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12 MATHEMATIK Zahlen im Zehnersystem/Dezimalzahlen Im dekadischen Zahlensystem, kurz: Zehnersystem oder Dezimalsystem, wird als Basis die Zahl 10 benutzt, d. h. die einzelnen Stellen sind Potenzen von 10 (Zehnerpotenzen). Zur Darstellung der einzelnen Zahlen werden die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 benutzt. Die Stelle einer Ziffer innerhalb der ganzen Zahl ergibt ihren Wert. Eine Stellentafel im Dezimalsystem hat folgende Form: Billionen Milliarden Millionen Tausend 10 14 10 13 10 12 10 11 10 10 10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 4 3 0 5 2 6 0 0 4 4 Für die in der dezimalen Stellentafel dargestellte Zahl 4 305260 044 gilt: 4305 260 044 ¼ 4 10 9 þ3 10 8 þ5 10 6 þ2 10 5 þ6 10 4 þ4 10 1 þ 4 10 0 ¼ 4 1000000000 þ3 100000000 þ5 1000000 þ2 100000 þ6 10000 þ4 10 þ 4 1 Die in der Stellentafel dargestellte Zahl 4 305 260 044 lautet: vier Milliarden dreihundertfünf Millionen zweihundertsechzig Tausend vierundvierzig. Zahlen im Zweiersystem/Dualzahlen Im dualen Zahlensystem, kurz: Zweiersystem oder Dualsystem, wird als Basis die Zahl 2 benutzt, d.h. die einzelnen Stellen sind Potenzen von 2. Zur Darstellung der einzelnen Zahlen werden nur zwei Ziffern benötigt: 0 und 1. Eine Stellentafel im Dualsystem hat folgende Form: 2 10 ð¼ 1024Þ 2 9 ð¼ 512Þ 2 8 ð¼ 256Þ 2 7 ð¼ 128Þ 2 6 ð¼ 64Þ 2 5 ð¼ 32Þ 2 4 ð¼ 16Þ 10 4 2 3 ð¼ 8Þ 10 3 2 2 ð¼ 4Þ 10 2 2 1 ð¼ 2Þ 1 0 1 0 1 1 0 1 1 Für die in der dualen Stellentafel dargestellte Zahl [101011011]2 gilt: ½101011011Š2 ¼ 1 28 þ1 2 ¼ 256 6 þ1 2 þ64 4 þ1 2 þ16 3 þ1 2 þ8 1 þ1 2 þ2 0 þ1 ¼ 347 Für die Addition von Dualzahlen gilt: 0 þ 0 ¼ 0; 0 þ 1 ¼ 1; 1 þ 0 ¼ 1; 1 þ 1 ¼ 10 Für die Multiplikation von Dualzahlen gilt: 0 0 ¼ 0; 0 1 ¼ 0; 1 0 ¼ 0; 1 1 ¼ 1 Zahlen im Hexadezimalsystem/Hexadezimalzahlen 10 1 10 0 2 0 ð¼ 1Þ Im Hexadezimalsystem wird als Basis die Zahl 16 benutzt, d.h. die einzelnen Stellen sind Potenzen von 16. Zur Darstellung der einzelnen Zahlen werden 16 Ziffern benötigt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Eine Stellentafel im Hexadezimalsystem hat folgende Form: 16 8 ð¼ 4 294 967 296Þ 16 7 ð¼ 268 435 456Þ 16 6 ð¼ 16 777 216Þ 16 5 ð¼ 1 048 576Þ 16 4 ð¼ 65 536Þ 16 3 ð¼ 4 096Þ 16 2 ð¼ 256Þ 16 1 ð¼ 16Þ A 0 6 0 3 7 F Für die in der hexadezimalen Stellentafel dargestellte Zahl [A06037F]16 gilt: ½A06037FŠ16 ¼ 10 166 þ6 16 ¼ 10 16777216 4 þ3 16 þ6 65536 2 þ7 16 þ3 256 1 þ15 16 þ7 16 0 þ15 1 ¼ 168166271 16 0 ð¼ 1Þ
18 MATHEMATIK Lineare Gleichungen/lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungen mit einer Variablen Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Lineare Gleichungssysteme (LGS) mit 2 Variablen Grafisches Lösen von linearen Gleichungssystemen mit 2 Variablen Rechnerisches Lösen von linearen Gleichungssystemen allgemeine Form: a x þ b ¼ 0, wobei a, b konstant und a 6¼ 0 Lösung: x ¼ b bzw. L ¼ a b a allgemeine Form: ax þ by¼ c, wobei a, b, c konstant und a 6¼ 0; b 6¼ 0 Lösungsmenge: L ¼ ðx; yÞjy ¼ a c x þ b b Alle Lösungen liegen auf ein und derselben Geraden. allgemeine Form: (I) a 1 x þ b 1 y ¼ c 1 (II) a2 x þ b2 y ¼ c2, wobei a1, b1, c1, a2, b2, c2 konstant Lösungsmenge: Schnittmenge der Lösungsmengen beider Gleichungen Das LGS hat genau eine Lösung, wenn die Geraden einander schneiden. y Lineare Funktionen/konstante Funktionen y 0 0 x 0 I x II Das LGS hat keine Lösung, wenn die Geraden parallel verlaufen. y 0 II I x Das LGS hat unendlich viele Lösungen, wenn die Geraden zusammenfallen. y Einsetzungsverfahren: eine Gleichung nach einer Variablen auflösen den entstehenden Term in die andere Gleichung einsetzen Gleichsetzungsverfahren: beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen entstehende Terme gleichsetzen Additionsverfahren: eine Gleichung auf beiden Seiten mit einer Zahl ð6¼ 0Þ multiplizieren, sodass in beiden Gleichungen die Koeffizienten vor einer der Variablen dem Betrage nach gleich, ihre Vorzeichen aber verschieden sind Gleichungen dann addieren Lineare Funktionen Funktionsgleichung: y ¼ f ðxÞ¼m x þ n, wobei m, n konstant und m 6¼ 0 grafische Darstellung: Gerade durch den Punkt P(0; n) mit Steigung m Steigung: m ¼ y2 y1 ðx1 6¼ x2Þ x2 x1 m ¼ tan a ða 6¼ 90°Þ Monotonie: für m > 0 monoton wachsend für m < 0 monoton fallend Nullstelle: x0 ¼ n m y y 2 y 1 n I= II Steigungswinkel � α x2 - x1 x0 0 x1 x2 x 0 x f (x) = m .x+n � y 2 - y 1 Steigungsdreieck Konstante Funktionen Funktionsgleichung: y ¼ f ðxÞ¼n, wobei n konstant grafische Darstellung: Gerade durch den Punkt Pð0;nÞ, parallel zur x-Achse
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