Symmetrien und Pflasterungen

6Parkettsteinen eine Transformation gibt, die einen Stein auf den anderen abbildet.Bei einer genauen Untersuchung stellt sich heraus, dass die Symmetriegruppe einersolchen Parkettierung immer Translationen in zwei Richtungen enthält. Wennman alle solche Gruppen studiert, dann findet man, dass die möglichen Symmetriegruppennur 17 sind. In diesem Sinn gibt es nur 17 verschiedene mögliche reguläreParkettierungen der Ebene.Man kann statt Parkettierungen Tapetenmuster betrachten, d.h. wir nehmen einMuster aus einem Bereich (z.B aus einem Stein einer regulären Parkettierung) undwiederholen das Muster um die ganze Ebene auszufüllen. Die möglichen Symmetriegruppensind wieder die gleichen 17 wie vorher und zu jeder dieser Gruppe gibtes ein Muster. Man kann 13 von diesen Mustern in der muslimischen Alhambra-Zitadelle (13-14 Jahrhundert) in Granada in Spanien sehen. Da in der muslimischenKunst keine lebenden Wesen dargestellt werden können, würde die Zitadelle mitsehr komplizierten und schönen Mustern verziert, und man findet darunter die 13erwähnten Muster.Ähnliche Muster findet man auch in der Kunst z.B. bei dem holländischen KünstlerM.C. Escher:wieder gibt es ein Muster, das sich wiederholt. Die Idee hier ist, Steine zu betrachten,die die Ebene regulär parkettieren. Indem man die Form der Steine verändertentstehen diese faszinierenden Bilder.Kehren wir aber zurück zu Parkettierungen. Wir haben Parkettierungen nur miteinem Stein gesehen, aber natürlich kann man Parkettierungen mit mehreren Steinebetrachten. Wenn ein bestimmtes Muster sich wiederholt, sprechen wir von periodischenParkettierungen. In diesem Fall enthält die Symmetriegruppe Translationenin zwei verschiedene Richtungen und die Parkettierung ist translationsinvariant, d.h.es gibt eine Translation, die einen Bereich zu einem anderen Bereich führt. Wiedergibt es nur 17 mögliche Symmetriegruppen (die gleichen wie vorher). Wenn es inder Symmetriegruppe keine Translationen gibt, dann haben wir eine aperiodischeParkettierung.