Sicherheit in Rechnernetzen: - Professur Datenschutz und ...

A. Pfitzmann: Datensicherheit und Kryptographie; TU Dresden, WS2000/2001, 15.10.2000, 15:55 Uhr
7 (1011) 2 := (–1) 2 •7 ≡ 7;
7 (10110) 2 := 7 2 ≡ 5.
• ZZ *
n bezeichnet die multiplikative Gruppe von ZZn , d.h. die Menge aller Elemente, die ein Inverses
haben. (Man kann leicht zeigen, daß das wirklich eine Gruppe ist.) Es gilt
ZZ *
n = {a ∈ ZZn | ggT(a, n) = 1}.
Auch das Berechnen der Inversen ist „leicht“. Man verwendet den sog. erweiterten Euklidschen
Algorithmus. Dieser berechnet allgemein zu a, b ∈ ZZ den ggT und zwei ganze Zahlen u, v mit
u a + v b = ggT(a, b)
Das sei nur an einem Beispiel dargestellt: a = 11, b = 47. Dazu wenden wir zunächst den
normalen Euklidschen Algorithmus an, bei dem iterativ der vorige Divisor durch den vorigen Rest
geteilt wird:
47 = 4 •11 + 3;
11 = 3 • 3 + 2;
3 = 1 • 2 + 1.
Nun beginnt man mit der letzten Zeile, den ggT als Linearkombination des Divisors und
Dividenden der jeweiligen Zeile darzustellen:
1 = 3 – 1•2 (Jetzt 2 durch 3 und 11 ersetzen)
= 3 – 1•(11–3•3) = –11 + 4•3 (Jetzt 3 durch 11 und 47 ersetzen)
= –11 + 4•(47–4•11) = 4•47 – 17•11. (Probe: 4•47= 188, 17•11=187)
(Dies kann man, v.a. bezüglich Speicherplatz, noch optimieren, s. Literatur.)
Speziell zum Invertieren von a berechnen wir mit dem erweiterten Euklidschen Algorithmus ganze
Zahlen u, v mit
u a + v n = 1.
Dann gilt offenbar
u a ≡ 1 mod n,
und das heißt gerade, daß u das Inverse von a ist. In unserem Beispiel haben wir also
11 –1 ≡ –17 ≡ 30 mod 47
erhalten (und auch 47 –1 ≡ 4 mod 11 sowie 11 –1 ≡ –17 ≡ 3 mod 4 und 47 –1 ≡ 4 mod 17.) 48
3.4.1.2 Elementanzahl von ZZ n * und Zusammenhang mit Exponentiation
Hier sind erste Eigenschaften von ZZ n , bei denen Kenntnis des Geheimnisses (p, q) hilft:
• Die Eulersche φ-Funktion ist definiert als
φ(n) := |{a ∈ {0,…,n–1} | ggT(a, n) = 1}|,
wobei für beliebige ganze Zahlen n ≠ 0 gilt: ggT(0,n) = |n|, vgl. z.B. [Lüne_87 Seite 12].
Es folgt sofort aus den beiden Definitionen, daß
| ZZ n * | = φ(n).
Speziell für n = p•q mit p, q prim und p≠q kann man φ(n) leicht ausrechnen:
48 Damit sieht man auch, daß die obige Gleichung Zn * = {a ∈ Zn | ggT(a, n) = 1} stimmt: Gerade haben wir für jedes
a mit ggT(a, n) = 1 tatsächlich ein Inverses bestimmt. Umgekehrt: Wenn es ein Inverses gibt, also a•a –1 ≡ 1 mod
n, gilt n | (a•a –1 –1), also gibt es v mit a•a –1 –1 = v•n bzw. a•a –1 –v•n = 1. Hätten a und n einen gemeinsamen
Teiler d, so würde dieser also auch 1 teilen.
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