Erste Klausur

Aufgabe 3: (20 Punkte)Eine Kanone steht auf einer schiefen Ebene, die mit dem Winkel θ zur Horizontalen ansteigt.Die Kanone selbst schließt mit der Ebene den Winkel ψ ein. Das Ziel der Kanone liegt immerhöher als sie selbst.a) Die Kanone trifft ein Ziel, das einen horizontalen Abstand h zu ihr hat. Zeigen Sie, dassin diesem Fall für die Mündungsgeschwindigkeit√hg cosθv 0 =2 cos(θ + ψ) sinψgelten muss.b) Die Kanone trifft nun ein Ziel, das einen vertikalen Abstand h von ihr hat. WelcheMündungsgeschwindigkeit muss sie in diesem Fall aufweisen?c) Beschreiben Sie das Verhältnis zwischen dem Ergebnis aus a) und b) für θ = π 4 .Ziel in Teil a)ψθhZiel in Teil b)hHinweis: Die folgenden Identitäten können zur Beantwortung der Frag nützlich sein:Aufgabe 4: (20 Punkte)sin(θ + ψ) = sin θ cos ψ + sin ψ cos θcos(θ + ψ) = cos θ cos ψ − sin ψ sin θ .Ein Teilchen mit der Einheitsmasse bewegt sich im Zentralkraftfeld F = f(r)e r . Die Polarkoordinatenin der Ebene, in der die Bewegung stattfindet, sind gegeben durch r und φ.a) Zeigen Sie, dass¨r = h2r 3 + f(r)gilt, und dass h = r 2 ˙φ eine Erhaltungsgröße ist.b) Zeigen Sie, dass das Teilchen sich für f(a) = − h2a 3kann.auf einer kreisförmigen Bahn bewegen2

c) Zeigen Sie, dass solch eine Kreisbahn nicht stabil ist, wenn f ′ (a) − 3 h2a 4> 0 gilt.Hinweis: Die Einheitsvektoren in Polarkoordinaten können durch die in kartesichen Koordinatenalsausgedrückt werden.Aufgabe 5: (20 Punkte)e r = cosφ i + sinφ je φ = − sinφ i + cosφ jWir bestimmen die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche einer Kugelmit dem Radius R. Dazu finden wir eine passende Parametrisierung der Kugeloberfläche.a) Nehmen Sie einen Pfad auf der Kugeloberfläche an, der durch eine Funktion φ(θ) beschriebenist. Zeigen Sie, dass das Linienelement entlang dieses Pfades durch√ds = Rdθ 1 + φ ′2 sin 2 θgegeben ist. Dabei steht φ ′ = dφ für die Ableitung von φ.dθb) Stellen Sie die Euler-Lagrange-Gleichungen für die gesuchte Funktion φ(θ) auf. Zeigen Sie,dassφ = C 1 − arcsin(C 2 cotθ) (5)diese Differentialgleichung löst, wobei C 1 und C 2 für Integrationskonstanten stehen.c) Geben Sie die Lösung (5) in kartesischen Koordinaten an. Benutzen Sie dazu die Gleichungsin(α − β) = sinα cosβ − cosα sinβ. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis.Hinweis: Beim lösen dieser Aufgaben sind die beiden Ableitungenddx arcsinx = 1√1 − x2undddx cotx = − 1sin 2 xnützlich.3