Skript für die Oberstufe und das Abitur 2013 ... - Mathe-Aufgaben

Skript für die Oberstufe und das Abitur 2013
Baden-Württemberg
berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, TG, WG)
Aufgaben zur Analysis
Anwendungsorientierte Aufgaben
Dipl.-Math. Alexander Schwarz
Im Weinberg 9
74389 Cleebronn
E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com
Homepage: www.mathe-aufgaben.com
Wichtiger Hinweis:
Ich bitte den Eigentümer dieses Skriptes, weder das gesamte Skript noch
Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise
zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben. Der Preis dieser Unterlagen
steht in keinem Verhältnis zu dem Zeitaufwand, den ich dafür investiert habe
und für den Inhalt, den man bekommt.
Ich bitte um Fairness und danke dafür – Alexander Schwarz
1

Vorwort
Zunächst einmal bedanke ich mich für das Vertrauen, das ihr mir mit dem Kauf dieses
Skriptes für die Abiturprüfung in Mathematik entgegengebracht habt !
Der darin enthaltene Stoff ist auf die Abiturprüfung 2013 der beruflichen Gymnasien (AG,
BTG, EG, SG, TG, WG) von Baden-Württemberg abgestimmt.
Dieses Skript enthält Aufgaben zur „Analysis“ und „Anwendungsorientierte Aufgaben“. Auf
diese Aufgaben entfallen bei der Abiturprüfung immerhin zwei Drittel aller zu vergebenden
Punkte.
In den Kapiteln 1 – 13 sind (teilweise auch kleinere) Aufgaben zu speziellen
Themengebieten der Analysis auf Prüfungsniveau enthalten.
In Kapitel 14 finden sich umfangreichere Aufgaben auf Prüfungsniveau, bei denen wie beim
Abitur die Themen der Analysis bunt gemischt abgefragt werden.
In Kapitel 15 finden sich anwendungsorientierte Aufgaben der Analysis.
Eure Ergebnisse könnt ihr danach mit den ausführlichen Musterlösungen vergleichen.
Natürlich sind meine Musterlösungen nicht immer der einzige Weg zum Ziel. Solltet ihr also
einen anderen Lösungsweg mit demselben Ergebnis haben, kann dies genauso richtig sein.
Bei Unklarheiten stehe ich euch auch per Mail gerne zur Verfügung.
Weitere Hinweise:
• Für diejenigen, die neben den Übungsaufgaben eine ausführliche Zusammenfassung
des abirelevanten Stoffes benötigen, habe ich zu diesem Aufgabenskript ein
zugehöriges Lehrbuch verfasst, in dem zu jedem der Kapitel die Theorie mit vielen
Beispiele enthalten ist. Für die Eigentümer des Lehrbuches empfiehlt sich, zunächst
anhand des Lehrbuches den Stoff durchzuarbeiten und anschließend die
zugehörigen Übungsaufgaben zu lösen,
• Ich habe in diesem Skript darauf verzichtet, Originalaufgaben alter Abiturprüfungen
(Haupttermine) zu stellen. Die Abituraufgaben seit 2005 könnt ihr kostenfrei von
meiner Homepage inklusive ausführlicher Musterlösungen als pdf-Dateien
herunterladen.
• Ich habe in diesem Skript darauf verzichtet, für einen bestimmten GTR anzugeben,
wie die Eingaben zu erfolgen haben.
Wer Schwierigkeiten im Umgang mit dem GTR hat, sollte auf das bereits erwähnte
Lehrbuch zurückgreifen (für Texas Instruments oder Casio) in dem der Umgang und
der Einsatz des GTR ausführlich beschrieben wird.
Viele Rückmeldungen von Abiturienten sagen aus, dass ihnen mit diesem Skript ein
besonders gut geeignetes Arbeitsmittel zur Prüfungsvorbereitung an die Hand gegeben
wurde. Aber trotz aller Mühen, Tipp – und Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden, können auch mir
Fehler unterlaufen sein. Solltet ihr welche entdecken, wäre ich für eine Mitteilung dankbar.
