Analytische Geometrie - Mathe-Aufgaben

Skript für die Oberstufe und das Abitur 2011
Baden-Württemberg - allg. Gymnasium
Analytische Geometrie - Lehrbuch
(Taschenrechner Texas Instruments und Sharp)
Dipl.-Math. Alexander Schwarz
Im Weinberg 9
74389 Cleebronn
E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com
Homepage: www.mathe-aufgaben.com
Wichtiger Hinweis:
Ich bitte den Eigentümer dieses Skriptes, weder das gesamte Skript noch
Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise
zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben.
Der Preis dieser Unterlagen steht in keinem Verhältnis zu dem Zeitaufwand,
den ich dafür investiert habe und für den Inhalt, den man bekommt.
Ich bitte um Fairness und danke dafür – Alexander Schwarz
1

Einige Hinweise
Zunächst einmal bedanke ich mich für das Vertrauen, das ihr mir mit dem Kauf dieses
Skriptes für die Abiturprüfung in Mathematik entgegengebracht habt !
Der darin enthaltene Stoff der Analytischen Geometrie ist auf den Lehrplan von Baden-
Württemberg für die Oberstufe (Stand 2010/2011) abgestimmt.
Ich hoffe, dass dieses Lern- und Übungsskript euch hilft, den Mathematik-Prüfungsstoff
besser zu verstehen, eure Vorbereitungszeit zu reduzieren und schließlich – darum geht es
natürlich letztendlich – die Abiturprüfung erfolgreich zu bestehen !
Mein Ziel ist es, den umfangreichen Stoff der Analytischen Geometrie im Folgenden
verständlich und strukturiert darzustellen.
Zu jedem Aufgabentyp werden in einem allgemeinen Teil die wesentlichen Inhalte zu jedem
Thema ausführlich wiederholt. Die Beispiele dienen der näheren Erläuterung und Vertiefung.
Wichtige Textpassagen werden durch graue Unterlegungen gekennzeichnet.
Achtung: Dieses Zeichen taucht auf, wenn gerne Fehler gemacht werden !
Solltet ihr euch fit genug fühlen, könnt ihr euch mit den Aufgaben in dem anderen Skript
beschäftigen. Die Aufgaben, die mit dem Stichwort „Pflichtteil“ oder „Übung ohne GTR“
gekennzeichnet sind, müssen ohne Hilfsmittel gelöst werden. Bei Aufgaben mit dem
Stichwort „Wahlteil“ oder „Übung mit GTR“ darf die Formelsammlung und soll der GTR so oft
wie möglich eingesetzt werden. Aufgaben, die mit „Übung“ bezeichnet sind, sind etwas
einfacher und dürften direkt so im Abitur (leider) nicht vorkommen.
Eure Ergebnisse könnt ihr danach mit den ausführlichen Musterlösungen vergleichen.
Natürlich sind meine Musterlösungen nicht immer der einzige Weg zum Ziel. Solltet ihr also
einen anderen Lösungsweg mit demselben Ergebnis haben, kann dies genauso richtig sein.
Ich habe in dem Skript darauf verzichtet, Originalaufgaben alter Abiturprüfungen zu stellen.
Diese könnt ihr kostenfrei auf meiner Homepage mit den Musterlösungen herunterladen.
Noch ein Hinweis zum GTR:
Die GTR-Befehlsangaben im Skript orientieren sich am GTR von Texas Instruments (TI -83
Plus, TI-84 Plus). Da die Bedienung des GTR von Sharp ähnlich ist wie bei Texas
Instruments, können auch die Nutzer eines Sharp-Rechners die Befehlsangaben zum
größten Teil nutzen.
Dieses Zeichen im Skript deutet darauf hin, dass dargestellt wird, wie die Lösung
einer Aufgabenstellung mit Hilfe des GTR durchgeführt wird.
Viele Rückmeldungen von Abiturienten sagen aus, dass ihnen mit diesem Skript ein
besonders gut geeignetes Arbeitsmittel zur Prüfungsvorbereitung an die Hand gegeben
wurde. Aber trotz aller Mühen, Tipp – und Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden, können auch mir
Fehler unterlaufen sein. Solltet ihr welche entdecken, wäre ich für eine Mitteilung dankbar.
