Kurzskript zur Vorlesung Analysis 2

Definition Eine Folge (a (k) ) k∈N von Vektoren a (k) ∈ R n heißt konvergent gegena ∈ R n , Schreibweise: a (k) → a oder lim k→∞ a (k) = a, wenn zu jedem ɛ > 0 einN 0 ∈ N existiert mit |a (k) − a| < ɛ für alle k ≥ N 0 .Bemerkung: Die folgenden Aussagen sind aequivalent:(1) a (k) → a(2) |a (k) − a| → 0(3) |a (k)j − a j | → 0 ∀j = 1, ..., n(4) a (k)j → a j ∀j = 1, ..., n.Insbesondere gilt (1)⇐⇒(4), d.h. Konvergenz ist aequivalent zu komponentenweiserKonvergenz.1.2 Visualisierung von Funktionen im MehrdimensionalenSiehe Mitschrift.1.3 Offene und abgeschlossene MengenDefinition Ω ⊆ R n heißt offen, wenn zu jedem x 0 ∈ Ω ein ε > 0 existiert, sodaß{x ∈ R n ||x − x 0 | < ε} ⊆ Ω.Definition K ⊆ R n heißt abgeschlossen, wenn für jede Folge {a (k) } k∈N mit a (k) ∈K und a (k) → a ∈ R n (k → ∞) gilt: a ∈ K.1.4 StetigkeitDefinition Sei Ω ⊆ R n , f : Ω → R m . f heißt stetig im Punkt x 0 ∈ Ω, wenn zujedem ε > 0 ein δ > 0 existiert mitfür alle x mit|f(x) − f(x 0 )| < ε} {{ }Betragsfunktion auf R mx ∈ Ω, |x − x 0 | < δ.} {{ }Betragsfunktion auf R nBemerkung: Das Folgenkriterium aus Analysis 1 für Stetigkeit einer Funktion ineinem Punkt x 0 gilt auch für m, n > 1.2

1.5 AbleitungDefinition Sei Ω ⊆ R n offen.f : Ω → R m heißt partiell nach x j differenzierbar im Punkt⎛ ⎞x 1⎜ ⎟x = ⎝ . ⎠ ,x nwenn1h (f(x 0, . . . , x j−1 , x j + h, x j+1 , . . . , x n ) − f(x 1 , . . . , x j , . . . , x n ))konvergent für h → 0. Falls ja, heißt der Grenzwert partielle Ableitung von f∂fnach x j im Punkt x. Schreibweise:∂x j(x)∈ R mBemerkung Schreibef =⎛⎜⎝⎞f 1⎟. ⎠ .f nWegen Aequivalenz von Konvergenz und komponentenweiser Konvergenz gilt: fpartiell nach x j differenzierbar genau dann, wenn jede Komponente f k partiell nachx j differenzierbar. Falls ja, gilt⎛∂f ⎜(x) = ⎝∂x j∂f 1∂x j(x).∂f m∂x j(x)Definition Sei Ω ⊆ R n offen. f : Ω → R m heißt differenzierbar im Punkt x ∈ Ω,wenn f partiell nach x j differenzierbar im Punkt x, für alle j. Falls ja, heißt diem × n MatrixDf(x) :=⎛⎜⎝.∂f∂x 1· · ·..∂f∂x n(x).⎞⎟⎠ =⎛⎜⎝⎞⎟⎠ .∂f 1∂x 1(x) · · ·.∂f m∂x 1(x) · · ·∂f 1∂x n(x).∂f m∂x n(x)Ableitung von f im Punkt x. f heißt differenzierbar, falls f differenzierbar injedem Punkt x ∈ Ω. f heißt stetig differenzierbar, wenn zusätzlich die partiellenAbleitungen von f stetig sind.3⎞⎟⎠