Auch Anregungen und konstruktive Kritik werden von mir gerne entgegengenommen und bei
der Aktualisierung berücksichtigt.
Ich hoffe, dass dieses Skript euch hilft, die Abiturprüfung erfolgreich zu bestehen !
Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Skriptes und alles Gute für eure Abiturprüfung !
2
Alexander Schwarz

Inhaltsverzeichnis
1. Gleichungslehre
2. Definition Sinus und Kosinus und trigonometrische Gleichungen
3. Ableitungen und ihre Bedeutung
4. Ausgewählte Elemente einer Funktionsuntersuchung
5. Verschiebung und Symmetrie von Schaubildern
6. Spezielle Funktionstypen und ihre Besonderheiten
7. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung
8. Aufstellen von Funktionsgleichungen/Funktionsanpassungen
9. Funktionsscharen: Ortskurve und gemeinsame Punkte
10. Integralrechnung
11. Zusammenhang zwischen Ableitungs- und Stammfunktionen
12. Optimierungsaufgaben / Extremwertaufgaben
13. Wachstum
14. Vermischte Aufgaben Analysis im Abiturumfang
15. Anwendungsorientierte Aufgaben im Abiturumfang
15.1 Wachstum
15.2 Kostenfunktionen
15.3 Anwendung von Ableitungen und Integralen
15.4 Sonstiges
16. Musterlösungen
16.1 Musterlösungen Kapitel 1
16.2 Musterlösungen Kapitel 2
16.3 Musterlösungen Kapitel 3
16.4 Musterlösungen Kapitel 4
16.5 Musterlösungen Kapitel 5
16.6 Musterlösungen Kapitel 6
16.7 Musterlösungen Kapitel 7
16.8 Musterlösungen Kapitel 8
16.9 Musterlösungen Kapitel 9
16.10 Musterlösungen Kapitel 10
16.11 Musterlösungen Kapitel 11
16.12 Musterlösungen Kapitel 12
16.13 Musterlösungen Kapitel 13
16.14 Musterlösungen Kapitel 14
16.15 Musterlösungen Kapitel 15
3

1. Gleichungslehre
1. Gleichungslehre
Aufgabe 1-1:
Bestimme jeweils die exakten Lösungen der folgenden Polynomgleichungen:
2
a) ( x 4)( 3x 9) 0
2 2
− − = b) ( )( )
2
d) ( x + 2)
⋅ ( x − 5)
= 0
e)
g)
j)
3 3 2
11x 2x(x 1) 8x 9x
x + 1 x − x − 2 = 0 c)
4
x + 8x = 0
2 4 3
+ + = + h) ( ) ( ) ( )
x + 4 ⋅ x − 2 ⋅ x + 3 = 0 i)
4
f)
4 3
2x − 3x = 0
4 2
x − 3x + 2 = 0
6 3
4x − x − 3 = 0
5 3
3 2
3 2
4x + 3x − x = 0 a) k) x + 4x
+ x − 6 = 0 l) 2x
+ 10x
− 2x
− 10 = 0
Aufgabe 1-2:
a) Bestimme eine Gleichung 4.Grades, die die Lösungen x = 3, x = 2, x = -1 und x = 4 hat.
b) Bestimme zwei verschiedene Gleichungen 3.Grades, die nur die Lösungen x = -2 und x = 4
haben (die Gleichungen sollen sich nicht nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden)
c) Bestimme eine Gleichung 3.Grades, die genau eine einfache Nullstelle hat.
Aufgabe 1-3:
Schreibe sofern möglich die Polynome als Produkt von Linearfaktoren (Linearfaktorzerlegung).