Auch Anregungen und konstruktive Kritik werden von mir gerne entgegengenommen und bei
der Aktualisierung berücksichtigt. Eine aktuelle Korrekturliste zu diesem Skript findet ihr auf
meiner Homepage www.mathe-aufgaben.com unter “Aktuelles”.
Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Skriptes und alles Gute für eure Abiturprüfung !
2
Alexander Schwarz

Inhaltsverzeichnis
1. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND IHRE ANWENDUNGEN
1.1 BEGRIFF LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM
1.2 LÖSEN LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME OHNE GTR
1.3 LÖSEN LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME MIT DEM GTR
1.4 MÖGLICHE LÖSUNGSMENGEN VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN
1.5 ANWENDUNGSAUFGABEN ZU LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN
1.6 ÜBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL 1
2. EINFÜHRUNG IN DIE VEKTORRECHNUNG
2.1 PUNKTE UND VEKTOREN IM ����³
2.2 RECHNEN MIT VEKTOREN
2.3 LINEARKOMBINATION VON VEKTOREN
2.4 LINEARE ABHÄNGIGKEIT / UNABHÄNGIGKEIT VON VEKTOREN
2.5 BETRAG VON VEKTOREN UND EINHEITSVEKTOR
2.6 ÜBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL 2
3. TEILVERHÄLTNISSE UND BEWEISE MITHILFE VON VEKTOREN
3.1 BERECHNUNG VON TEILVERHÄLTNISSEN
3.2 BEWEISE MIT HILFE VON VEKTOREN (GESCHLOSSENES VEKTORZUGVERFAHREN)
3.3 ÜBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL 3
4. SKALARPRODUKT UND WINKELBERECHNUNG
4.1 SKALARPRODUKT UND WINKEL ZWISCHEN ZWEI VEKTOREN
4.2 BEWEISE MITHILFE DES SKALARPRODUKTES
4.3 ÜBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL 4
5. GERADEN
5.1 GERADENGLEICHUNGEN IM ����³
5.2 LAGE VON GERADEN IM DREIDIMENSIONALEN RAUM
5.2.1 Zeichnen einer Gerade im Koordinatensystem
5.2.2 Lage zweier Geraden im dreidimensionalen Raum
5.2.3 Geraden im ����²
5.3 ÜBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL 5
6. EBENEN
6.1 TYPEN VON EBENENGLEICHUNGEN
6.2 DAS KREUZPRODUKT – EIN NÜTZLICHES HILFSMITTEL (NICHT IM LEHRPLAN !)
6.3 AUFSTELLEN VON EBENENGLEICHUNGEN
6.4 UMFORMEN VON EBENENGLEICHUNGEN
6.4.1 Parameterform -> Koordinatengleichung (das braucht man häufig !)
6.4.2 Parameterform -> Normalenform
6.4.3 Koordinatengleichung -> Normalenform
6.4.4 Normalenform -> Koordinatengleichung
6.4.5 Koordinatengleichung -> Parameterform
6.4.6 Übersicht Umformung Ebenengleichungen
6.5 LAGE VON EBENEN ZUEINANDER
6.6 SCHNITTAUFGABEN MIT EBENEN
6.6.1 Schnitt Gerade – Ebene
6.6.2 Schnitt Ebene – Ebene
6.7 LAGEBEZIEHUNG ZWISCHEN GERADEN UND EBENEN
3

6.8 VERANSCHAULICHUNG VON EBENEN
6.8.1 Die drei Koordinatenebenen und ihre Parallelebenen
6.8.2 Ebenen als Spurdreieck
6.9 ÜBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL 6
7. ABSTÄNDE UND SCHNITTWINKEL
7.1 SCHNITTWINKEL
7.1.1 Schnittwinkel Gerade – Gerade
7.1.2 Schnittwinkel Ebene - Ebene
7.1.3 Schnittwinkel Gerade – Ebene
7.2 ABSTANDSAUFGABEN
7.2.1 Abstand Punkt – Punkt
7.2.2 Abstand Punkt – Ebene
