzdieses Abschnittes:Satz 6.36. Der Operator A erzeugt eine ω-Kontraktionshalbgruppe in L 2 (R n ). Somit gilt:∀ g ∈ H 2 (R n ) ∃ 1 u ∈ C 1 (R ≥0 , L 2 (R n )) : u ′ = −Lu und u(0) = g. (6.10)Mit diesem Ergebnis schließen wir den kurzen Einblick in die Theorie elliptischer und parabolischerDifferentialgleichungen ab. Als kleinen Ausblick werden im folgenden noch einige weiterführendeErgebnisse notiert, die die bisherigen Resultate ergänzen.• Die bisherigen Ergebnisse stimmen im allgemeinen Fall für alle C 0 -Halbgruppen. Tatsächlicherzeugt A aufgrund der sogenannten Parabolizitätsbedingungsup ‖(λ − ω)R(λ, A)‖ < +∞.λ∈R >ωsogar eine analytische Halbgruppe. Für diese gelten stärkere Resultate als im allgemeinenFall. Zum Beispiel erhält die Analytizität der Lösung u, und die Aussage (6.10) bleibtrichtig für alle g ∈ L 2 (R n ).
6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN63• Mithilfe des Sobolevschen Einbettungssatz kann man aus der Existent bestimmter schwacherLösungen wieder die Existenz klassischer Lösungen schließen:Seien m, k ∈ N 0 mit m > k + n 2 . Dann ist [u] ∩ Ck (R n ) ≠ ∅, und die dadurch induzierteEinbettungist stetig.H m (R n ) ↩→ C k (R n )Damit läßt sich zum Beispiel herleiten, daß für Anfangsbedingungen f ∈ S die Lösung derparabolischen Gleichung sogar C ∞ sein muß.
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