4 2
4 2
3 2
3 2
a) x − 2x b) 4x − 5x + 1 c) x + 4x + 3x d) x + 5x + 15x
Aufgabe 1-4:
Bestimme jeweils die exakten Lösungen der folgenden Gleichungen:
−x
=
a) ( 2x
− 5)
⋅ e 0
2 −kx
kx k e 0
d) ( )
− ⋅ = e)
2 0,5x
x 4 e 0
b) ( )
2 kx
− ⋅ = c) ( 2x
− 4k)
⋅ e = 0
e 2e
= f)
3x − x+ 2
2x x
e − e = 0 g)
Aufgabe 1-5:
Bestimme jeweils die exakten Lösungen der folgenden Gleichungen:
2x
x
−x
x
4x
2x
a) e − 6e
+ 5 = 0 b) 3 e + 4 = 7e
c) e − 5e
+ 6 = 0
2
x
1
x
0,
5x
d) e 3 − 7e
3 + 12 = 0 e) e + e − 2 = 0 f)
x
x+ 1 2x
e − e = 0
4x 3x 2x
e − 10e + 25e = 0
2. Definition Sinus und Kosinus und trigonometrische Gleichungen
Aufgabe 2-1:
Bestimme für das angegebene Intervall jeweils die exakten Lösunge
a) sin( 3x)
= 1 für x ∈ [ 0;
2π
]
b) sin( 4x)
= 0 für x ∈ [ 0;
π ]
c) cos( 2x)
= −1
für x ∈ [ 0;
2π
]
d) cos( 3x)
= 0 für x ∈ [ 0;
π ]
e) sin(2x − π ) = 1für
x ∈ [ 0;
2π
]
f) cos(2x + π ) = 0 für x ∈ [ 0;
π ]
g) ( x)
+ cos( x)
= 0 für x ∈ [ 0;
π ] h) ( x)
+ 5 sin( x)
+ 4 = 0 für x ∈ [ −2π;
2π
]
cos 2
i) ( x)
+ 2cos(
x)
− 3 = 0 für x ∈ [ 0;
2π
] j) ( x)
− 3sin(
x)
− 3 = 0 für x ∈ [ 0;
2π
]
k)
cos 2
sin 2
cos 2
2
sin (x) + 2sin(x) = 0 für x ∈�������������� l) sin(x) ⋅ (sin(x) + 3) = 0 für x ∈��

Aufgabe 2-2:
Eine Firma stellt aus Holzbrettern der Länge l
und der Breite b oben offene Blumentröge mit
trapezförmigem Querschnitt her.
Drücke die Höhe h und die Breite a des
Blumentrogs in Abhängigkeit vom
Neigungswinkel α und der Breite b aus.
Weise damit nach, dass sich der Flächeninhalt
der Querschnittsfläche durch die Funktion A
2
mit A(
α ) = b ⋅ ( 1+
cosα
) ⋅ sinα
darstellen lässt.
(�)
7. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung
7. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung
Aufgabe 7-1:
Bestimme die Gleichung der Tangente und der Normalen im Punkt (1/-1) an das Schaubild der
Funktion f mit f(
x)
= x
2
− 4x
+ 2 .
Aufgabe 7-2:
Gegeben ist die Funktion f(
x)
= 2x
2
− 5x
+ 1.
Gesucht ist:
a) Die Gleichung der Tangente, welche parallel ist zur Geraden durch A(0/3) und B(-4/7).
1
b) Die Gleichung der Normalen, welche parallel ist zur Geraden mit der Gleichung y = − x + 2 .
3
c) Die Gleichung der Normalen, welche orthogonal ist zur Geraden mit der Gleichung y = 7x
+ 5 .
Aufgabe 7-3:
Gegeben ist die Funktion f(
x)
= x
2
− 2x
+ 3 . Ihr Schaubild sei K.
Vom Punkt P(0/-6), welcher nicht auf der Kurve liegt, werden Tangenten an K gelegt. Bestimme die
Koordinaten der Berührpunkte sowie die Tangentengleichungen.
Aufgabe 7-4:
Gegeben sind die Funktionen f ( x)
= 2x
2
und g ( x)
tx
2
t = − + 4 , t ∈R.
