Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN456 Parabolische Gleichungen 2. Ordnung mit variablen Koeffizienten6.1 EinleitungIm Gegensatz zur Wärmeleitungsgleichung sollen in diesem Kapitel parabolische Gleichungen2. Ordnung auf R n mit im allgemeinen nicht konstanten Koeffizienten betrachtet werden. Zumeinen ist die nicht transformierte Black-Scholes-Gleichung (2.14) eine Gleichung mit variablen,aber zeitunabhängigen Koeffizienten. Zum anderen kann man sich vorstellen, daß allgemeinereModelle auf Gleichungen ähnlich der Black-Scholes-Gleichung führen, es jedoch auch nachTransformationen nicht möglich ist, diese in eine Gleichung mit konstanten Koeffizienten zuüberführen. Es sollen also im allgemeinsten Fall Gleichungen der Gestaltn∑n∑∂ t u(t, x) = a jk (t, x)∂ j ∂ k u(t, x) + b j (t, x)u(t, x) + c(t, x)u(t, x),u(0, ·) = gj,k=1j=1betrachtet werden. Dabei soll der Einfachheit halber nur der Fall betrachtet werden, daß dieKoeffizienten alle von t oder alle von x unabhängig sind. Der zweite Fall stellt allerdings nureine Variante der bereits in Kapitel 4 vorgestellten Methode dar und wird daher dem Leser alsÜbung überlassen. Daher soll im folgenden der Fall zeitunabhängiger Koeffizienten untersuchtwerden.Generalvoraussetzung 6.1. Seien a jk , b j , c : R n → R für alle j, k ∈ N ≤n meßbare Funktionen.Definiere außerdem den formalen Differentialoperatorn∑n∑L := − a jk (x)∂ j ∂ k + b j (x) + c(x).j,k=1j=1(Die Wahl des negativen Vorzeichens vor der Doppelsumme hat formale Gründe und wird sichspäter als sinnvoll erweisen).In dieser Situation ist es eine geeignete und übliche Methode, die konkrete Gleichung als einesogenannte abstrakte parabolische Gleichung aufzufassen und sie so funktionalanalytischenMethoden zugänglich zu machen.6.2 Abstrakte parabolische GleichungenZiel dieses Abschnittes ist die Entwicklung einer Lösungstheorie für die Gleichung∂ t u(t, x) = −Lu(t, x),u(0, ·) = g.Bevor die technischen Details erläutert werden, soll im folgenden die Idee skizziert werden, inwelcher Art und Weise diese Gleichung behandelt werden soll, um eine einfache Lösungstheoriezu erhalten. Da der Operator ∂ t nur in der t-Variable und L nur in der x-Variable operiert,erscheint es sinnvoll, die Funktion u nicht mehr als gemeinsam von t und x abhängige Funktionanzusehen, sondern als Funktion auf R ≥0 mit Werten im Funktionenraum R RnR ≥0 → R Rn , t ↦→ u(t, ·),