Theorem 1.1 Sei Ω ⊆ R n offen, f : Ω → R m , Ω ′ ⊆ R k offen, g : Ω ′ → Ω.Sei h(x) := f(g(x)) (Verkettung von f und g). Falls g stetig differenzierbar imPunkt x ∈ Ω ′ und f stetig differenzierbar im Punkt g(x) ∈ Ω, ist h differenzierbarim Punkt x, und es giltDh(x) = Df(g(x))} {{ } } {{ }∈M m×k ∈M m×nDg(x) .} {{ }∈M n×kTheorem 1.2 (Charakterisierung der Ableitung als bestapproximierende lineare Abbildung)Sei Ω ⊆ R n offen, f : Ω → R m , x ∈ Ω. Betrachte die Aussagen(i) f ist differenzierbar im Punkt x(ii) Es existiert eine lineare Abbildung A ∈ M m×n derart, dass(*)|f(x + h) − (f(x) + Ah)||h|→ 0(|h| → 0).Es gilt (ii) ⇒ (i); (i) und Stetigkeit der partiellen Ableitungen von f im Punktx ⇒ (ii). Falls (ii) erfüllt, ist A eindeutig, und es gilt:A = Df(x).Interpretation von (*): Der Fehler in der Approximation f(x + h) ≈ f(x) + Ah istkleiner als const. · |h|, insbesondere kleiner als |Ah|.Definition Falls Aussage (ii) erfüllt ist, nennt man f ”total differenzierbar im Punktx”.Definition Sei Ω ⊆ R n offen, f : Ω → R stetig differenzierbar, x ∈ Ωe ∈ R n , |e| = 1.dDie reelle Zahl f(x dt 0 + te)| t=0 heißt Richtungsableitung von f am Punkt x 0 inRichtung e.Definition Sei Ω ⊆ R n offen, f : Ω → R differenzierbar. Der Vektor⎛ ⎞∂f∂x 1(x)heißt Gradient von f am Punkt x.grad f(x) = Df(x) T =⎜⎝.∂f∂x n(x)⎟⎠4

Theorem 1.3 Sei Ω ⊆ R n offen, f : Ω → R stetig differenzierbar, grad f(x) ≠ 0.grad f(x) zeigt in Richtung des stärksten Anstiegs von f, das heißt für alle e ∈R n , |e| = 1 gilt| d dt f(x + te)| t=0| ≤ |gradf(x)|.Gleichheit gilt genau dann, wenn e = ± gradf(x)|gradf(x)| .Definition (Höhere partielle Ableitungen): Sei Ω ⊆ R n offen,⎛ ⎞f 1⎜ ⎟f = ⎝ . ⎠ : Ω → R mf mdifferenzierbar. Falls die partielle Ableitung ∂f∂ 2 f∂∂x i( ∂f∂x i ∂x j(x) :=i = j, schreibt man ∂2 f∂x 2 i∂x j)(x)(x) :=∂x j: Ω → R m differenzierbar, heißtzweite partielle Ableitung von f nach x i , x j . Falls∂2 f∂x i ∂x i(x). f heißt 2 mal differenzierbar, falls f differenzierbarist und alle (ersten) partiellen Ableitungen ∂f∂x j, j = 1, . . . , n, differenzierbarsind.Analog sind höhere partielle Ableitungendefiniert.∂ k f∂x i1 . . . ∂x ik(x),i 1 , i 2 , . . . , i k ∈ {1, . . . , n},Theorem 1.4 (Satz von Schwarz) Sei Ω ⊆ R n offen, f : Ω → R 2 mal differenzierbar,und seien die die zweiten partiellen Ableitungen von f stetig im Punkt x.Dann gilt1.6 Integral∂ 2 f∂x i ∂x j(x) =Definition Sei f : [a, b] → R m stetig. Dann ist⎛∫ baf(x) dx :=⎜⎝5∂2 f∂x j ∂x i(x).∫ ba f 1 dx.∫ bf a n dx⎞⎟⎠ ,