7.2.3 Abstand Punkt – Gerade
7.2.4 Abstand zweier paralleler Ebenen
7.2.5 Abstand einer Ebene von einer dazu parallelen Geraden
7.2.6 Abstand zweier paralleler Geraden
7.2.7 Abstand zweier windschiefer Geraden
7.3 FLÄCHEN- UND VOLUMENBERECHNUNGEN
7.3.1 Berechnung von Dreiecksflächen
7.3.3 Berechnung von Volumen von Pyramiden
7.4 ÜBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL 7
8. SPIEGELUNGEN
8.1 SPIEGELUNG PUNKT AN PUNKT
8.2 SPIEGELUNG PUNKT AN EBENE
8.3 SPIEGELUNG GERADE AN EBENE
8.3.1 Gerade schneidet Ebene
8.3.2 Gerade ist parallel zur Ebene
8.4 PUNKT AN GERADE
8.5 GERADE AN GERADE
8.6 EBENE E AN EBENE F
8.6.1 Ebene E ist parallel zur Ebene F
8.6.2 Ebene E schneidet Ebene F in einer Schnittgerade g
8.7 ÜBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL 8
9. AUFGABENTYPEN IM ÜBERBLICK
10. ÜBUNGSAUFGABEN FÜR DEN WAHLTEIL
4

1. Lineare Gleichungssysteme und ihre Anwendungen
1.1 Begriff lineares Gleichungssystem
Ein lineares Gleichungssystem (dies wird ab jetzt mit „LGS“ abgekürzt) besteht im
Allgemeinen aus mehreren Gleichungen mit mehreren Unbekannten.
Die Anzahl der Gleichungen muss dabei nicht der Anzahl der Unbekannten entsprechen.
Das Wort linear bedeutet, dass die gesuchten Variablen die Hochzahl „1“ besitzen und die
Variablen nicht durch ein Produkt direkt miteinander verbunden sind (siehe Bsp. 1.2 c)).
Beispiel 1.1: Lineare Gleichungssysteme sind beispielsweise
a) x1 + 2x
2 − x3
= 5
b) − 4 a + b − c = 0 c) 3x1 − 2x
2 + 4x3
= 7
− 5x1 + x3
= 7
− 3 a + 4c
= 2
6x1 − x2
+ x3
= 4
a) 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten b) 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten
c) 1 Gleichung mit 3 Unbekannten
Beispiel 1.2: Nichtlineare Gleichungssysteme sind zum Beispiel
a) x ² + x = 4
b) a + b = 5
c) x + y ⋅ z = 4
3 1 2
4x 1 3x
2
− = 7
sin( a)
− b = 9
− 3 x + z = 9
1.2 Lösen linearer Gleichungssysteme ohne GTR
Für die Lösung eines LGS ohne GTR bietet sich das Gauss-Verfahren an.
Idee des Gauss-Verfahrens:
Das LGS wird in eine Stufenform umgewandelt, aus der die Lösung dann problemlos
berechnet werden kann.
Beispiel 1.3: Folgendes LGS besitzt bereits eine Stufenform:
2x
1
+ x
3x
2
2
− x
+ x
5x
Aus der 3. Zeile erhält man x3 = 3 . Nach Einsetzen dieser Lösung ergibt sich aus der 2.Zeile
x 2 = 2 und schließlich aus der 1.Zeile x1 = 1
Die Lösungsmenge lautet �� = { ( 1 / 2 / 3) }.
Das LGS des Beispiels 1.3 besitzt genau eine Lösung (und keine 3 Lösungen !).
Daher wäre die Schreibweise �� = { 1 ; 2 ; 3 } falsch, denn das würde bedeuten, dass es drei
verschiedene Lösungen geben würde (wie z.B. bei einer Gleichung 3.Grades)
5
3
3
3
=
=
=
1
9
15

Ein LGS kann durch folgende Umformungen in eine Stufenform umgewandelt werden:
• Zwei Gleichungen des Gleichungssystems vertauschen
• Eine Gleichung mit einer beliebigen Zahl b ≠ 0 durchmultiplizieren
• Eine Gleichung durch die Summe / Differenz eines Vielfachen von ihr und eines
Vielfachen einer anderen Gleichung des LGS ersetzen.
