Inhaltsverzeichnis und Leseprobe Analysis - Mathe-Aufgaben

Skript für die Oberstufe und das Abitur 2011
Baden-Württemberg - allg. Gymnasium
Analysis (Lehrbuch)
(Taschenrechner Texas Instruments und Sharp)
Dipl.-Math. Alexander Schwarz
Im Weinberg 9
74389 Cleebronn
E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com
Homepage: www.mathe-aufgaben.com
Wichtiger Hinweis:
Ich bitte den Eigentümer dieses Skriptes, weder das gesamte Skript noch
Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise
zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben.
Der Preis dieser Unterlagen steht in keinem Verhältnis zu dem Zeitaufwand,
den ich dafür investiert habe und für den Inhalt, den man bekommt.
Ich bitte um Fairness und danke dafür – Alexander Schwarz

Einige Hinweise
Zunächst einmal bedanke ich mich für das Vertrauen, das ihr mir mit dem Kauf dieses
Skriptes für die Abiturprüfung in Mathematik entgegengebracht habt !
Der darin enthaltene Stoff der Analysis ist auf den Lehrplan von Baden-Württemberg für die
Oberstufe (Stand 20010/2011) abgestimmt.
Ich hoffe, dass dieses Lern- und Übungsskript euch hilft, den Mathematik-Prüfungsstoff
besser zu verstehen, eure Vorbereitungszeit zu reduzieren und schließlich – darum geht es
natürlich letztendlich – die Abiturprüfung erfolgreich zu bestehen !
Mein Ziel ist es, den umfangreichen Stoff der Analysis im Folgenden verständlich und
strukturiert darzustellen.
Zu jedem Aufgabentyp werden in einem allgemeinen Teil die wesentlichen Inhalte zu jedem
Thema ausführlich wiederholt. Die Beispiele dienen der näheren Erläuterung und Vertiefung.
Wichtige Textpassagen werden durch graue Unterlegungen gekennzeichnet.
Achtung: Dieses Zeichen taucht auf, wenn gerne Fehler gemacht werden !
Solltet ihr euch fit genug fühlen, könnt ihr euch mit den Aufgaben in dem anderen Skript
beschäftigen. Die Aufgaben, die mit dem Stichwort „Pflichtteil“ oder „Übung ohne GTR“
gekennzeichnet sind, müssen ohne Hilfsmittel gelöst werden. Bei Aufgaben mit dem
Stichwort „Wahlteil“ oder „Übung mit GTR“ darf die Formelsammlung und soll der GTR so oft
wie möglich eingesetzt werden. Aufgaben, die mit „Übung“ bezeichnet sind, sind etwas
einfacher und dürften direkt so im Abitur (leider) nicht vorkommen.
Eure Ergebnisse könnt ihr danach mit den ausführlichen Musterlösungen vergleichen.
Natürlich sind meine Musterlösungen nicht immer der einzige Weg zum Ziel. Solltet ihr also
einen anderen Lösungsweg mit demselben Ergebnis haben, kann dies genauso richtig sein.
Ich habe in dem Skript darauf verzichtet, Originalaufgaben alter Abiturprüfungen zu stellen.
Diese könnt ihr kostenfrei auf meiner Homepage mit den Musterlösungen herunterladen.
Noch ein Hinweis zum GTR:
Die GTR-Befehlsangaben im Skript orientieren sich am GTR von Texas Instruments (TI -83
Plus, TI-84 Plus). Da die Bedienung des GTR von Sharp ähnlich ist wie bei Texas
Instruments, können auch die Nutzer eines Sharp-Rechners die Befehlsangaben zum
größten Teil nutzen.
Dieses Zeichen im Skript deutet darauf hin, dass dargestellt wird, wie die Lösung
einer Aufgabenstellung mit Hilfe des GTR durchgeführt wird.
Viele Rückmeldungen von Abiturienten sagen aus, dass ihnen mit diesem Skript ein
besonders gut geeignetes Arbeitsmittel zur Prüfungsvorbereitung an die Hand gegeben
wurde. Aber trotz aller Mühen, Tipp – und Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden, können auch mir
Fehler unterlaufen sein. Solltet ihr welche entdecken, wäre ich für eine Mitteilung dankbar.
Auch Anregungen und konstruktive Kritik werden von mir gerne entgegengenommen und bei
der Aktualisierung berücksichtigt. Eine aktuelle Korrekturliste zu diesem Skript findet ihr auf
meiner Homepage www.mathe-aufgaben.com unter “Aktuelles”.
Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Skriptes und alles Gute für eure Abiturprüfung !
Alexander Schwarz

