Mechanik 2

Physik für Pharmazeutenund BiologenMECHANIK IIArbeit, Energie, LeistungImpulsRotationen

Mechanik II 1.3 Arbeit, Energie, Leistung• mechanische ArbeitW = F r r∆ Einheit2 2[ W] = Nm = kgm s = J (Joule) Arbeit ist Skalar (Zahl), kein Vektor, aber abhängig von Winkelzwischen Kraft und Wegr r r rW = F∆ = F ∆cosα für gekrümmte Strecken als Summe(Integral) über Teilstrukturen. Änderung der Bewegung⇔ Arbeit zuführen/entnehmen⇒ Energie: Fähigkeit Arbeit zu verrichtenz.B. Änderung der Bewegung zu verursachen

Die ArbeitDie Arbeit W (work) wird definiert als das Produkt aus dem Weg den einKörper zurücklegt und der Kraft, die in Richtung dieses Weges wirkt.W = vF ⋅ v s = F ⋅ s ⋅ cos(α)Die Arbeit ist dasSkalarprodukt aus Kraft und WegEinheit: 1 J(oule)=1 Nm=1 kgm 2 /s 2vFvαsF cos(α)Bei veränderlicher Kraft summieren wirüber kleine Wegelementev r∆ v sWv r= F ⋅∆s= F ⋅ds∑∫vF

Die elastische Verformungsarbeitx=0sFFür die Federkraft gilt:F= −D⋅ sW Dv v= ∫ Fds = ∫−D ⋅ s ⋅ds=−D 22 s

Potentielle Energie- Energie ist die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten.Ein Körper, an dem mechanische Arbeit geleistet worden ist, hat dieFähigkeit gewonnen diese Arbeit wieder zurückzugeben. Die von ihmaufgenommene Energie wird potentielle Energie genanntFeder:Epot= −WD=D 22 sLage:Epot= −WH=m⋅g⋅h

Konservative Kraft und potentielle EnergieExperiment: Potential-LandschaftF= −dEdxpotIm dreidimensionalen Raum gilt :rF⎛= −⎜⎝dVdxdV dV ⎞ r, , ⎟ = −grad V ()dy dz ⎠

Die LeistungDie Leistung P ist definiert als die verrichteteArbeit pro Zeiteinheit.P = dWdt Einheit: 1 W(att)=1 J/s=1 kgm 2 /s 3- Ein Mensch kann ca. 100 W Dauerleistung leisten (Glühbirne).- 1 PS entspricht 735,5 W[Tafel]

Mechanik IIPotential, Kraftfeld• allgemein: r r rKraftfeldF = F( )Kraft hängt nur von r ab.rF∆E= r = grad E∆Gradient⇒Kraft auf MP ergibt sich aus Änderungder Energie W=0 für geschlossene Wege Experiment:schiefe Ebene – ParabelPendel• allgemeines Konzept: Potential(Energiefeld)

Mechanik IIEnergie• Energie für Massepunkte (MP)• MP in Bewegung: v Zuvor ist Beschleunigung notwendig, d.h. Kraft auf MP währendbestimmter Zeit, bzw. über best. Strecke (z.B. Auto)22atr = vt + , für v = 0 giltt=2Fv = at = 2ra = 2r=0m2Wmra• aufgewendete Arbeit:W= mv =22Ekinkinetische Energie

Mechanik IIPotentielle Energie• MP in Höhe h (Schwerkraft wirkt)⇒ potentielle Energie: E = mghpot Beispiel: Körper auf Höhe h=0 mit Anfangsgeschwindigkeit v 0 nachroben (entgegengesetzt zur Kraft) ⇒ Körper wird abgebremst bis v = 0dann gilt:v = v − gt , wenn v = 0 : v = gt , bzw .t =v g0 0 0x = at 2 → 2gh = v2 20mv⇒ E = mgh = = E220pot , tkin,0 wenn Körper zur Ruhe kommt (Zeit t), hat er potentielle Energie (=kinetische Energie bei t=0). Diese kann ihm wieder zugeführt werdenindem er auf Ausgangshöhe gebracht wird.

Mechanik IIEnergiesatz• Pendel:Umwandlung potentielle Energie kinetische Energie• Energiesatz:Energie ist in abgeschlossenem System konstant

Energiesatz der MechanikWenn nur konservative Kräfte wirken,also keine Reibung auftritt, dann gilt:Die Summe aus potentieller und kinetischer Energieeines abgeschlossenen Systems ist unveränderlich.Epot+ E = Ekin ges= konstant

Kann man Arbeit sparen?Goldene Regel der Mechanik:Bei reibungsfreien (idealen) Maschinen gilt: Die dem Kraftwandlerzugeführte Arbeit W zuist gleich der von ihm abgegebenen Arbeit W ab.W zu= W abGeleistete “Zugarbeit” : W zu= F⋅sErbrachte Hub-Arbeit : W ab= F G ⋅hDa am Flaschenzug mit einer losen Rolle F G =2⋅F und h = s/2 gilt,ergibt sich daraus W zu= W ab.