Wie ein gegebenes LGS systematisch in eine solche Stufenform umgewandelt wird, wird an
folgendem Beispiel deutlich:
Beispiel 1.4: Umwandlung eines LGS in Stufenform
4x
3x
x
1
1
1
− x
2
− 3x
+ 5x
2
2
+ 2x
+ x
3
− 2x
3
3
=
=
=
6
− 1
7
⎯ Schritt 1.
⎯⎯ ⎯ →
6
⎛4
⎜
⎜3
⎜
⎝ 1
− 1
− 3
5
2 6 ⎞
⎟
1 − 1⎟
⎟
− 2 7 ⎠
1.Schritt:
Das LGS wird zunächst in Kurzschreibweise (=Matrixschreibweise) umgeschrieben. Hierbei
werden nur die Koeffizienten (=Zahlen vor den Variablen) des LGS in einer Tabelle
aufgeschrieben und die Variablen weggelassen.
2.Schritt:
Die Zeilen des LGS müssen vertauscht werden, falls der Eintrag links oben „0“ wäre.
Dieser Schritt kann hier entfallen, da dort eine „4“ steht.
Anschließend muss man durch Addition der 1.Zeile und 2.Zeile bzw. der 1.Zeile und 3.Zeile
erreichen, dass die Einträge der 1.Spalte mit Ausnahme des Eintrags links oben „0“
ergeben.
Hierzu müssen vorher die Zeilen entsprechend durchmultipliziert werden, damit sich bei der
Addition 0 ergibt. Die Pfeile bedeuten jeweils eine Addition der entsprechenden Zeilen wobei
die Pfeilspitze dort hinzeigt, wo das Ergebnis der Summe stehen wird.
⎛4
⎜
⎜3
⎜
⎝ 1
− 1
− 3
5
2 6 ⎞|
⋅(
−3)
⎟
1 − 1⎟
| ⋅4
⎟
− 2 7 ⎠
| ⋅(
−4)
Die Zeile, von der die Pfeile wegzeigen (hier die 1.Zeile) wird dabei wieder abgeschrieben.
Die Multiplikation mit -3 sollte also nur im Kopf stattfinden.
Ergebnis:
⎛ 4
⎜
⎜4
⋅(
−3)
+ 3 ⋅ 4
⎜
⎝ 4 + 1⋅
( −4)
−1
−1⋅
( −3)
+ 4 ⋅(
−3)
−1
+ 5 ⋅(
−4)
⎛4
⎜
⇒ ⎜0
⎜
⎝0
−1
− 9
− 21
2
6 ⎞
⎟
2 ⋅(
−3)
+ 1⋅
4 6 ⋅(
−3)
+ 4 ⋅(
−1)
⎟
⎟
2 + ( −2)
⋅(
−4)
6 + 7 ⋅(
−4)
⎠
2 6 ⎞
⎟
− 2 − 22⎟
⎟
10 − 22⎠
3.Schritt:
In der zweiten Spalte soll nun durch Addition der 2. und 3. Zeile der untere Eintrag auf „0“
gesetzt:

⎛4
⎜
⎜0
⎜
⎝0
− 1
− 9
− 21
2 6 ⎞
⎟
− 2 − 22⎟
| ⋅7
⎟
10 − 22⎠|
⋅(
−3)
Die 2. Zeile, von der der Pfeil wegzeigt, wird dabei wieder abgeschrieben.
Ergebnis:
⎛4
⎜
⎜0
⎜
⎝0
− 1
− 9
0
2 6 ⎞
⎟
− 2 − 22⎟
⎟
− 44 − 88⎠
Im 3.Schritt darf nicht die 1. und 3.Zeile miteinander verrechnet werden, weil dadurch
der wichtige 0-Eintrag links unten, der im 2.Schritt erzeugt wurde, wieder „zerstört“ werden
würde.