d.h. das Integral ist komponentenweise definiert.Definition Ω ⊂ R 2 heißt Normalgebiet, wenn a < b und stetige Funktionenα, beta : [a, b} → R mit alpha ≤ β existieren, sodaßΩ = { (x, y) ∈ m 2 | a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(y) } .Definition Sei Ω ⊂ R 2 Normalgebiet, f : Ω → R stetig. ∫ f := ∫ (b ∫ )β(x)f(x, y)dy dx,Ω a α(x)d.h. das Integral ist durch sukzessive Integration über die Koordinaten definiert.2 Eigenschaften stetiger FunktionenDefinition Sei K ⊆ R n . K heißt beschränkt, wenn C ≥ 0 existiert mit |x| ≤ Cfür alle x ∈ K.Definition Sei K ⊆ R n . Ein Punkt x ∗ ∈ K heißt Maximumsstelle [Minimumsstelle]einer Funktion f : K → R, wenn f(x) ≤ [≥] f(x ∗ ) für alle x ∈ K.Satz 2.1 (vgl. Satz 5.4 aus Analysis 1) (Existenz von Maxima und Minima)Sei K ⊆ R n abgeschlossen und beschränkt, f : K → R stetig. Dann existieren(mindestens) eine Maximumsstelle x + ∈ K und (mindestens) eine Minimumsstellex − ∈ K von f.Satz 2.2 (Satz von Bolzano - Weierstrass): Sei K ⊆ R n abeschlossen undbeschränkt. Dann besitzt jede Folge {a (j) } j∈N mit a (j) ∈ K mindestens einenHäufungspunkt a mit a ∈ K.Ausblick: In allgemeinen (z.B. unendlich-dimensionalen) normierten Vektorräumenoder metrischen Räumen heißen Teilmengen mit obiger Häufungspunkteigenschaftkompakt. Satz 2.2 besagt, dass für Teilmengen des R n gilt: abgeschlossen +beschränkt =⇒ kompakt. Die Umkehrung gilt trivialerweise, d.h. insgesamt giltfür Teilmengen des R n : abgeschlossen und beschränkt ⇐⇒ kompakt. Vorsicht:In unendlich-dimensionalen Vektorräumen gilt diese Äquivalenz nicht. Solche Vektorräumewerden in der Funktionalanalysis untersucht.Definition Sei Ω ⊆ R n . Eine Funktion f : Ω → R m heißt gleichmäßig stetig aufΩ, wenn ∀ɛ > 0 ein δ = δ(ɛ) > 0 unabhängig von x 0 existiert, sodaß|f(x) − f(x 0 )| < ɛ ∀x, x 0 ∈ Ω mit |x − x 0 | < δ.6

Satz 2.3 Sei K ∈ R n abgeschlossen und beschränkt. Dann ist jede stetige Funktionf : K → R m automatisch gleichmäßig stetig.3 Anwendungen der mehrdimensionalen Differentialrechnung3.1 Maxima und MinimaDefinition Sei K ⊆ R n . Die Mengeint K := { x ∈ K ∣ ∣ ∃ε > 0 : y ∈ K, für alle y ∈ R n , |y − x| < ε }heißt Inneres von K.Satz 3.1 Sei Ω ⊆ R n abgeschlossen und beschränkt, f : Ω → R stetig, x ∈ int ΩMaximumsstelle [bzw. Minimumsstelle] von f.a) Falls f : int Ω → R differenzierbar, ist(N1) Df(x) = 0.b) Falls f : Ω → R zweimal stetig differenzierbar, gilt(N2) D 2 f(x) ≤ 0 [bzw. ≥ 0].Definition Die n × n Matrix⎛∂ 2 f∂x 1 ∂x 1(x)D 2 ⎜f(x) = ⎝ .· · ·∂ 2 f∂x n∂x 1(x) · · ·⎞∂ 2 f∂x 1 ∂x n(x)⎟. ⎠∂ 2 f∂x n∂x n(x)der zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion f : Ω ⊆ R n → R im Punkt xheißt Hesse-Matrix (von f im Punkt x).Definition Eine n × n Matrix A heißt nicht-negativ, Schreibweise: A ≥ 0, wennAv · v ≥ 0 für alle v ∈ R n .Kriterien für Nicht-Negativität: siehe Mitschrift.7

3.2 Maxima und Minima unter NebenbedingungenSatz 3.2 (Lagrange’sche Multiplikatorregel) Sei Ω ⊆ R n offen, f, g : Ω → Rstetig differenzierbar, x 0 Maximums- oder Minimumsstelle von f auf {x ∈ Ω|g(x) =c}, c ∈ R. Sei grad g(x 0 ) ≠ 0. Dann ∃λ ∈ R sodaßgrad f(x 0 ) = λ grad g(x 0 ).Die Zahl λ heißt Lagrange’scher Multiplikator.Hilfssatz 3.1 (Impliziter Funktionensatz im R 2 ) Sei g : R 2 → R stetig differenzierbar,c ∈ R, M = {x ∈ R 2 |g(x) = c} (Niveaumenge von g), x 0 ∈ M, grad g(x 0 ) ≠ 0.Dann existieren orthonormale Vektoren e 1 , e 2 ∈ R 2 (d.h. |e 1 | = |e 2 | = 1, e 1 · e 2 = 0),eine Zahl δ > 0, ein Intervall (a, b) ⊂ R, und eine stetig differenzierbare Funktionh : (a, b) → R sodaßM ∩ {x ∈ R 2 ||x − x 0 | < δ} = {y 1 e 1 + y 2 e 2∣ ∣ y1 ∈ (a, b), y 2 = h(y 1 )}.Interpretation Jede implizit durch eine Gleichung definierte Kurve im R 2 kannlokal als Graph dargestellt werden.Bemerkung Eine geeignete Verallgemeinerung gilt für die Lösungsmenge von kGleichungen g 1 (x) = c 1 , ..., g k (x) = c k im R n .3.3 TaylorentwicklungZiel: Approximiere f(x + h), f : Ω ⊆ R n → R, nahe einem gegebenen Punkt x ∈ Ωdurch ein Polynom in h ∈ R n .Satz 3.3 (Taylor) Sei Ω ⊆ R n offen, f : Ω → R k - mal stetig differenzierbar,x ∈ Ω. SeiT l (x, h) := f(x) +l∑k=11k!n∑· · ·i 1 =1(Taylorpolynom der Ordnung l). Spezialfälle:n∑i k =1∂ k f∂x i1 · · · ∂x ik(x)h i1 · · · h ikT 1 (x, h) = f(x) +n∑i=1∂f∂x i(x)h i ,8

