Erste Klausur

Aufgabe 3: (20 Punkte)Eine Kanone steht auf einer schiefen Ebene, die mit dem Winkel θ zur Horizontalen ansteigt.Die Kanone selbst schließt mit der Ebene den Winkel ψ ein. Das Ziel der Kanone liegt immerhöher als sie selbst.a) Die Kanone trifft ein Ziel, das einen horizontalen Abstand h zu ihr hat. Zeigen Sie, dassin diesem Fall für die Mündungsgeschwindigkeit√hg cosθv 0 =2 cos(θ + ψ) sinψgelten muss.b) Die Kanone trifft nun ein Ziel, das einen vertikalen Abstand h von ihr hat. WelcheMündungsgeschwindigkeit muss sie in diesem Fall aufweisen?c) Beschreiben Sie das Verhältnis zwischen dem Ergebnis aus a) und b) für θ = π 4 .Ziel in Teil a)ψθhZiel in Teil b)hHinweis: Die folgenden Identitäten können zur Beantwortung der Frag nützlich sein:Aufgabe 4: (20 Punkte)sin(θ + ψ) = sin θ cos ψ + sin ψ cos θcos(θ + ψ) = cos θ cos ψ − sin ψ sin θ .Ein Teilchen mit der Einheitsmasse bewegt sich im Zentralkraftfeld F = f(r)e r . Die Polarkoordinatenin der Ebene, in der die Bewegung stattfindet, sind gegeben durch r und φ.a) Zeigen Sie, dass¨r = h2r 3 + f(r)gilt, und dass h = r 2 ˙φ eine Erhaltungsgröße ist.b) Zeigen Sie, dass das Teilchen sich für f(a) = − h2a 3kann.auf einer kreisförmigen Bahn bewegen2