Nun besitzt das Gleichungssystem die geforderte Stufenform, da unterhalb der
eingezeichneten Diagonalen die Zahlen alle 0 sind. Nun kann man die Variablen berechnen:
Aus der 3.Zeile: − 44x3 = −88
⇒ x3
= 2
Aus der 2.Zeile: − 9x 2 − 2x3
= −22
⇒ −9x
2 − 4 = −22
⇒ x2
= 2
Aus der 1.Zeile: 4x1 − 1⋅
2 + 2 ⋅ 2 = 6 ⇒ x1
= 1
Die Lösungsmenge lautet � = { (1 / 2 / 2) }, das LGS besitzt also genau 1 Lösung.
Die Umwandlung in Stufenform wie in Beispiel 1.4 vorgestellt ist eine Möglichkeit von vielen.
Natürlich könnte man im 2.Schritt z.B. auch die Einträge in der 2.Spalte zu „0“ machen. Es ist
also nur eines von mehreren „Kochrezept“ und ein geübter Rechner kann natürlich von
diesem Kochrezept abweichen.
1.3 Lösen linearer Gleichungssysteme mit dem GTR
In den GTR werden nur die Zahlen der Kurzschreibweise eingegeben.
Beispiel 1.5: Lösung eines LGS mit GTR
Das LGS aus Beispiel 1.4 wird nun mit dem GTR berechnet:
1.Schritt: Tastenkombination: 2nd ; MATRX ; EDIT ; [A] ; 3 ; ENTER ; 4
Anschließend werden die Zahlen aus dem LGS in die Matrix eingetragen:
„3X4“ bedeutet die Eingabe einer Matrix von 3 Zeilen und 4 Spalten
2.Schritt: Nach Eingabe der Tabelle geht es weiter mit folgender Tastenkombination:
2nd ; QUIT ; 2nd ; MATRX ; MATH ; rref( ; ENTER ; 2nd ; MATRX ; NAME ; [A] ;
ENTER ; ) ; ENTER
7

Aus der rechten Matrix kann die Lösung abgelesen werden: x 1 und x = x = 2
(…)
1.6 Übungsaufgaben zu Kapitel 1
Aufgabe 1-1: (Pflichtteil)
Löse das folgende lineare Gleichungssystem und interpretiere das Ergebnis geometrisch:
a)
2x
x
1
3x
1
1
+ x
2
+ 2x
+ 2x
− 3x
2
3
3
= 4
= −1
= 2
8
b)
x
2x
Aufgabe 1-2: (Pflichtteil)
Bestimme die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.
a)
3x
1
− 2x
1
−6x
2
+ 4x
2
+ 6x
3
− 4x
3
=
=
−5
2
b)
x
x
x
1
2x
3x
1
1
1
1
1
1
+ x
2
− x
2
+ 3x
+
x
2
− x
+ 11x
− x
2
2
2
2
1 =
−x
3
− 5x
+ x
+ x
3
+ x
3
+ 7x
− 9x
3
3
3
3
=
=
=
=
=
=
=
2
0
3
− 2
15
50
1
5
3

5. Geraden
5.1 Geradengleichungen im ����³
Die Gleichung einer Geraden im dreidimensionalen Raum �³ wird mit Hilfe von Vektoren
dargestellt. Der Gleichungstyp wird Parameterform genannt.
Parameterform einer Geradengleichung:
⎛ a1
⎞ ⎛ u1
⎞
r r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
x = a + s ⋅ u ⇔ x = ⎜a
2 ⎟ + s ⋅ ⎜u2
⎟ , s ∈��
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝a
3 ⎠ ⎝u3
⎠
Der Vektor a wird als Ortsvektor oder Stützvektor bezeichnet, der Vektor u r als
Richtungsvektor oder Spannvektor der Geraden.
A
a
u
O
9
X g
x = a + s ⋅u
Beispiel 5.1:
⎛10⎞
⎛ 4 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Gegeben ist die Geradengleichung g : x = ⎜ 2 ⎟ + t ⋅ ⎜−
2⎟
mit t ∈��
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛10⎞
⎛ 4 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
Der Ortsvektor lautet ⎜ 2 ⎟ und der Richtungsvektor ⎜−
2⎟
⎜ ⎟
⎝ 4
⎜ ⎟
⎠
⎝ 2 ⎠
Die Koordinaten des Ortsvektors entsprechen gleichzeitig den Koordinaten eines Punktes
A(10/2/4), der auf der Geraden g liegt. Der Ortsvektor ist der Pfeil, der vom Ursprung aus auf
den Punkt A zeigt.
