Uebungsblatt 5 - Universität Bonn

V1G1 – Analysis 1Wintersemester 2012/13, Universität BonnProf. Dr. Benjamin SchleinNiels Benedikter, Allan ChanÜbungsblatt 5V1G1 – Analysis 1Abgabe am 13. November 2012 in der Vorlesung.Aufgabe 1: Konvergenz von Folgen (5+5 Punkte)Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen für Folgen in C:a. Wenn die Folge a n konvergiert, dann konvergiert die Folge b n := a n+1 − a n gegenNull.b. Wenn die Folge b n = a n+1 − a n gegen Null konvergiert, dann ist die Folge a n konvergent.Aufgabe 2: Konvergenz der Wurzel (10 Punkte)Zeigen Sie: Sei (a n ) n∈N eine Folge in R mit a n ≥ 0 für alle n ∈ N und so, dass a n → a.Sei q ∈ N\{0}. Dann gilt a 1/qn → a 1/q .Aufgabe 3: Limes und Limes Superior (5+5 Punkte)a. Sei a n := (−1) n + (−1) [n/2] . Bestimmen Sie lim sup n→∞ a n und lim inf n→∞ a n .Bemerkung: [n/2] bezeichnet die grösste ganze Zahl kleiner oder gleich n/2.b. Sei (a n ) n∈N eine reelle Folge. Zeigen Sie, dass a n genau dann gegen a konvergiert,wennlim inf a n = lim sup a n = a.n→ ∞n→∞Aufgabe 4: Limes Superior von Produkten (4+3+3 Punkte)Es seien (a n ) n∈N und (b n ) n∈N beschränkte Folgen in R mit a n ≥ 0 und b n ≥ 0, jeweilsfür fast alle n.a. Zeigen Sie:lim supn→∞a n b n ≤ (lim supn→∞a n )(lim sup b n ).n→∞b. Zeigen Sie: Wenn zusätzlich die Folge (a n ) n∈N konvergent ist, so giltlim sup a n b n = ( lim a n )(lim sup b n ).n→∞n→∞ n→∞Seite 1 von 2

V1G1 – Analysis 1Wintersemester 2012/13, Universität BonnProf. Dr. Benjamin SchleinNiels Benedikter, Allan Chanc. Finden Sie ein Gegenbeispiel, welches zeigt, dass im Allgemeinenlim supn→∞a n b n ≠ (lim supn→∞a n )(lim sup b n ).n→∞Aufgabe 5: Dezimalbrüche (4+6 BONUSPUNKTE)Ein Dezimalbruch 0, a 1 a 2 a 3 . . . heisst periodisch, falls ein p ∈ N existiert mit a n+p = a nfür alle n ∈ N.a. Schreiben Sie 15, 713 = 15, 713713713 . . . als Bruch p qnatürlicher Zahlen p und q.b. Zeigen Sie: Die Dezimalbruchentwicklung einer reellen Zahl r ist genau dann abbrechendoder periodisch, wenn r rational ist.Seite 2 von 2