1 4. Das Zwei-Körper-Problem 4.1 Lagrange-Gleichungen, Integrale ...

Energie E und Drehimpuls Lz sowie ϕ = ϕ r ) werden aus den Anfangsbedingungen
bestimmt.
0
( 0
Diese Bahnkurven sind bei finiter Bewegung i.a. Rosettenbahnen, die die Fläche des
Kreisrings zwischen rmin und rmax vollständig überstreichen [L 2 , § 14.7]. Bei einmaligem
Durchlaufen der Folge rmin → rmax → rmin ändert sich der Winkel um (vgl. Skizze)
Δϕ
r
max
dr'
= 2 Lz
∫
.
2
rmin
2
Lz
r'
2μ[
E − U(
r')
] − 2
r
Die Bahnkurven sind geschlossen, wenn die Winkeländerung nach n Durchläufen ein
ganzzahliges Vielfaches von 2π, d.h. Δ ϕ rationaler Teil von 2πist: Geschlossene Bahnkurven für
m
Δ ϕ = 2π (m,n –ganze Zahlen) ↔
n
U ( r)
− ⎧r
~ ⎨
⎩ r
1
2
→ Δϕ
= 2π
→ Δϕ
= π
Diese Bedingung ist nur für das Gravitationspotenzial und den (3d) harmonischen Oszillator
erfüllt. Für alle anderen Potenziale U(r) sind m und n inkommensurabel, so dass die
Bahnkurve die Fläche des Kreisrings rmin < r < rmax für t → ∞ vollständig überstreicht.
Für einen "Sturz in das Gravitationszentrum" (Bewegung im Zentralfeld) muss die
Zentralfeldbarriere überwunden werden. Aus der Bedingung für die (klassisch) erlaubte
2
2
2
Bewegung r U(
r)
+ L / 2μ
< r E folgt, dass r → 0 nur möglich ist, wenn
2
2 Lz
limr
U(
r)
< −
r → 0 2μ
z
→ Sturz ins Zentrum für
2
⎧ α Lz
⎪−
, mit α >
2
lim U(
r)
∝ r 2μ
⎨
.
r → 0
⎪ 1
⎪
− , mit n > 2
n
⎩ r
5