Setzt man nun nacheinander für den Parameter t verschiedene Zahlen ein, erhält man
Ortsvektoren x = OX gemäß der Skizze, deren Koordinaten Punkten entsprechen, die auf
der Gerade liegen.
⎛10⎞
⎛6
⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
t = 0 ⇒ x = ⎜ 2 ⎟ ⇒ A(
10 / 2 / 4)
liegt auf g t = −1⇒
x = ⎜4
⎟ ⇒ P(
6 / 4 / 2)
liegt auf g.
⎜
4
⎟
⎜
⎝ ⎠
2
⎟
⎝ ⎠
Es gibt übrigens unendlich viele weitere Geradengleichungen, die anschaulich dieselbe
Gerade darstellen. Als Ortsvektor könnte man z.B. auch die Koordinaten des
Geradenpunktes P(6/4/2) verwenden. Außerdem ist es möglich, den Richtungsvektor in
beliebiger Weise zu vervielfachen bzw. zu „kürzen“ (z.B. alle Koordinaten des Vektors durch
2 teilen).

Die Gleichung von g könnte daher auch lauten:
10
⎛6
⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = ⎜4
⎟ + t ⋅ ⎜−
1⎟
mit t ∈�
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝2
⎠ ⎝ 1 ⎠
Mit Hilfe der Parameterform kann man außerdem rechnerisch prüfen, ob ein gegebener
Punkt auf einer Geraden liegt.
Beispiel 5.2:
⎛2⎞
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Prüfe rechnerisch, ob die Punkte P(17/-3/13) und Q(0/4/1) auf g : x = ⎜2⎟
+ t ⋅ ⎜−
1⎟
liegen.
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝3
⎠ ⎝ 2 ⎠
Nun werden die Koordinaten der Punkte als Ortsvektor geschrieben und links in die
Geradengleichung für x eingesetzt.
⎛ 17 ⎞ ⎛2⎞
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Punktprobe für P: ⎜−
3⎟
= ⎜2⎟
+ t ⋅ ⎜−
1⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 13 ⎠ ⎝3
⎠ ⎝ 2 ⎠
Diese Vektorgleichung lässt sich zeilenweise schreiben als 3 Gleichungen mit einer
Unbekannten t:
17 = 2 +
− 3 = 2 − t ⇒ t = 5
13 = 3 +
3t
2t
⇒ t = 5
⇒ t = 5
Da sich in jeder Zeile derselbe Wert für t ergibt, ist das LGS lösbar, also liegt P auf g
⎛0
⎞ ⎛2⎞
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Punktprobe für Q: ⎜4
⎟ = ⎜2⎟
+ t ⋅ ⎜−
1⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1⎠
⎝3
⎠ ⎝ 2 ⎠
2
0 = 2 + 3t
⇒ t = −
3
4 = 2 − t ⇒ t = −2
Hier kann man nach der zweiten Zeile schon aufhören, weil sich ein Widerspruch ergibt.
Q liegt folglich nicht auf der Gerade.
Bei vielen Aufgaben ist die Gleichung der Geraden nicht gegeben, sondern man kennt nur
2 Punkte, mit deren Hilfe die Geradengleichung aufgestellt werden soll.
Kennt man von einer Gerade die Punkte A( a1
/ a2
/ a3
) und B( b1
/ b2
/ b3
) dann besitzt sie
⎛ a1
⎞ ⎛ b1
− a1
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
die Parameterform: g : x = OA + t ⋅ AB = ⎜a2
⎟ + t ⋅ ⎜b2
− a2
⎟ , t ∈�
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝a3
⎠ ⎝b3
− a3
⎠
Diese Parameterform ist nicht eindeutig (siehe Beispiel 5.3)

A
B
OA x
O
Beispiel 5.3:
Eine Gerade enthält die Punkte A(1/2/-1) und B(3/0/4). Gib 2 mögliche Parameterformen an.