Inhaltsverzeichnis
1. Gleichungslehre
1.1 Lösen von Gleichungen ohne GTR
1.1.1 Ganzrationale Gleichungen
1.1.2 Bruchgleichungen
1.1.3 Wurzelgleichungen
1.1.4 Exponentialgleichungen
1.1.5 Logarithmengleichungen
1.2 Gleichungen lösen mit dem GTR
1.3 Lösung von Ungleichungen
1.3.1 Ungleichungen lösen ohne GTR
1.3.2 Ungleichungen lösen mit dem GTR
2. Definition Sinus und Kosinus und trigonometrische Gleichungen
2.1 Definition Sinus und Kosinus am Einheitskreis
2.2 Trigonometrische Gleichungen im Pflichtteil
2.2.1 Gleichungen vom Typ cos(x) = a
2.2.2 Gleichungen vom Typ sin(x) = a
2.2.3 Trigonometrische Gleichungen lösen durch Substitution/Ausklammern
2.3 Trigonometrische Gleichungen im Wahlteil
3. Ableitungen und ihre Bedeutung
3.1 Definition der Ableitungsfunktion
3.2 Ableitungsregeln
3.2.1 Grundlegende Ableitungsregeln
3.2.2 Produkt- und Quotientenregel
3.2.3 Kettenregel
3.2.4 Kombination mehrerer Ableitungsregeln
3.3 Veranschaulichung der ersten und zweiten Ableitung
3.3.1 Anschauliche Bedeutung der 1. Ableitungsfunktion
3.3.2 Anschauliche Bedeutung der 2. Ableitungsfunktion
3.4 Bedeutung der ersten Ableitung in der Praxis
3.5 Ableiten mit dem GTR
4. Ausgewählte Elemente einer Funktionsuntersuchung
4.1 Begriff der Funktion
4.2 Einfache Symmetrieuntersuchung des Schaubildes
4.3 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
4.3.1 Schnittpunkt mit der y-Achse
4.3.2 Schnittpunkte mit der x-Achse (=Nullstellen)
4.4 Berechnung von Extrempunkten (Lokale/Relative Maxima/Minima)
4.5 Berechnung von Wendepunkten
5. Verschiebung und Symmetrie von Schaubildern
5.1 Verschiebung/Spiegelung/Streckung von Schaubildern
5.2 „Nicht einfache“ Symmetrie von Schaubildern
6. Monotonie von Funktionen
7. Spezielle Funktionstypen und ihre Besonderheiten
7.1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
7.1.1 Definitionsmenge von ganzrationalen Funktionen
7.1.2 Verhalten für x → ∞ von ganzrationalen Funktionen
7.1.3 Verhalten an Definitionslücken von ganzrationalen Funktionen
7.1.4 Typische Schaubilder und Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen

7.1.5 Aufstellen von Funktionsgleichungen ganzrationaler Funktionen
7.2 Gebrochenrationale Funktionen
7.2.1 Definitionsmenge von gebrochenrationalen Funktionen
7.2.2 Verhalten für x → ∞ von gebrochenrationalen Funktionen
7.2.3 Verhalten an Definitionslücken von gebrochenrationalen Funktionen
7.2.4 Typische Schaubilder und Eigenschaften von gebrochenrationalen
Funktionen
7.2.5 Aufstellen von Funktionsgleichungen gebrochenrationaler Funktionen
7.3 Exponentialfunktionen
7.3.1 Definitionsmenge von Exponentialfunktionen
7.3.2 Verhalten für x → ∞ von Exponentialfunktionen
7.3.3 Verhalten an Definitionslücken von Exponentialfunktionen
7.3.4 Typische Schaubilder und Eigenschaften von Exponentialfunktionen
7.3.5 Aufstellen von Funktionsgleichungen von Exponentialfunktionen
7.4 Trigonometrische Funktionen
7.4.1 Definitionsmenge von trigonometrischen Funktionen
7.4.2 Verhalten für x → ∞ von trigonometrischen Funktionen
7.4.3 Verhalten an Definitionslücken von trigonometrischen Funktionen
7.4.4 Typische Schaubilder und Eigenschaften von trigonometrischen
Funktionen
7.4.5 Aufstellen von Funktionsgleichungen von trigonometrischen Funktionen
7.5 Logarithmusfunktionen
7.5.1 Definitionsmenge einer Logarithmusfunktion
7.5.2 Verhalten für x → ∞ von Logarithmusfunktionen
7.5.3 Verhalten an Definitionsrändern und –lücken bei Logarithmusfunktionen
7.5.4 Typische Eigenschaften von Logarithmusfunktionen
7.6 Wurzelfunktionen
7.6.1 Definitionsmenge einer Wurzelfunktion
7.6.2 Verhalten für x → ∞ von Wurzelfunktionen
7.6.3 Verhalten an Definitionsrändern und -lücken bei Wurzelfunktionen
7.6.4 Typische Eigenschaften von Wurzelfunktionen
7.7 Zusammenfassung der Grundfunktionen
8. Ortskurven / Ortslinien
9. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung
9.1 Aufstellen von Tangenten- und Normalengleichungen bei gegebenem
Berührpunkt oder gegebener Steigung
9.2 Aufstellen von Tangentengleichungen bei gegebenem Tangentenpunkt
9.3 Schnittwinkel zweier Geraden
9.4 Schnittwinkel zweier Schaubilder
9.5 Berührung zweier Schaubilder
10. Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen
10.1 Stetigkeit
10.2 Differenzierbarkeit
10.3 Nullstellensatz
11. Stammfunktionen und Integralrechnung
11.1 Begriff und Berechnung von Stammfunktionen
11.2 Berechnung von Integralen
11.3 Die Integralfunktion
11.4 Anwendungen der Integralrechnung
11.4.1 Flächen- und Volumenberechnung von Rotationskörper
11.4.2 Mittelwertberechnung von Funktionen
11.4.3 Interpretation des Integrals als Aufsummierung
12. Zeichnen von Ableitungsfunktionen und Stammfunktionen
13. Optimierungsaufgaben / Extremwertaufgaben

13.1 Globales Minimum/Maximum
13.2 Optimierungsaufgaben / Extremwertaufgaben
14. Funktionsanpassungen / Regressionsrechnung
15. Näherungsverfahren
15.1 Das Newton-Verfahren
15.2 Die Keplersche Fassregel
16. Folgen
16.1. Definition einer Folge und Folgetypen
16.2 Eigenschaften von Folgen
16.2.1 Monotonie von Folgen
16.2.2 Beschränktheit von Folgen
16.2.3 Konvergenz von Folgen
17. Die vollständige Induktion
18. Wachstum
18.1 Differenzialgleichungen (DGL)
18.2 Wachstums- und Zerfallsmodelle und ihre Besonderheiten
18.2.1 Exponentielles Wachstum
18.2.2 Beschränktes Wachstum/Zerfall

1. Gleichungslehre
1. Gleichungslehre
Bei vielen Aufgaben der Analysis müssen Gleichungen gelöst werden.
Im Wahlteil sollte man aus Zeitgründen die Gleichungen mit Hilfe des GTR lösen
(Ausnahme: Es ist ausdrücklich in der Aufgabe vermerkt (z.B. „Lösen Sie exakt…“) oder es
tauchen in der Gleichung neben der Variablen noch weitere Parameter auf).
Im Pflichtteil müssen Gleichungen ohne GTR gelöst werden.
1.1 Lösen von Gleichungen ohne GTR
Für die Lösung von Gleichungen kann man häufig folgenden Satz verwenden:
Satz vom Nullprodukt:
Ein Produkt a ⋅ b ergibt genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist
(also a = 0 oder b = 0).
Beispiel 1.1:
Gib die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen an:
x 2
a) ( x + 3)
⋅ ( x − 4)
⋅ ( x + 5)
= 0 b) e ⋅ x = 0
Bei Teil a) wäre es schlecht, die Klammern auszumultiplizieren. Die Klammern bilden ein
Produkt, deren Ergebnis 0 ist, also kann der Satz vom Nullprodukt direkt angewandt und die
Lösungsmenge ohne weitere Rechnung hingeschrieben werden.
zu a): L = {-3 ; 4 ; -5} (setze jede einzelne Klammer = 0)
x
zu b): L = {0} ( e kann nie Null werden)
Ansonsten hängt das Verfahren zum Lösen einer Gleichung vom Typ der Gleichung ab.
In den Kapiteln 1.1.1 – 1.1.5 werden zu den genannten Gleichungstypen die jeweiligen
Verfahren vorgestellt.
1.1.1 Ganzrationale Gleichungen
Ganzrationale Gleichungen besitzen die Bauart
n
n−1
an x + an−
1x
+ ... + a1x
+ a0
= 0 mit n ∈{0,1,2,…}.
Die größte Hochzahl n wird als Grad der Gleichung bezeichnet.
Die Zahlen an, an
− 1,...
nennt man Koeffizienten.
Gleichungen 1. und 2. Grades
Gleichungen vom Grad 1 kann man direkt nach x auflösen.
Für Gleichungen vom Grad 2 (quadratische Gleichung) steht die Mitternachtsformel zur
Verfügung.

1. Gleichungslehre
Mitternachtsformel für quadratische Gleichungen:
Die Gleichung ax ² + bx + c = 0 besitzt die Lösungsformel
x1, 2
− b ±
=
b²
2a
− 4ac
Der Ausdruck b² − 4ac
unter der Wurzel heißt Diskriminante.
Diskriminante > 0: Es existieren zwei verschiedene Lösungen.
Diskriminante = 0: Es existiert genau eine Lösung.
Diskriminante < 0: Es existiert keine Lösung.
Gleichungen 3.Grades
Für Gleichungen vom Grad 3 gibt es mehrere Lösungsansätze, die je nach konkreter
Gleichung angewandt werden müssen. Mit folgenden Schritten kommt man zum Ziel:
1.Schritt: Gleichung = 0 setzen
2.Schritt: Prüfung, ob x, x²,… ausgeklammert werden kann. Falls ja, kann anschließend der
Satz vom Nullprodukt angewandt werden (siehe Beispiel 1.2.a)).
Falls nein, dann 3.Schritt.
3.Schritt: Falls x nicht ausgeklammert werden kann, wird eine Lösung benötigt (entweder
bereits vorgegeben oder zu erraten) und dann wird mit Hilfe der Polynomdivision
oder alternativ mit dem Horner-Schema (wird meist nicht im Unterricht behandelt)
die Gleichung gelöst (siehe Beispiel 1.2. b)).
Hinweis zur Unterstützung beim Erraten der Lösung im 3.Schritt:
Es genügt, die Teiler der konstanten Zahl (Zahl ohne Variable) in der Gleichung
durchzutesten, sofern alle Koeffizienten der Gleichung ganzzahlig sind !
Bei der Gleichung x 24x
5 0
3
− − = wäre die Konstante -5 und es kommen als zu testende
Lösungen nur die Teiler 1 oder 5 oder -1 oder -5 in Betracht.
Beispiel 1.2:
3 3
a) x = x ⇔ x − x = 0
Hier kann x ausgeklammert werden: x ⋅ ( x − 1)
= 0
2
Nun gilt nach dem Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x ² − 1 = 0
Aus der quadratischen Gleichung ergeben sich die Lösungen x = ± 1,
also L = {0 ; 1 ; -1}
3
3
b) x − 7x
= −6
⇔ x − 7x
+ 6 = 0
x kann nicht ausgeklammert werden. Also muss gemäß des 3.Schrittes eine Lösung
erraten werden. Hier probiert man als Teiler der Konstanten 6 die Zahlen ± 1,
± 2 , ± 3
und ± 6 . Als erratene Lösung findet man hier schnell x = 1.
Nun gibt es zwei Wege, wie man mit Hilfe der erratenen Lösung die weiteren Lösungen
findet – nämlich mit Hilfe der Polynomdivision oder des Horner-Schemas.
Es genügt natürlich, nur eines der beiden Verfahren zu kennen.

1. Verfahren: Horner-Schema
1. Gleichungslehre
Zunächst schreibt man die Koeffizienten der Gleichung auf.
Die Koeffizienten sind die fettgedruckten Zahlen: 1x³ + 0x² - 7x + 6 = 0
1 0 -7 6
x = 1 0 1 **) 1 -6 ****)
1 *) 1 -6 ***) 0 *****)
Erklärung: In der ersten Zeile werden die Koeffizienten der Gleichung eingetragen.
In der zweiten Zeile steht in der 1.Spalte die erratene Lösung und in der 2.Spalte steht immer
eine 0.
Die Einträge in der dritten Zeile ergeben sich immer als Summe der ersten beiden Zeilen.
Der Eintrag *) ergibt sich also durch 1 + 0 = 1.
Der Eintrag **) wird berechnet, indem das Ergebnis der dritten Zeile aus der vorherigen
Spalte (also *) ) mit der erratenen Lösung (x = 1) multipliziert wird: 1 ⋅ 1 = 1.
Der Eintrag ***) ergibt sich als Summe der ersten beiden Zeilen: -7 + 1 = -6.
Der Eintrag ****) ergibt sich als − 6 ⋅1
= −6
.
Der Eintrag *****) ergibt als Summe 6 + (-6) = 0. Als letzter Eintrag in der dritten Zeile muss
immer eine 0 stehen. Falls dem nicht so ist, hat man sich irgendwo verrechnet.
Die restlichen Lösungen der Gleichung erhält man dadurch, dass man die Zahlen in der
dritten Zeile ab der 2.Spalte als Koeffizienten einer neuen Gleichung interpretiert, die einen
Grad niedriger ist als die ursprüngliche Gleichung:
1x² + 1x - 6 = 0 und diese Gleichung kann nun mit der Mitternachtsformel gelöst werden:
− 1±
1+
24 − 1±
5
x2, 3 = = und damit x2 = 2 und x3 = −3
2 2
Neben der erratenen Lösung x = 1 besitzt die ursprüngliche Gleichung somit noch zwei
weitere Lösungen, insgesamt also L = {1, 2, -3}.
2. Verfahren: Polynomdivision
Anstatt des Horner-Schemas kann man auch mit Hilfe der Polynomdivision die restlichen
Lösungen bestimmen. Hierzu wird folgende Regel ausgenutzt:
n
n−1
Besitzt die Gleichung an ⋅ x + an
− 1 ⋅ x + ... + a1
⋅ x + a0
= 0 die Lösung 0 x x = , dann ist
der Term auf der linken Seite durch den Linearfaktor ( 0 x x − ) ohne Rest teilbar.
Da der Term x 7x
6
3
− + an der Stelle x = 1 den Wert 0 annimmt, kann ( x 7x
6)
: ( x 1)
3
− + −
ohne Rest dividiert werden.
Das Ergebnis der Division erfolgt nun mit Hilfe des Verfahrens der Polynomdivision:
(x³ - 7x + 6) : (x-1) = x² + x - 6
-(x³ - x²) *)
----------------
x² - 7x + 6 **)
-(x² - x) ***)
-------------------
-6x + 6
-(-6x + 6)
----------------
0

1. Gleichungslehre
Erklärung der Polynomdivision:
Zunächst schreibt man beide Klammern mit jeweils absteigenden Hochzahlen auf.
Dann muss man die höchsten Grade aus beiden Klammern – die also jeweils ganz links
stehen – dividieren (also x : x
3
). Dies ergibt x² und wird hinter das Gleichheitszeichen
geschrieben. Danach wird x² mit der Divisions-Klammer (x-1) ausmultipliziert. Das Ergebnis
wird als Klammerausdruck unter die erste Klammer geschrieben und ein Minuszeichen davor
gesetzt (siehe *)).
Anschließend werden die beiden untereinander stehenden Klammerausdrücke verrechnet
und das Ergebnis mit absteigender Hochzahl sortiert darunter geschrieben (siehe **)).
Nun geht es weiter wie zu Beginn, d.h. bei dem Restterm **) wird nun wieder der Ausdruck
mit dem höchsten Grad durch den höchsten Grad in (x-1) dividiert (also x : x
2
).
Das Ergebnis +x wird als nächstes hinter das Gleichheitszeichen geschrieben und dann
wieder mit der Klammer (x-1) ausmultipliziert und das Ergebnis darunter geschrieben (siehe
***)).
Zum Schluss muss als Rest die Zahl 0 entstehen. Falls dies nicht der Fall sein sollte, hat
man sich irgendwo verrechnet.
Mit Hilfe des Ergebnisses der Polynomdivision kann man nun den Ausgangsterm
x 7x
6
3
3
2
− + als Produkt schreiben: x − 7x
+ 6 = ( x − 1)
⋅ ( x + x − 6)
Nun kann man den Satz vom Nullprodukt anwenden:
3
2
x − 7x
+ 6 = 0 ⇔ ( x − 1)
⋅ ( x + x − 6)
= 0
Daraus folgt x = 1 (wurde bereits erraten) oder x x 6 0
2
+ − = und diese Gleichung kann nun
mit der Mitternachtsformel gelöst werden:
− 1±
1+
24 − 1±
5
x2, 3 = = und damit x2 = 2 und x3 = −3
2 2
Neben der erratenen Lösung x = 1 besitzt die ursprüngliche Gleichung somit noch zwei
weitere Lösungen, insgesamt also L = {1, 2, -3}.
Division durch x !
3
2
x = x ⇒ x = 1 Diese Umformung (Division von „x“) ist falsch. Denn dadurch
geht die Lösung x = 0 verloren !! Der richtige Weg findet sich in Beispiel 1.2 a)
Regel: Man darf eine Gleichung nur dann durch einen Ausdruck, in dem x enthalten ist,
x
durchdividieren, wenn dieser niemals Null ergeben kann (wie z.B. Division durch e ).
Gleichungen 4. Grades
Für Gleichungen vom Grad 4 gibt es mehrere Lösungsansätze, die je nach konkreter
Gleichung angewandt werden müssen. Mit folgenden Schritten kommt man zum Ziel:
1.Schritt: Gleichungen = 0 setzen
2.Schritt: Prüfung, ob x, x²,… ausgeklammert werden kann. Falls ja, kann der Satz vom
Nullprodukt angewandt werden. Falls nein, dann 3.Schritt.

1. Gleichungslehre
3.Schritt: Prüfung, ob die Gleichung mit Hilfe der Substitution lösbar ist. Dies ist dann der
Fall, wenn die Gleichung die Bauart ax
Falls nein, dann 4.Schritt.
+ bx + c = 0 besitzt.
4.Schritt: Falls der 2. oder 3.Schritt nicht zum Ziel führt, muss eine Lösung erraten werden
und zweimal mit der Polynomdivision gearbeitet werden. Dieser Fall ist aber für
eine Abituraufgabe im Pflichtteil nicht zu erwarten.
Beispiel 1.3:
a) 3x 2x²
5 0
4
+ − =
Substitution: x ² = u führt auf 3 u²
+ 2u
− 5 = 0
− 2 ±
Mitternachtsformel: u1, 2 =
4 + 60 − 2 ± 8
5
= und damit u1 = 1 , u2 = −
6
6
3
Rücksubstitution: u1 = 1⇒
x²
= 1⇒
x = ± 1
5 5
u2 = − ⇒ x²
= − nicht lösbar , also L = {1; -1}
3 3
4
2
b) x − 7x
+ 6x
= 0 ⇔ x ⋅ ( x − 7x
+ 6)
= 0
3
Mit dem Satz vom Nullprodukt ergibt sich x = 0 oder x 7x
6 0
3
− + = .
Diese Gleichung 3.Grades wurde in Beispiel 1.2 b) schon gelöst, also L = {0 ; 1; 2 ; -3 }
Gleichungen vom Grad 5 und höher
5 3
Hier kommt man in der Regel mit Ausklammern (z.B. bei x − x = 0 ) oder mit Substitution
(z.B. bei 2x 3x³
1 0
6
− + = mit x u
3 = ) zum Ziel.
Linearfaktorzerlegung
n
Die Linearfaktorzerlegung eines Polynoms a nx
n−1
+ an−1x
+ ... + a1x
+ a0
hat die Bauart
⋅ ( x − x ) ⋅ ( x − x ) ⋅....
⋅ ( x − x )
an 1
2
n
Die Werte x 1,
x 2,...,
xn
sind die Lösungen der Gleichung an x + an
1x
+ ... + a1x
+ a0
= 0 .
Beispiel 1.4:
Zerlege das Polynom x 7x
6
3
− + in Linearfaktoren.
Die Gleichung x 7x
6 0
3
− + = besitzt gemäß Beispiel 1.2 b) die Lösungsmenge
L = {1, 2, -3}.
Daraus folgt: − 7x
+ 6 = 1⋅
( x − 1)
⋅ ( x − 2)
⋅(
x + 3)
Der Faktor 1, der natürlich hier nicht hingeschrieben werden muss, entspricht dem
Koeffizienten vor dem höchsten Grad 3
x .
x 3
Linearfaktorzerlegungen sind vor allem bei Bruchtermen zum Kürzen nützlich (siehe hierzu
auch Kapitel 7.2.3.)
(…)
4
2
n
−
n−1

1.2 Gleichungen lösen mit dem GTR
3. Ableitungen und ihre Bedeutung
Um Gleichungen mit dem GTR zu lösen, werden alle Ausdrücke der Gleichung auf eine
Seite gebracht, so dass sie die Gestalt f ( x)
= 0 besitzt. Damit kann die Lösung der Gleichung
anschaulich als Schnittstellenberechnung des Schaubildes von f mit der x-Achse
interpretiert werden.
Beispiel 1.14: Löse die Gleichung 2x
− 3x
= 6 mit dem GTR.
4
3
4
Umformung der Gleichung: 2x
− 3x
− 6 = 0
Eingabe in den GTR: Y1 = 2X^4 - 3X^3 - 6 .
Mit GRAPH das Schaubild zeichnen und mit 2nd ; CALC ; ZERO die Schnittpunkte der
Kurve mit der x-Achse berechnen.
Schnittstellen laut GTR: x = -1,055 oder x = 1,9223 also L = {-1,055 ; 1,9223}
3
Es gibt auch die Möglichkeit, mit Hilfe der Befehle MATH und Solver eine Gleichung ohne
Schaubildunterstützung zu lösen.
Der Nachteil dieser Variante ist jedoch, dass ein Schätzwert für x vorgegeben werden muss
und dass bei Gleichungen mit mehreren Lösungen jeweils nur eine Lösung angegeben wird
– nämlich die, die näher an dem Schätzwert liegt. Wenn man nun nicht weiß, wie viele
Lösungen eine Gleichung besitzt, ist dies umständlicher, als mit der graphischen Methode
wie in Beispiel 1.14, in der man sofort sieht, dass die Gleichung 2 Lösungen besitzt (sofern
man von der x-Achse über WINDOW einen genügend großen Ausschnitt zeichnen lässt)
Wenn in einer Wahlteilaufgabe eine Gleichung exakt gelöst werden muss, dann genügt es
nicht, wenn man gerundete Dezimalzahlen vom GTR einfach abschreibt. Dann muss man
die Gleichung ohne GTR lösen. Der GTR kann jedoch zur Ergebniskontrolle herangezogen
werden.
(…)
3. Ableitungen und ihre Bedeutung
3.1 Definition der Ableitungsfunktion
Der Ableitungsbegriff ergibt sich aus der Fragestellung, wie groß die Steigung an einer
bestimmten Stelle x bzw. in einem Kurvenpunkt P(x/f(x)) des Schaubildes einer Funktion f(x)
ist.
Zunächst muss geklärt werden, wie die Steigung in einem Kurvenpunkt definiert ist:
Die Steigung des Schaubildes an der Stelle x ist definiert als Steigung der Tangente, die
das Schaubild an der Stelle x berührt.

3. Ableitungen und ihre Bedeutung
Um die Steigung der Tangente im Punkt P(x/f(x)) zu berechnen, wird zunächst
näherungsweise die Steigung der Sekante durch die Punkte P(x/f(x)) und Q(x+h/f(x+h))
berechnet.
Die Sekante durch P und Q hat die Steigung
yQ
− yP
mSekante
= mPQ
= =
xQ
− xP
Diese Steigung wird auch als Differenzenquotient bezeichnet.
f(
x
+ h)
− f(
x)
h
Der Differenzenquotient beschreibt die mittlere Änderungsrate der Funktion im Bereich
zwischen P und Q, also im Intervall [x ; x+h].
Wandert der Punkt Q nun immer näher auf den Punkt P zu (das bedeutet, dass h → 0
strebt), so nähert sich die Steigung der Sekante der Steigung der Tangente in P an.
Die Steigung der Tangente an der Stelle x und damit die Ableitung f ′ ( x)
ist definiert als:
f(
x + h)
− f(
x)
mTangente
= lim
= f′
( x)
h→
0 h
Dieser Grenzwert wird auch als Differenzialquotient bezeichnet.
Existiert dieser Grenzwert, heißt die Funktion an der Stelle x differenzierbar und der
Grenzwert ist die „erste Ableitung an der Stelle x “.
Funktionen, die an einer Stelle nicht differenzierbar sind, werden in Kapitel 10 behandelt.
Der Differenzialquotient beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion an der Stelle
x.
Der Unterschied zwischen der mittleren und momentanen Änderungsrate wird in Kapitel 3.4
erklärt.
Wie man die erste Ableitungsfunktion f ′ ( x)
mit Hilfe des Differenzialquotienten berechnet,
wird an folgendem Beispiel gezeigt.

