Stellenwertsysteme Horner Schema Systembrüche - Pädagogische ...

Systembrueche.nb 24Satz: Die reelle Zahl r habe eine periodische Dezimalbruchdarstellung. Dann ist r eine rationale Zahl.Beweisskizze: Die Begründung wird zunächst nur in exemplarischer Form gegeben. Es sei r = 0, êê 9. Das heißt r = 0, 99999. .. oderr = ÅÅÅÅÅÅÅ910 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ9100 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ91000 + ... .Zieht man den Faktor ÅÅÅÅÅÅÅ910 heraus, so erhält man r = ÅÅÅÅÅÅÅ910 ÿ I1 + ÅÅÅÅÅÅÅ110 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1100 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ11000 + ...M = ÅÅÅÅÅÅÅÅ910 ÿ ⁄ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1k=0 10 k .Die geometrische Reihe ⁄ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1k=0 10k hat den Reihenwert ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ11- ÅÅÅÅÅÅÅ101 , also ÅÅÅÅÅÅÅ10 und insgesamt ist r = ÅÅÅÅÅÅÅ9910 ÿ ÅÅÅÅÅÅÅÅ10 = 1.9Hat r eine komplexere Dezimalbruchdarstellung (Vorperiode, Periodenlänge grösser als 1), so ändert sich nichts wesentliches: Ganzteil plusVorperiode ergeben immer eine rationale Zahl. Fasst man die restlichen Ziffern nach Periodenblöcken zusammen, so ergibt auch dies einegeometrische Reihe, deren Reihenwert eine rationale Zahl ist.Einige Beispiele in Mathematica: 0,999999...∞ 9‚ k=1 10 k1Beispiel 0,285285285...Blöcke: ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2851000 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ285ÅÅÅÅÅÅÅÅ1000000 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ285ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å1000000000+ ... =285ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1000 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 285 Å1000 2 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2851000 3 + ...∞ 285‚ k=1 1000 k95333N@%, 50D0.28528528528528528528528528528528528528528528528529