1 Diagonalisieren und Jordan-Normalform 2 Positive Definitheit

1 Diagonalisieren und Jordan-NormalformA ∈ C n×n Diagonalisieren JNF (hier: nur 1 Block)Ziel Bestimme S, D, sodass Bestimme S, J, sodass⎛ ⎞λ 1S −1 ⎜AS = ⎝..⎟ . ⎠ = Dλ n⎛⎞λ 1S −1 λ . . .AS = ⎜⎝ . ⎟ .. 1 ⎠ = JλWas ist S?Was ist D,J?S = Matrix mit l.u. EVen als Spalten= ( v #»1 , . . . , v #»n )D = Diagonalmatrix, wobei i-tesDiagonalelement = EW von #» v iS = Matrix mit l.u. HVen als Spalten( v #»1 , v#»2 , ... , v #»n )=↑ ↑ ↑HV 1. HV 2. HV n.Stufe Stufe Stufezum EW λJ = 1 Jordan-Block zum EW λWichtig:♯ Jordan-Blöcke zum EW λ=geom. VFH von λWann geht’s? A diagonalisierbar ⇔ 1)1) Es gibt n EWe und für jeden EW gilt:geom. VFH = algebr. VFH2) A normal, d.h. AA H = A H A =⇒ Adiag.3) A symm. od. hermitesch =⇒ A diag.Spezialfall:A rell symmetrischBestimme S wie oben. Wende aufS Gram-Schmidt an (S → ONB).Nenne S dann Hauptachsensystem.2 Positive DefinitheitDefinition. Bei Matrizen: A ∈ R n×n positiv definit, wenn∀ #» x ∈ R n \{ #» 0 } :#» x T A #» x > 0Bei quadr. Formen: q( #» x ) = #» x T A #» x positiv definit, wenn zugehöriges Apositiv definit und symmetrisch istBei Skalarprodukten: 〈·, ·〉 positiv definit, wenn∀ #» a ∈ R n \{ #» 0 }: 〈 #» a , #» a 〉 > 0Beweis? Für alle Fälle: Stupides Verifizieren der DefinitionSymm. Matrizen: Alle EWe sind > 0Gegenbeweis:Falls irgendein Diagonalelement ≤ 0, dannnicht positiv definit!

3 SkalarproduktDefinition.Konstruktion?〈·, ·〉 : R n × R n → R heißt Skalarprodukt, wenn• linear:∀ #» a , #» b , #» 〈c ∈ R n ∀λ ∈ R: #»a #»〉 〈, b + λ#» c = #»a #»〉, b + λ 〈 #» a , #» c 〉• symmetrisch:∀ #» a , #» 〈b ∈ R n : #»a #»〉 〈 #»b〉, b = ,#» a• positiv definit:∀ #» a ∈ R n \{ #» 0 }: 〈 #» a , #» a 〉 > 0Jede symmetrische, positiv definite (spd) Matrix A ∈ R n×n definiert durchein Skalarprodukt.〈 #» x , #» y 〉 A:= #» x T A #» yBeweis? 1) Suche eine Matrix A ∈ R n×n , so dass: 〈 #» x , #» y 〉 = #» x T A #» y .+ Zeige, dass A symmetrisch und positiv definit ist.oder2) Verifiziere, dass 〈·, ·〉 linear, symmetrisch, positiv definit ist.Wozu? • Orthogonalität bez. 〈·, ·〉:#» x ⊥#» y ⇔ 〈#» x ,#» y 〉 = 0• definiert Norm via ‖ #» x ‖ := √ 〈 #» x , #» x 〉• später: FEM, Fourier-Transformation, Technische Mechanik.4 Gram-SchmidtGegeben: Skalarprodukt 〈·, ·〉 und { a #»1 , . . . , a #»n } linear unabhängigZiel: Bestimme ONB von { a #»1 , . . . , a #»n } bez. 〈·, ·〉 mit gleichem SpanVerfahren: Schritt 1: b #»1 := a #»1 (’Hilfsvektor’)c#»1 := 1‖ b #»#»b 1 (’Normieren’)1 ‖Schritt 2: Für jedes k = 2, .., n, k = Laufindex, berechne#»b k := #» a k −∑k−1j=1〈 #» a j , #» c j 〉 · #» c jc#»k := 1‖ b #»#»b kk ‖Schritt 3: { c #»1 , . . . , c #»n } ist gesuchte ONB.(’Hilfsvektoren’)(’Normieren’)Warnungen:Inoffizielle Materialien - nicht autorisiert durch HM1-Team -kein Anspruch auf Korrektheit und Vollständigkeit - Verwendung auf eigene GefahrAutor: Yuen Au Yeung Stand: 24.01.2012