Beispiel Energieumwandlung:Die schiefe Ebene (ohne Reibung)E pot +E kin =constm ⋅ g ⋅ h =m2v2αhv max =2gh

Mechanik IIBeispiel : Pendel• Versuch: Pendelasymmetrisches PendelP : E = 0, E = mgh0P : E = 0, E = mv /21kinpotpotkin2aus Energieerhaltung: mgh = mv /2 ⇒ v = 2gh2maxHöhe links und rechts gleich⇔ Energie bleibt erhaltenmax

Beispiel Energieumwandlung:Das PendelE pot +E kin =constEs gibt 2 ausgezeichnete Punkte1. ϑ=ϑ max mit E kin =0 undEges = Epot( ϑ max) =mgh2. ϑ=0 mit E pot =0 undE kin(0) =2mv max21.)+2.)v = max2gh

Experiment: Das asymmetrische Pendellinks und rechts giltEges = Epot( ϑ max) =mgh

Der allgemeine Energieerhaltungssatz- In einem abgeschlossenen System ist Gesamtenergie konstant.- Energie kann man weder vernichten noch erzeugen.- Die Energieformen können nur ineinander umgewandelt werden.- Dies schließt alle Formen von Energie ein. (Elektrische, mechanische,chemische Energie, Wärmeenergie, etc.)Perpetuum mobileDie von nicht-konservativen Kräften verrichtete Arbeit,W NK entspricht derÄnderung der mechanischen Gesamtenergie∆E = ∆E+ ∆E=gespotkinWdissipativ

Mechanik II• Pendel:Umwandlung potentielle Energie kinetische Energie• Energiesatz:Energie ist in abgeschlossenem System konstant• Leistung: Energieänderung pro Zeiteinheitr r r rP = W t = F ∆ t = F v2 3 Einheit [ P] = J s = kgm s = W (Watt)

Mechanik IIEnergiebilanz für endotherme undexotherme Reaktionen

Die elastische FederkraftExperiment: FederwaageKräfte können über das dynamische Grundgesetz gemessen werden:1 N ist die Kraft, die eine Masse von 1 kg mit 1 m/s 2 beschleunigt.oder auch über ihre Deformationswirkung auf einen Festkörper (Feder):F D= −D⋅( x−x0)FederkonstanteFederauslenkungHook‘sches GesetzF

Das KraftmikroskopD=10 −3Nmx=F nN ⋅ m=D 0,001001NN1 − 6= 10m

Mechanik II 1.4 Impulsr rF ma m dt in Kräfte freiem System:dv= = r= allgemeiner:rd( mv )F = rdt= 0r• Impuls:rp=mv mehrere Massen m 1 , m 2 , ....0⇒ ohne äußere Kräfte bleibt Impuls konstant(Geschwindigkeit konst.)(es kann sich auch Masse ändern)p r = ∑ p r = ∑ m vri i ii= 1... n i=1... nfür Analyse von Stößen definiereSchwerpunkt: “Zentrum“ vieler MassenrmrSr= ∑ mi ii=1.. n

Mechanik IIElastischer-inelastischer Stoß• Versuch: elastischer – inelastischer Stoßv v 1 2 vorher nachherm1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2Vorzeichen beachten !v 1 v 2u 1 =u 2 =uvorher nachherm v + m v = ( m + m ) u1 1 2 2 1 2

Mechanik IIStoßgesetze Stoß: vorher m 1 , v 1 , m 2 , v 2 ,....nachher m 1 , u 1 , m 2 , u 2 ,.... Randbedingungen: Impulserhaltung: Energieerhaltung:m v + m v + ... = m u + m u + ...m v + m v + ... = m u + m u+...1 122 221 122 221 1 2 2 1 1 2 2 für elastische Stöße: u2 2= 1 v , sonst

Mechanik IIChemische Reaktionen• auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllenKA + BC ⎯⎯→ AB + Cr r rp +Ar+pBC=pAB+pCEEkinkin( A)+E( AB)+kinE( BC)=kin( C)+ ∆EchemDie kinetische Energie ist nichterhalten, sondern hängt von derUmwandlung „innerer Energie“ ab.