Für welchen Wert von t stehen die Schaubilder der beiden Funktionen in ihrem Schnittpunkt senkrecht
aufeinander ?
Aufgabe 7-5:
Weise nach, dass die Gerade g Tangente an das Schaubild von f ist und berechne den Berührpunkt.
x 3π
a) f(
x)
= e − e ; g: y = e ⋅ x − e b) f ( x)
= 3cos(
x)
; g: y = −3x
+
2
Aufgabe 7-6:
1 2
Gegeben ist für t > 0 die Funktionenschar ft ( x)
= x³
− t²
x + t³
.
3 3
Stelle die Gleichung der Wendetangente auf. Für welches t geht diese durch Q(2/0) ?
Bestimme auch die Gleichung der Wendenormalen.
5

Aufgabe 7-7:
Das abgebildete Schaubild der Funktion
1 3 3 2
f ( x)
= − x + x beschreibt zwischen
8 4
dem Hochpunkt H und dem Punkt P(-2/f(-2))
modellhaft das Profil eines Flusstales.
Das Profil des angrenzenden Geländes
verläuft von H aus horizontal.
Bei Trockenheit ist der Wasserspiegel bis zum
Punkt R(-1/f(-1)) abgesunken.
Ab welcher Höhe über H ist dieser Punkt zu
sehen ?
(�)
14. Vermischte Aufgaben Analysis im Abiturumfang
14. Vermischte Aufgaben Analysis im Abiturumfang
Aufgabe 14-1:
Für jedes t ≠ 0 ist die Funktion f t gegeben durch
1 3 9 4
ft ( x)
= t³
x³
− t²
x²
+ tx + mit x ∈ �
16 4 4 t
K t ist das Schaubild von f t .
a) Bestimme mit Hilfe des GTR die Schnittpunkte mit der x-Achse und die Extrempunkte von K 1.
K − . Bestimme die Linearfaktorzerlegung von ( x)
.
Zeichne 1 K und 2
b) Untersuche t K auf Extrempunkte und den Verlauf von K t für ±∞ → x .
9
c) Überprüfe, ob die Gerade g mit der Gleichung y = x + 4 Tangente an K 1 ist.
4
Bestimme alle Tangentengleichungen an K 1,
die parallel zu g sind.
schneidet die Kurve K t die Gerade y = 2 ?
6
f− 2

16. Musterlösungen
16.1 Musterlösungen Kapitel 1
Aufgabe 1-1:
a) Satz vom Nullprodukt:
b) Satz vom Nullprodukt:
oder
16. Musterlösungen
2
x − 4 = 0 ⇒ x = ± 2 oder 3x − 9 = 0 ⇒ x = 3 L = {-2, 2, 3}
2
x + 1= 0 ⇒ keine Lösung
2
1± x − x − 2 = 0 ⇒ x1,2
=
1+ 8 1± 3
= ⇒ x = 2 oder x = -1 L = {-1; 2}
2 2
x 2x
3
3
⋅ − =
c) Durch Ausklammern ergibt sich: ( ) 0
Satz vom Nullprodukt:
3
x = 0 ⇒ x = 0 oder L = {0 ; 1,5}
d) Satz vom Nullprodukt: x + 2 = 0 ⇒ x = − 2 oder
3
e) Durch Ausklammern ergibt sich ( )
Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder
f) Die Gleichung
1
x ⋅ x + 8 = 0
4 2
x − 3x + 2 = 0 ist von der Bauart
7
2
x − 5 = 0 ⇒ x = ± 5 L = { ± 5 ; -2}
3 3
x + 8 = 0 ⇒ x = − 8 = − 2 L = {0 ; -2}
4 2
