Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

5 DIE BLACK-SCHOLES FORMEL 42mit α ′ =√ α2t+ β √ 2t = α+2tβ √2t.Mithilfe von Lemma 5.1 kann nun die Lösung konkret für c(x) := (x − K) + := max{x − K, 0}berechnet werden:∫ ∞ ( x − y + bt)u(t, x) = e ct h t √ (e y − K) + dy√−∞ aa} {{ }Weiter ergibt sichsowieh 1 === e ct ∫ ∞−∞= e ct ∫ α−∞= e (b+c)t · e x ∫ αv:=(h t (v) exp(x + bt − √ ) +av) − K dv} {{ }≥0 ⇐⇒ v≤ x+bt−log(K) √ a=:αh t (v) ( exp(x + bt − √ av) − K ) dv−∞(5.3)= e x e } (b+c)t {{ · e ta} Φ=1 wg. a+b+c=0h t (v) exp(− √ av) dv + e ct K( √ α + 2t a√2t} {{ }h 1 :=)− Ke ct Φ∫ α−∞( α)√2t .}{{}h 2 :=(1 x + bt − log(K)√ √ − 2ta )√ = √ 1 ((2a + b)t + log2t aa 2ta( ex1σ √ t(logh 2 = h 1 − √ 2ta = 1σ √ tK)+) )(r + σ2t .2)((r + σ2t + log2( exKh t (v) dv))− σ √ t = 1 (σ √ logt( )) exK( exK)+) )(r − σ2t2Indem wir die Euler-Transformation (x → e x ), die die allgemeine Black-Scholes Gleichung in(5.1) überführt hat, rückgängig machen, erhalten wir so die berühmteBlack-Scholes-Formel. Es bezeichne weiterhin r ∈ R >0 den Markt-Zinssatz. Der faire Preiseiner europäischen Call-Option mit dem Basispreis K auf eine Aktie mit Volatilität σ lautet⎛p(t, x) := x Φ ⎝ log ( ) ) ⎞ ⎛xK +(r + σ22tσ √ ⎠ − Ke −rt Φ ⎝ log ( ) ) ⎞xK +(r − σ22ttσ √ ⎠tbei gegebenem Aktienkurs x ∈ R >0 und Restlaufzeit t ∈ R >0 .Diskussion der Black-Scholes-Formel(Zur einfacheren Notation setze wieder h(t, x) := h 1 (t, x) := 1σ √ log ( ) ) )xt K +(r + σ22t und(h 2 (t, x) := 1σ √ log ( ) ) )xt K +(r − σ22t = h(t, x) − σ √ t. Dann lautet die Black-Scholes-Formelp(t, x) = xΦ(h 1 (t, x)) − e −rt KΦ(h 2 (t, x)).Eine nähere Analyse dieser Formel ergibt folgende Beobachtungen: