Erste Klausur
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c) Zeigen Sie, dass solch eine Kreisbahn nicht stabil ist, wenn f ′ (a) − 3 h2a 4> 0 gilt.Hinweis: Die Einheitsvektoren in Polarkoordinaten können durch die in kartesichen Koordinatenalsausgedrückt werden.Aufgabe 5: (20 Punkte)e r = cosφ i + sinφ je φ = − sinφ i + cosφ jWir bestimmen die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche einer Kugelmit dem Radius R. Dazu finden wir eine passende Parametrisierung der Kugeloberfläche.a) Nehmen Sie einen Pfad auf der Kugeloberfläche an, der durch eine Funktion φ(θ) beschriebenist. Zeigen Sie, dass das Linienelement entlang dieses Pfades durch√ds = Rdθ 1 + φ ′2 sin 2 θgegeben ist. Dabei steht φ ′ = dφ für die Ableitung von φ.dθb) Stellen Sie die Euler-Lagrange-Gleichungen für die gesuchte Funktion φ(θ) auf. Zeigen Sie,dassφ = C 1 − arcsin(C 2 cotθ) (5)diese Differentialgleichung löst, wobei C 1 und C 2 für Integrationskonstanten stehen.c) Geben Sie die Lösung (5) in kartesischen Koordinaten an. Benutzen Sie dazu die Gleichungsin(α − β) = sinα cosβ − cosα sinβ. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis.Hinweis: Beim lösen dieser Aufgaben sind die beiden Ableitungenddx arcsinx = 1√1 − x2undddx cotx = − 1sin 2 xnützlich.3