Die Binomischen Formeln - Wilhelm-Knapp-Schule Weilburg

Die Binomischen Formeln1. Berechen Sie zur Wiederholung (x + y) * (a + b) und (3x + y) * (3x + z)!2. Berechnen Sie nun durch Ausmultiplizieren (a +b) * (a + b)3. Verwandeln Sie zunächst (a + b)², (a – b)² und (a + b) * (a – b) in ein Produktund lösen Sie dann die Klammern auf!Merke:(1) (a + b)² =(2) (a – b)² =(3) (a + b) * (a – b) =4. Schreiben Sie die binomischen Formeln mit anderen Variablen als a und b:a) (p + q)² b) (klim + bim)² c) (r + s)²(p – q)² (klim – bim)² (r – s)²(p + q) * (p - q) (klim + bim) * (klim - bim) (r + s) * (r – s)5. Wenden Sie die binomischen Formeln an:a) (3x + 2y)² b) (4x – 3z)² c) (2x + 3y) * (2x – 3y)d) (-4 + x)² e) (-r + s)² f) (-6x+ y)² g) (-5x – 7y)²h) (+4x + (-3y))² i) (-a + 4b)*(-a – 4b)² j) (8u - 7v)*(8u + 3v)6. Nun eine praktische Anwendung der binomischen Formeln! Setzen Sie sich inkleinen Gruppen zusammen und versuchen sie einen Weg zu finden, die folgendenAufgaben möglichst schnell und einfach zu lösen! (Aufgabe e) und f) sind mithilfeder 3. binomischen Formel leicht zu lösen!)a) 81² b) 79² c) 102² d) 98² e) 81 * 79 f) 102 * 987. Füllen Sie die Lücken aus!a) x² + _____ + y² = (x + y)² b) a² + 12a + _____ = (x + 6)²c) _____ - 2r + r² = (1 – r)² d) a² + _____ + b² = (a + _____)²e) x² - 8x + _____= (x - _____)² f) _____ + 36b + b² = (_____ + b)²g) 4x² + _____ + 9y² = (2x + 3y)² h) 25a² - _____ + 49b² = (5a – 7b)²i) 100r² + _____ + 81s² = (_____+ 9s)² j) 64k² - _____ + t² = (_____ - t)²

8. Faktorisieren Sie mit Hilfe der 3. binomischen Formel!a) u² - v² b) 25 – x² c) a² - 16 d) 49 – t² e) 0,01 – t² f) 9x² - 4y9. Faktorisieren Sie mit Hilfe der 1. oder 2.binomischen Formel!a) x² + 2xy + y² b) r² - 2rs + s² c) x² + 2x * 7 + 49 d) a² + 20a + 100e) a² - 2a + 1 f) 25 – 10x + x² g) 36 + 12b + b² h) 100 – 20x + x²i) 16x² + 80xy + 100y² j) 9a² - 48ab + 64b² k) 49r² + 126rs + 81s²l) u² - 22uv + 121v² m) 20rs + 100r² + s² n) 16u² + v² -8uv10. Faktorisieren Sie mit Hilfe einer binomischen Formel: klammern Sie zunächsteinen geeigneten gemeinsamen Faktor aus!a) 8a² - 98b² b) 45x² + 30xy + 5y² c) 810u² - 360uv + 40v²11. Faktorisieren Sie !4 16 x²4a) - a² b) - b² c) -9 25 16 25d)811 - x² e) 2x² -92

LÖSUNGEN:Aufgabe 1:(x + y) (a + b) = xa + xb + ya + ybAufgabe 2:(a + b) (a + b) = a²+ ab + ab + b² = a² + 2ab + b²Aufgabe 3:(a + b)² = (a + b) (a + b) = a² + 2ab + b²(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² - ab – ab + b² = a² - 2ab + b²(a + b) (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² - b²Aufgabe 4:a) (p + q)² = p² + 2pq + q² b) (klim + bim)² = klim² + 2klimbim + bim²(p – q)² = p² - 2pq + q² (klim – bim)² = klim² - 2klimbim + bim²(p + q) * (p - q)= p² - q² (klim + bim) * (klim - bim) = klim² - bim²c) (r + s)² = r² + 2rs + s²(r – s)² = r² - 2rs + s²(r + s) * (r – s) = r² - s²Aufgabe 5:a) 9x² + 12xy + 4y² b) 16x² - 24xz + 9z² c) 4x² - 9y²d) 16 – 8x + x² e) r² - 2rs + s² f) 36x² - 12xy + y²g) 25x² + 70xy + 49y² h) 16x² - 6xy + 9y² i) (a² - b²) (- a – 4b)j) 64u² + 24uv – 21uv + 21v² = - a³ - 4a²b + ab² + 4b³= 64u² + 3uv + 21v²Aufgabe 6:a) (80 + 1)² = 6400 + 160 + 1 = 6561 b) (80 – 1)² = 6400 – 160 + 1 = 6241c) (100 + 2)² =10000 + 400 + 4 = 10404 d) (100 – 2)² =10000 – 400 + 4 = 9604e) (80 + 1) ( 80 – 1) = 6400 – 1 = 6399 f) (100 + 2) ( 100 – 2) = 10000 – 4 = 9996Aufgabe 7:a) 2xy b) 36 c) 1 d) 2ab ; b e) 16 ; 4f) 324 ; 18 g) 12xy h) 70ab i) 180rs ; 10r j) 16kt ; 8kAufgabe 8:a) (u + v) (u – v) b) (5 + x) (5 – x) c) (a + 4) (a – 4) d) (7 + t) (7 – t)e) (0,1 + t) (0.1 - t) f) (3x + 2y) (3x – 2y)Aufgabe 9:a) (x + y)² b) (r – s)² c) (x + 7)² d) (a + 10)²e) (a – 1)² f) (5 – x)² g) (6 + b)² h) (100 – x)²i) (4x + 10y)² j) (3a + 8b)² k) (7r + 9s)² l) (u – 11v)²m) (10r + s)² n) (4u + v)²

Aufgabe 10:a) 2 (4a² - 49b) = 2 (2a – 7b)² b) 5 (9x² + 6xy + y²) = 5 (3x + y)²c) 10 (81u² - 36uv + 4v²) = 10 (9u + 2v)²Aufgabe 11:2 24 4x 2 x 2a) ( a )( a)b) ( b )( b)c) ( )( )3 35 54 5 4 52 2e) ( 2x)( 2x)3 31 1d) ( x )( x)9 9