Aufgabe 46. Basiswechsel konkret. Gegeben seien die drei - M10

⎛
Für i = 3 : λ1 ⎝ 1
⎞ ⎛
0 ⎠+λ2 ⎝
1
1
⎞ ⎛
1 ⎠+λ3 ⎝
1
1
⎞ ⎛
1 ⎠ = ⎝
2
0
⎞ ⎧
⎫
⎨ (1) λ1 + λ2 + λ3 = 0 ⎬
0 ⎠ ⇔ (2) λ2 + λ3 = 0
⎩
⎭
1 (3) λ1 + λ2 + 2λ3 = 1
⎧
⎫
⎨ (1) − (2) λ1 = 0 ⎬
⇔ (2) λ2 + λ3 = 0
⎩
⎭
(3) − (1) λ3 = 1
⇔ λ1 = 0, λ2 = −1, λ3 = 1 ⇒ e3 = −v2 + v3.
Dies kann man auch direkt sehen!
2. (a) Die Vektoren p, q und s erhält man direkt als Linearkombinationen der Einheitsvektoren e1, e2, e3:
p = 6 · e1 + 3 · e2 + 9 · e3 , q = 3 · e1 + 2 · e2 + 6 · e3 , s = s1 · e1 + s2 · e2 + s3 · e3 .
(b) Da wir in 1. die Einheitsvektoren als Linearkombinationen der Vektoren v1, v2, v3 bestimmt haben:
e1 = v1 + v2 − v3 , e2 = −v1 + v2 , e3 = −v2 + v3
bekommen wir die Linearkombinationen der Vektoren p, q und s in der Basis v1, v2, v3 direkt als:
p = 6 · e1 + 3 · e2 + 9 · e3 = 6 · (v1 + v2 − v3) + 3 · (−v1 + v2) + 9 · (−v2 + v3)
= 3 · v1 + 3 · v3 Probe durch Nachrechnen!
q = 3 · e1 + 2 · e2 + 6 · e3 = 3 · (v1 + v2 − v3) + 2 · (−v1 + v2) + 9 · (−v2 + v3)
= v1 − v2 + 3 · v3 Probe durch Nachrechnen!
s = s1 · e1 + s2 · e2 + s3 · e3 = s1 · (v1 + v2 − v3) + s2 · (−v1 + v2) + s3 · (−v2 + v3)
= (s1 − s2) · v1 + (s1 + s2 − s3) · v2 + (−s1 + s3) · v3 = s ′ 1 · v1 + s ′ 2 · v2 + s ′ 3 · v3
mit s ′ 1 = s1 − s2, s ′ 2 = s1 + s2 − s3, und s ′ 3 = −s1 + s3 als Koordinaten von s in der Basis
{v1, v2, v3}.
Damit haben wir eine einfache Umrechnung
der alten Koordinaten s1, s2, s3 von s bzgl. der alten Basis {e1, e2, e3} in
die neuen Koordinaten s ′ 1, s ′ 2, s ′ 3 von s bzgl. der neuen Basis {v1, v2, v3}.
Bemerkung:
Man kann die neuen Koordinaten von p, q oder s auch über folgenden Ansatz bestimmen:
λ1 · v1 + λ2 · v2 + λ3 · v3 = p, q oder s mit λ1, λ2, λ3 ∈ R
Dies führt wie oben auf Lineare Gleichungssysteme zur Bestimmung der neuen Koordinaten
λ1, λ2, λ3 in der Basis {v1, v2, v3}, z.B. für s : λ1
⎛
⎝ 1
0
1
⎞
⎠ + λ2
⎛
⎝ 1
1
1
⎞
⎠ + λ3
⎛
⎝ 1
1
2
⎞
⎠ =
⎧
⎨ (1) λ1 + λ2 + λ3 =
⎫
s1 ⎬
⇔ (2)
⎩
(3) λ1 +
λ2
λ2
+
+
λ3
2λ3
=
=
s2
s3
⎭ ⇔
⎧
⎨ (1) − (2) λ1 =
⎫
s1 − s2 ⎬
(2)
⎩
(3) − (1)
λ2 + λ3
λ3
=
=
s2
s3 − s1
⎭
⇔ λ1 = s1 − s2, λ2 = s1 + s2 − s3, λ3 = −s1 + s3
⇒ s = (s1 − s2) · v1 + (s1 + s2 − s3) · v2 + (−s1 + s2) · v3.
Damit gilt für p : p = (6 − 3) · v1 + (6 + 3 − 9) · v2 + (−6 + 9) · v3 = 3 · v1 + 3 · v3
und für q : q = (3 − 2) · v1 + (3 + 2 − 6) · v2 + (−3 + 6) · v3 = v1 − v2 + 3 · v3
2
⎛
⎝ s1
s2
s3
⎞
⎠