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = OA + t ⋅ AB = ⎜ 2 ⎟ + t ⋅⎜
− 2⎟
oder
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝−
1⎠
⎝ 5 ⎠
11
X
⎛3
⎞ ⎛−
2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = OB + t ⋅BA
= ⎜0
⎟ + t ⋅⎜
2 ⎟ , t ∈�
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝4
⎠ ⎝−
5⎠
Da zu einer Gerade unendlich viele Geradengleichungen existieren, stellt sich die Frage,
woran man bei zwei gegebenen Geradengleichungen erkennt, ob diese anschaulich dieselbe
Gerade darstellen ? Dies wird im folgenden Kapitel beantwortet.
(…)
9. Aufgabentypen im Überblick
Bevor ihr zu den Wahlteilaufgaben in Kapitel 10 geht, solltet ihr anhand der folgenden
Checkliste prüfen, ob ihr in allen Themen das notwendige Handwerkszeug beherrscht.
Ihr solltet in der Lage sein, die notwendigen Rechenschritte der dargestellten Aufgaben im
Kopf durchzugehen und den Ablauf der Bearbeitung gegebenenfalls an Skizzen zu
beschreiben. In Klammer sind die Kapitel/Beispiele/Aufgaben angegeben, an denen man die
Theorie falls notwendig nochmals auffrischen kann.
Zwei Punkte
Gegeben sind zwei Punkte A und B.
a) Wie bestimmt man den Verbindungsvektor zweier Punkte ? (Kap. 2.2)
b) Bestimme eine Gleichung der Geraden, die durch den Punkt A und B verläuft. (Kap. 5.1)
c) Welche Koordinaten besitzt der Mittelpunkt der Strecke AB ? (Kap. 2.3)
d) A wird durch eine Spiegelung an der Ebene E auf B abgebildet. Wie bestimmt man eine
Gleichung von E ? (Bsp. 8.2)
e) Wie spiegelt man einen Punkt A an einem Punkt B ? (Kap 8.1)
Drei Punkte
Gegeben sind die Punkte A, B und C.
a) Wie überprüft man, ob die drei Punkte auf einer Geraden liegen ? (Aufg. 5-2)
b) B liegt zwischen A und C auf einer Geraden. Wie ist das Teilverhältnis TV(ABC) definiert
? (Kap. 3.1)
c) A, B und C bilden ein Dreieck. Wie berechnet man seine Seitenlängen, die Innenwinkel
und seinen Flächeninhalt ? (Kap. 2.5, Bsp. 4.1, Kap 7.3.1)
Vier Punkte
a) Wie überprüft man, ob die 4 Punkte in einer Ebene liegen ? (Aufg. 2-14)
b) A, B, C und D bilden eine Pyramide. Wie bestimmt man ihr Volumen ? (Kap 7.3.2)

Punkt – Gerade
Gegeben ist der Punkt P und die Gerade g.
a) Wie überprüft man, ob der Punkt P auf der Gerade g liegt ? (Bsp. 5.2)
b) P und g liegen in der Ebene E. Wie lautet eine Gleichung von E ? (Kap. 6.3)
c) Wie lautet eine Gleichung der Ebene F, die orthogonal zu g durch P verläuft ? (Kap. 6.3)
d) Wie bestimme man den Abstand von P zu g ? (Kap. 7.2.3)
e) Wie bestimmt man den Spiegelpunkt zu P bei einer Spiegelung an g ? (Kap. 8.4)
Punkt – Ebene
Gegeben ist der Punkt P und die Ebene E.
a) Wie berechnet man den Abstand des Punktes P von der Ebene E ? (Kap. 7.2.2)
b) Wie bestimmt man den Spiegelpunkt zu P bei einer Spiegelung an E ? (Kap. 8.2)
Gerade – Gerade
Gegeben sind die Geraden g und h.
a) Welche gegenseitigen Lagebeziehungen zweier Geraden gibt es ? Wie ist die
Vorgehensweise bei der Untersuchung ? (Kap. 5.2.2)
b) Wie bestimmt man den Abstand zweier paralleler Geraden ? (Kap. 7.2.6)
c) Zwei parallele Geraden bzw. zwei sich schneidende Geraden liegen in der Ebene E.
