Höhere Mathematik 1 - M10
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Technische Universität München WS 2005/2006<br />
Zentrum <strong>Mathematik</strong> Blatt 2<br />
Prof. Dr. J. Hartl<br />
Dr. C. Eder<br />
Dr. P. Huck<br />
Dr. H. Petermeier<br />
<strong>Höhere</strong> <strong>Mathematik</strong> 1<br />
(Wissenschaftszentrum Weihenstephan)<br />
1. Eine ganze Zahl n heißt gerade, wenn es eine ganze Zahl z gibt, so dass<br />
n = 2 · z ist. Andernfalls heißt n ungerade, und es gibt eine ganze Zahl z, so<br />
dass n = 2 · z + 1 ist.<br />
Man beweise:<br />
a) Das Quadrat jeder geraden Zahl ist gerade.<br />
b) Das Quadrat jeder ungeraden Zahl ist ungerade.<br />
2. Es seien drei endliche Mengen A, B, C gegeben. Man zeige: Es gilt:<br />
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.<br />
3. Die Menge der reellen Zahlen bezeichnen wir mit R. Ist a ∈ R kleiner als b ∈ R,<br />
so schreiben wir kurz a < b; ist a kleiner als b oder gleich b, so schreiben wir<br />
kurz a ≤ b. Skizzieren Sie die Punktmenge im R 2 , die beschrieben wird durch<br />
die Ungleichung<br />
a) x − y < 0;<br />
b) y < x 2 ;<br />
c) (x + 1) 2 + (y − 1) 2 ≤ 1<br />
4 .<br />
4. Addieren Sie die Zahlen 1, 2, 3, 4, . . . , 998, 999, 1000.<br />
5. Die uns aus der Schule bekannten Zahlen sind angeordnet. (Wenn Sie in der<br />
Schule bereits komplexe Zahlen kennengelernt haben, denken Sie im folgenden<br />
bitte nur an die reellen Zahlen.)<br />
Für je zwei reelle Zahlen a, b gilt genau eine der folgenden Beziehungen:<br />
a ist kleiner als b oder a ist gleich b oder b ist kleiner als a,<br />
kurz: a kleiner b oder a gleich b oder b kleiner a, in Zeichen:<br />
Statt b < a schreibt man auch a > b.<br />
a < b oder a = b oder b < a.<br />
Statt a = b oder a < b, kurz a = b ∨ a < b, schreibt man auch a ≤ b.<br />
Statt a = b oder a > b, kurz a = b ∨ a > b, schreibt man auch a ≥ b.<br />
Welche der folgenden Aussagen sind für jedes Paar a, b von reellen Zahlen<br />
wahr? Jeweils Begründung!<br />
1
a) a ≤ b ⇒ a < b;<br />
b) a < b ⇒ a ≤ b;<br />
c) a < b ∨ b < a;<br />
d) a ≤ b ∨ b ≤ a;<br />
e) a < b ∨ a = b ∨ b < a;<br />
f) a ≤ b ∨ a = b ∨ b ≤ a;<br />
g) a ≤ b ∨ b ≥ a.<br />
6. Welche der folgenden Ausdrücke sind für je zwei Aussagen A und B wahr?<br />
a) A ⇒ A;<br />
b) A ∨ B ⇒ A;<br />
c) A ∧ B ⇒ A;<br />
d) A ⇒ A ∨ B;<br />
e) ¬(¬A);<br />
f) ¬((¬A) ∧ A);<br />
g) A ⇒ A ∧ B.<br />
7. Gilt für je zwei Mengen M, N die Aussage (*)?<br />
M ⊂ N ⇒ M ∩ N �= ∅ (∗)<br />
8. Im Hof stehen zwei Fässer mit einer Lösung. Das eine Fass hat die Nummer<br />
1 und enthält laut Aufschrift 40%ige Lösung. Die Konzentration im anderen<br />
Fass, dem Fass mit der Nummer 2 ist nicht bekannt, weil sich das Etikett<br />
gelöst hat. Der zuständige Mitarbeiter ist nicht erreichbar. Aber auf seinem<br />
Schreibtisch findet sich eine Notiz: ”Um 55%ige Lösung zu erhalten mische<br />
zwei Anteile aus Fass 1 mit drei Anteilen aus Fass 2.“ Wie stark ist die Lösung<br />
in Fass 2?<br />
Die Aufgaben 1 bis 4 sollen in der Übung am Dienstag, dem 8. November 2005<br />
besprochen werden. Die Aufgaben 5 bis 8 sind zur häuslichen Bearbeitung gedacht.<br />
Gelegenheit zu Fragen gibt es nach der Vorlesung und nach der Übung sowie in den<br />
Tutorübungen.<br />
Der <strong>Mathematik</strong>er und Philosoph Bertrand Russell (1872 - 1970) wurde von<br />
einem Journalisten gefragt, ob es stimme, dass man aus einer einzigen falschen<br />
Voraussetzung alles schließen könne. Als er die Frage bejahte, bat der Journalist<br />
ihn, aus der Voraussetzung ”3 = 4“ zu folgern, dass er der Papst sei. ”Ganz<br />
einfach“, sagte Bertrand Russell. ”Wenn 3 = 4 ist, ziehen wir auf beiden Seiten der<br />
Gleichung 2 ab. Dann folgt 1 = 2. Der Papst und ich sind zwei. Wenn zwei gleich<br />
eins ist, sind der Papst und ich also eins. Folglich bin ich der Papst.“<br />
2<br />
mündliche Überlieferung