3. Ableitungen und ihre Bedeutung
Beispiel 3.1
a) Berechne mit dem Differenzialquotienten die Ableitung f ′ ( 3)
von f( x)
= 2x²
− 3x
f(
3 + h)
− f(
3)
2(
3 + h)²
− 3(
3 + h)
− 9 18 + 12h
+ 2h²
− 9 − 3h
− 9
f ′ ( 3)
= lim
= lim
= lim
h→0
h
h→0
h
h→0
h
9h
+ 2h²
h(
9 + 2h)
= lim = lim = lim 9 + 2h
= 9
h→0
h h→0
h h→0
b) Berechne mit dem Differenzialquotienten die Ableitungsfunktion f ′ ( x)
von f( x)
= x − 5 .
f(
x + h)
− f(
x)
f ′ ( x)
= lim
= lim
h→0
h
h→0
x + h − 5 − (
h
x − 5)
= lim
h→0
x + h −
h
x
(nun folgt ein TRICK: Erweitern des Bruches mit Hilfe auf die 3.binomischen Formel)
(
= lim
h→0 x + h −
h ⋅ (
x )( x + h +
x + h + x )
x )
= lim
h→0
h(
x + h − x
= lim
x + h + x ) h→0
1
x + h +
1
=
x 2 ⋅ x
1
c) Berechne mit dem Differenzialquotienten die Ableitungsfunktion f ′ ( x)
von f ( x)
=
2
3x
.
2
2
1 1 x − ( x + h)
−
f(
x + h)
− f(
x)
3(
x + h)²
3x²
3(
x + h)²
⋅ x²
f ′ ( x)
= lim
= lim
= lim
h→0
h
h→0
h
h→0
h
− 2x
− h − 2x
2
= lim = = −
h→0 4
3
3x²(
x + h)²
3x
3x
h(
−2x
− h)
3x²(
x + h)²
= lim
h→0
h
Die Berechnung der Ableitungsfunktion mit Hilfe des Differenzialquotienten ist recht
kompliziert und erfordert Zeit.
Hier gibt es einfachere Ableitungsregeln, die ohne eine Grenzwertberechnung auskommen.
Diese werden im Kapitel 3.2. vorgestellt.
Da im Abitur aber auch durchaus verlangt werden könnte, eine Funktion mit Hilfe des
Differenzialquotienten abzuleiten bzw. zu erläutern, wie eine Ableitungsfunktion definiert ist,
sollte man das Verfahren bzw. die Formeln aus Beispiel 3.1 trotzdem kennen.
3.2 Ableitungsregeln
3.2.1 Grundlegende Ableitungsregeln
n
n−1
Ableitung von Potenzfunktionen: f(
x)
= a ⋅ x ⇒ f′
( x)
= a ⋅ n ⋅ x n beliebige Zahl
Ableitung von Summen: f ( x)
= g(
x)
+ h(
x)
⇒ f′
( x)
= g′
( x)
+ h′
( x)
Konstante Summanden fallen weg: f ( x)
= c + g(
x)
⇒ f′
( x)
= g′
( x)
, c beliebige Zahl
Konstante Faktoren bleiben erhalten: f ( x)
= c ⋅ g(
x)
⇒ f′
( x)
= c ⋅ g′
( x)
, c beliebige Zahl
Ableitung trigonometrischer Funktionen:
f(
x)
= sin( x)
⇒ f ′ ( x)
= cos( x)
⇒ f ′′ ( x)
= − sin( x)
⇒ f′
′′ ( x)
= − cos( x)
⇒ f
Einfacher auswendig zu lernen mit dem „Ableitungsquadrat“:
sin(x) cos(x)
-cos(x) -sin(x)
''''
( x)
=
sin( x)

9. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung
Beispiel 3.2:
3
2
a) f(
x)
= 4x
− 12x²
+ 9x
− 6 ⇒ f ′ ( x)
= 4 ⋅ 3 ⋅ x²
− 12 ⋅ 2 ⋅ x + 9 = 12x
− 24x
+ 9
1 4 7
4 7
b) f(
x)
= x − x²
+ x − 2 ⇒ f ′ ( x)
= x³
− 2x
+
3 3
3 3
2 2
c) f(
t)
= 6 ⋅ sin( t)
− cos( t)
+ 3 ⋅ t + 5 ⋅ s − 7 ⋅ x ⇒ f′
( t)
= 6 ⋅ cos( t)
+ sin( t)
+ 6t
(hier ist „t“ die Variable, alle anderen Buchstaben werden beim Ableiten wie normale
Zahlen behandelt)
(…)
9. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung
9.1 Aufstellen von Tangenten- und Normalengleichungen bei gegebenem
Berührpunkt oder gegebener Steigung
Eine Tangente ist eine Gerade, die das Schaubild von f in einem bestimmten Kurvenpunkt B
berührt.
Eine Normale ist eine Gerade, die senkrecht zur Tangente steht und durch den Berührpunkt
B der Tangente verläuft.
Der Berührpunkt B ist entweder direkt in der Aufgabenstellung angegeben (siehe Beispiel
9.1) oder er muss berechnet werden. Zum Beispiel kann bei einer vorgegebenen
Tangentensteigung m in der Aufgabe mit Hilfe der Bedingung f ′ ( x)
= m der
x-Wert des Berührpunktes ermittelt werden (siehe Beispiel 9.2).
Für das Aufstellen einer Tangenten- oder Normalengleichung wird die Punkt-Steigungs-
Form benutzt:
Die Punkt-Steigungs-Form
y − y1
= m ⋅ ( x − x1
)
dient dazu, eine Geradengleichung aufzustellen, wenn man von der Geraden den Punkt
P( x1
/ y1)
und die Steigung m kennt.

9. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung
Oft wird fälschlicherweise gedacht, dass man mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form
eine Steigung berechnen kann. Ganz im Gegenteil:
Die Steigungszahl m wird benötigt, um die Formel überhaupt anwenden zu können.
Die Punkt-Steigungs-Form liefert tatsächlich nichts weiter als eine Geradengleichung !
Wie man nun eine Tangenten- und Normalengleichung in einem gegebenen Berührpunkt
aufstellt, wird an folgendem Beispiel verdeutlicht:
Beispiel 9.1:
Bestimme die Tangenten- und die Normalengleichung an das Schaubild der Funktion
f( x)
= 4x³
− 3x²
im Kurvenpunkt B ( 1/
f(
1))
.
Aufstellen der Tangentengleichung:
1. Schritt: Punkt vervollständigen: f ( 1)
= 4 − 3 = 1,
also B(1/1)
2. Schritt: Steigung der Tangente im Punkt B berechnen: f′ ( x)
= 12x²
− 6x
f ′ ( 1)
= 6 =
m tan g
3. Schritt: Da nun ein Punkt der Tangente und die Steigung der Tangente bekannt ist, kann
die Punkt-Steigungs-Form nun angewandt werden:
y − 1 = 6(
x −1)
⇔ y = 6x
− 5
Die Tangentengleichung in B(1/1) lautet y = 6x – 5.
Aufstellen der Normalengleichung:
1. Schritt: Punkt vervollständigen: f ( 1)
= 4 − 3 = 1,
also B(1/1)
2.Schritt: Steigung der Normalen im Punkt B berechnen:
Hier wird folgende Regel benötigt:
Zwei Geraden g und h stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn für ihre
Steigungen gilt: ⋅ m = −1.
Somit gilt:
Also
m Normale
mg h
mNormale ⋅ mTangente
= −1⇔
mNormale
= −
m
= −
1
6
3.Schritt: Anwendung der Punkt-Steigungs-Form:
1
1 7
y − 1 = − ( x −1)
⇔ y = − x +
6
6 6
1 7
Die Normalengleichung in B(1/1) lautet y = − x + .
6 6
1
Tangente

9. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung
AUSZUG AUS DEM AUFGABENSKRIPT
3. Ableitungen und ihre Bedeutung
Aufgabe 3-1: (Pflichtteil)
Ermittle die Ableitungsfunktion f′ ( x)
mit Hilfe des Differenzialquotienten.
a) f ( x)
= 2x²
− 4x
+ 3 b) f( x)
= 3x
− 1 c)
Aufgabe 3-2: (Pflichtteil)
Leite mit Hilfe der Produktregel einmal ab:
a) f( x)
= sin( x)
⋅ cos( x)
b)
e) f( x)
= x ⋅ sin( x)
f)
f(
x)
Aufgabe 3-3: (Pflichtteil)
Leite mit Hilfe der Quotientenregel einmal ab:
a)
e)
x
e
f(
x)
=
x
e
− 1
+ 1
b)
ln x
f ( x)
= x
e
f)
LÖSUNGEN
f(
x)
2
=
2
x − 2
x −1
x
= c) f( x)
= x²
⋅ x d) f(
x)
= e ⋅ln
x
−x
e
3
x
f( x)
= ( 2x
− 3x
+ 1)
⋅ e g) f( x)
= x ⋅ sin( x)
⋅ cos( x)
x
f ( x)
= c)
cos( x)
2
x
( x)
=
x −1
f 2
f(
x)
x + 1
= d)
x + 1
f(
x)
=
a + sin( x)
cos( x)
Aufgabe 3-2:
2 2
a) f(
x)
= sin( x)
⋅ cos( x)
⇒ f ′ ( x)
= cos( x)
⋅ cos( x)
+ sin( x)
⋅ ( − sin( x))
= cos ( x)
− sin ( x)
b)
c)
x − 1
x
x
x
f( x)
= = ( x − 1)
⋅ e ⇒ f′
( x)
= 1⋅
e + ( x − 1)
⋅ e
− x
e
x
x
= e ( 1+
x − 1)
= x ⋅ e
f( x)
= x²
⋅ x ⇒ f′
( x)
= 2x
⋅
3 3 3
2 1 2 1 2 5 2 5
x + x ⋅ = 2x
+ x = x = ⋅
2 x 2 2 2
3
x
2
(Diese Funktion hätte man auch ohne Produktregel ableiten können, da x ⋅
5
x = x 2 ist).