Bestimme die Gleichung von E. (Kap. 6.3)
d) Wie bestimmt man Schnittpunkt & Schnittwinkel zweier Geraden ? (Kap. 5.2.2 und 7.1.1)
e) Wie berechnet man den Abstand zweier windschiefer Geraden ? (Kap. 7.2.7)
f) Wie spiegelt man eine Gerade an einer Geraden ? (Kap 8.5)
Gerade – Ebene
Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E.
a) Welche Lagebeziehungen gibt es zwischen einer Gerade und einer Ebene ? (Kap. 6.7)
b) Die Gerade g und die Ebene E verlaufen zueinander parallel. Wie bestimmt man ihren
Abstand ? (Kap. 7.2.5)
c) Wie berechnet man den Schnittpunkt und den Schnittwinkel zwischen einer Geraden und
einer Ebene ? (Kap 6.6.1 bzw. 7.1.3)
d) Wie erhält man die Gleichung der Spiegelgeraden von g bei einer Spiegelung an der
Ebene E ? (2 Fälle: g echt parallel zu E und g schneidet E) (Kap. 8.3)
Ebene – Ebene
Gegeben sind die Ebenen E und F.
a) Welche Lagebeziehungen gibt es zwischen zwei Ebenen ? (Kap. 6.5)
b) Wie bestimmt man den Abstand zweier paralleler Ebenen ? (Kap. 7.2.4)
c) Wie bestimmt man die Schnittgerade und den Schnittwinkel zweier Ebenen ?
(Kap. 6.6.2 bzw. 7.1.2)
d) Wie spiegelt man eine Ebene E an einer Ebene F ? (Kap. 8.6)
12

10. Übungsaufgaben für den Wahlteil
Aufgabe 10-1: Haus
Ein Haus hat die Form eines Quaders mit aufgesetztem symmetrischem Walmdach.
a) Gib die Koordinaten der Eckpunkte des Hauses an.
b) Bestimme den Flächeninhalt der Dachoberfläche.
c) Gib eine Koordinatendarstellung der Ebene E an, welche die Dachfläche Q 3,
Q 4,
R 2 enthält.
Berechne den Winkel, den die Dachkante 3 2 R Q mit der Hauskante 3 3 Q
Berechne den Winkel, den die Ebene E mit der Hauskante 3 3 Q P bildet.
13
P bildet.
d) S sei der Schwerpunkt der Dachfläche 3 4 2 R Q Q . In S ist nach außen eine
5m lange gerade Antenne ST angebracht, die senkrecht auf dieser
Dachfläche steht. Wie hoch liegt T über dem Erdboden ?
e) Im Punkt Q 3 sei eine 8 m lange Antenne mit dem Endpunkt U laut Skizze
angebracht. Die beiden Hausantennen sollen durch ein möglichst kurzes
Drahtstück miteinander verbunden werden. Berechne die Länge des
Drahtstücks und gib die Koordinaten der Befestigungspunkte an.
Musterlösungen Kapitel
Aufgabe 1-1:
a) Das LGS wird in Matrixschreibweise umgeformt und dann in die Stufenform gebracht:
⎛2
⎜
⎜1
⎜
⎝3
⎛2
⎜
⎜0
⎜
⎝0
1
0
2
2 4 ⎞
⎟
− 3 −1⎟
| ⋅(
−2)
⎟
0 2 ⎠
1 2 4⎞
⎟
1 8 6⎟
⎟
−1 6 8⎠
⎛2
⎜
⇒ ⎜0
⎜
⎝0
| ⋅3
| ⋅(
−2)
1
1
0
2
8
14
4 ⎞
⎟
6 ⎟
⎟
14⎠
Daraus ergibt sich x 1,
x = −2
, x 2 , also eine eindeutige Lösung.
3 =
2
Lösungsmenge: L = { (2/-2/1) } (auf die Reihenfolge achten!)
1 =