KreisbahnenMechanik II[Tafel]=m av= ω r = ( 2π/ T )r−Gm ⋅ M2rF G22= −mω r= −mvr(Gravitationskraft = Zentripetalkraft)T22 4 3= π Dritte Keplersche Gesetz⋅ rG ⋅ M(Kreisbahn ist Spezialfall des allgemeinenFalls: Ellipse)

Mechanik IIZentripetalkraft• evtl. konstant, aber nicht geradlinig⇒ Änderung von vimmer r nur durch Kraft,bzw. Beschleunigung⇒v rAnalyse über ähnliche Dreiecker r v ∆vAB r ∆v∆vv ta∆r=r= == ∆ ∆r∆r=∆r=v vr∆ t vBeschleunigung durch eine, auf das Zentrum gerichtete Kraftv 2 2 2Zentripetalkrafta = = ω r F = mωr nach actio = reactio gibt es eine Gegenkraft: Zentrifugalkraft in rotierendem Bezugssystem weitere Kraft:Kugel aus Zentrum kommend bewegt sich geradlinig,im rot. System wird sie aber abgelenkt ⇒ Kraftrvergleiche Ablenkung mit 2 2at /2 = v ⇒Kωta = 2v ω CorioliskraftcKFc= 2mωv

Mechanik IIResumee• Kreisbahnen erfordern Zentripetalkraft• Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft(Planeten)

Mechanik II• Zentripetalkraft nicht Ursache für Rotation, andere Größe !• Betrachte Energie eines rotierenden Körpers (Summe von MP): MP E kin =mv 2 /2, v i =ωr i , (allgemeiner: Integral über Masseverteilung)E = ∑m v = ω ∑m r1 2 1 2 2rot 2 i i 2i iii wenn ω mit v identifiziert wird, muss Summe mit Masse identifiziert werden.2• Trägheitsmoment: J m r ( r ρ( r)dV )= ∑i i= ∫

Mechanik IITrägheitsmomente, Satz von Steiner• Zentripetalkraft nicht Ursache für Rotation, andere Größe !• Betrachte Energie eines rotierenden Körpers (Summe von MP): MP E kin =mv 2 /2, v i =ωr i , (allgemeiner: Integral über Masseverteilung)E = ∑m v = ω ∑m r1 2 1 2 2rot 2 i i 2i iii wenn ω mit v identifiziert wird, muss Summe mit Masse identifiziert werden.22• Trägheitsmoment: J m r ( r ρ( r)dV)= ∑ =i i ∫ Massenteile wirken sich bei Rotation umso mehr aus, je weiter sie vonDrehachse entfernt sind Satz von Steiner: Trägheitsmoment um bel. Achse ist Summe des TMum Achse durch Schwerpunkt und Trägheitmoment eines Massepunktsmit Gesamtmasse im Schwerpunkt JA = JS + MduurASr r rr T = rFr rT = × Fr r r r 2= m × ω × = ω m r =• Drehmoment: ( )• Drehimpuls: L = ∑miri× vi∑ ( )∑i i i i iJω r

Mechanik II

Mechanik IIDrehmoment und Starre Körper• Ungleiche Gewichte stehen imGleichgewicht in Abständen, diesich umgekehrt verhalten wiedie Gewichte. (Archimedes, um 250 v. Chr.)⇒ Ist eine belasteter Hebel imGleichgewicht, so liegt seinSchwerpunkt über der Achse stabiles Gleichgewicht:SP unter Achse (sonst labil)(Stehaufmännchen)

Mechanik IIHebelgesetze• Gleichgewicht (Körper in Ruhe), wenn Summe allerangreifenden Kräfte und Drehmomente verschwindetrrF = 0 und T = 0∑∑ii= 1.. n i=1.. n• "Kraft x Kraftarm = Last x Lastarm"• z.B.: Drehmomente beim Fahrrad• Bizeps gebeugt – gestreckti

Mechanik IIes fehlt• Relativitätstheorie Äquivalenz von Masse und Energie Änderung der Masse bei vc Längenkontraktion, Zeitdilatation (Zwillingsparadox)• Kreisel, Planetenbahnen• deformierbare Körper Dehnung (siehe Feder,Hookesches Gesetz) Kontraktion etc.

Mechanik IIZusammenfassung• Arbeit, Energie, Leistung unterschiedliche Energieformen (kinetische, potentielle ...) Energieerhaltung in abgeschlossenen Systemen (Pendel)• Impuls Impulserhaltung Stoßgesetze, Rückstoß• Rotation Winkel – Winkelgeschwindigkeit – Drehmoment Trägheitsmoment Drehimpuls

Mechanik IIKraftmoment

Mechanik IIDrehmoment

Mechanik IIGleichgewicht

Mechanik IIAnwendung : Hebelgesetz

Mechanik IIBeispiel aus der Anatomie : Bizeps-Sehne

Mechanik IIDrehmomente beim Fahrrad

Mechanik IIUntersetzung der Zahnräder

Mechanik IIResultierende Kräfte/Drehmomente

Mechanik IISchwerpunkt

Mechanik IIStandfestigkeit/Gleichgewicht

Mechanik IIVerallgemeinerte Gleichgewichtsbedingung

Mechanik IIBeispiel : Stabilität