ax + bx + c = 0 , daher Substitution:
2
3 ±
⇒ u − 3u + 2 = 0 ⇒ u1,2
=
9 − 8 3 ± 1
= ⇒ u = 2 oder u = 1
2 2
2
Rücksubstitution: x = 2 ⇒ x = ±
2
2 und x = 1⇒ x = ± 1 L = {-2; -1; 1; 2}
g) Zunächst müssen die Klammern aufgelöst werden:
3 2
3 2 3 2
11x
+ 2x
+ 2x
= 8x
+ 9x
⇒ 3x
− 7x
+ 2x
= 0
2
Durch Ausklammern ergibt sich: x ⋅ ( 3x
− 7x
+ 2)
= 0
Satz vom Nullprodukt: x = 0
2
7 ± 49 − 24 7 ± 5 1
oder 3x − 7x + 2 = 0 ⇒ x = = ⇒ x1
= , x2 2
6 6 3
= L = {0 ; 2 ; 1
}
3
2
4 4
h) Satz vom Nullprodukt: x + 4 = 0 ⇒ keine Lösung oder x − 2 = 0 ⇒ x = ± 2
3 3
4 4 3
oder x + 3 = 0 ⇒ x = − 3 L = { − 2, 2, − 3 }
i) Die Gleichung
6 3
4x − x − 3 = 0 ist von der Bauart
6 3
ax + bx + c = 0 , daher Substitution:
2
1± ⇒ 4u − u − 3 = 0 ⇒ u1,2 =
1+ 48 1± 7 3
= ⇒ u1 = 1 oder u2
= −
8 8 4
3
Rücksubstitution: x
3
= 1⇒ x = 1 = 1
3 3 3
= − ⇒ = − 3 und damit L = {1, 3 3
x
4
x
4
j)
4
Durch Ausklammern ergibt sich: x ⋅ ( 4x
+ 3x²
−1)
= 0
Satz vom Nullprodukt: x1 = 0 oder 4x 3x²
1 0
4
+ − =
− }
4
Bei der Gleichung 4.Grades erfolgt eine Substitution: u = x
− 3 ± 5
1
Daraus ergibt sich 4u² + 3u
− 1 = 0 ⇒ u1/
2 = ⇒ u1
= −1
und u2 =
8
4
Rücksubstitution: u1 = −1⇒
x²
= −1
ergibt keine Lösung
1 1
1
1 1
u2 = ⇒ x²
= ⇒ x2,
3 = ± und damit L = {0; ; − }
4 4
2
2 2
2
2
u = x
3
u = x
k) Hier kann man weder x ausklammern noch substituieren. Also muss eine Lösung erraten werden,
damit man die Gleichung mit Hilfe der Polynomdivision oder dem Horner-Schema lösen kann.

x1 = 1 ist eine erratene Lösung.
16. Musterlösungen
Polynomdivision: (x³ + 4x² + x - 6) : (x-1) = x² + 5x + 6
-(x³ - x²)
---------------
5x² + x – 6
-(5x² - 5x)
---------------------
6x – 6
-(6x – 6)
-----------------------
0
Die restlichen Lösungen erhält man nun über die Gleichung
− 5 ±
x² + 5x
+ 6 = 0 ⇒ x2
/ 3 =
25 − 24 − 5 ± 1
= ⇒ x2
= −3
, x 3 = −2
,damit L = {1 ; -2; -3}
2
2
l) Hier muss man eine Lösung erraten und dann die Gleichung mit Polynomdivision oder dem
Horner-Schema lösen. x = 1 ist eine erratene Lösung.
Polynomdivision: (2x³ + 10x² - 2x – 10) : (x - 1) = 2x² + 12x + 10
-(2x³ - 2x²)
-------------------
12x² - 2x - 10
-(12x² - 12x)
-----------------------------
10x - 10
-(10x - 10)
---------------------
0
Die restlichen Lösungen erhält man nun über die Gleichung
−12
± 144 − 80 −12
± 8
2x² + 12x
+ 10 = 0 ⇒ x2
/ 3 =
= ⇒ x2
= −1,
x 3 = −5
4
4
damit L = {1 ; -1; -5}
8