Dann giltT 2 (x, h) = f(x) +n∑i=1∂f∂x i(x)h i + 1 2n∑i,j=1∂ 2 f∂x i ∂x j(x)h i h j .f(x + h) = T l (x, h) + o(|h| l ) (|h| → 0).4 Konvergenz von Funktionenfolgen4.1 Punktweise Konvergenz, gleichmässige Konvergenz, undKonvergenz im quadratischen MittelDef. Sei Ω ⊆ R n . Sei (f n ) n∈N eine Folge von Funktionen f nf : Ω → R m . Die Folge (f n ) heisst: Ω → R m , und seia) punktweise konvergent gegen f, wennf n (x) → f(x) (n → ∞) für jedes x ∈ Ω,b) gleichmässig konvergent gegen f, wennsup |f n (x) − f(x)| → 0 (n → ∞),x∈Ωc) konvergent im quadratischen Mittel gegen f, wenn∫|f n (x) − f(x)| 2 dx → 0 (n → ∞).ΩDamit das Integral in c) wohldefiniert ist, muss z.B. angenommen werden: Ω Normalgebiet,f n , f stetig.Satz 4.1 Sei Ω ⊆ R n , f n : Ω → R m stetig, f n gleichmässig konvergent gegen f.Dann ist f stetig.Bemerkung: Die Voraussetzung der gleichmässigen Konvergenz ist wichtig. Stetigkeitbleibt im allgemeinen weder unter punktweiser Konvergenz, noch unter Konvergenzim quadratischen Mittel erhalten.9

Satz 4.2 (Gleichmässige Konvergenz und Integration) Sei [a, b] abgeschlossenesbeschränktes Intervall, f n : [a, b] → R m stetig, f n gleichmässig konvergent gegen f.Dann gilt:limn→∞∫ baf n =∫ ba(limn→∞ f nBemerkung: Die Voraussetzung der gleichmässigen Konvergenz ist wichtig. Integrationvertauscht im Allgemeinen nicht mit punktweiser Konvergenz.).4.2 Der Begriff der Konvergenz bezüglich einer NormDef. Sei V reeller Vektorraum. Eine Norm aufc V ist eine Abbildung ||·|| : V → Rmit den folgenden Eigenschaften:1) ||v|| ≥ 0 for all v ∈ V , ||v|| = 0 if and only if v = 0 (Positivität)2) ||λv|| = |λ| ||v|| for all λ ∈ R, v ∈ V (Homogenität)3) ||v + w|| ≤ ||v|| + ||w|| for all v, w ∈ V (Dreiecksungleichung).Def. Sei V ein Vektorraum, || · || eine Norm auf V . Eine Folge {v j } j∈N , v j ∈ V ,heisst• Cauchyfolge (bzgl. || · ||), wenn gilt: ∀ɛ > 0 ∃N ∈ N: ||v j − v k || < ɛ ∀j, k ≥ N• konvergent gegen v ∈ V (bzgl. || · ||), wenn gilt: ||v j − v|| → 0 (j → ∞).Seien f j , f ∈ C(Ω). Gleichmässige Konvergenz von f j gegen f entspricht Konvergenzbezüglich der Supremumsnorm||f|| sup := sup |f(x)|.x∈Ω(Auf abgeschlossenen beschränkten Mengen wird nach Satz 2.1 das Supremum angenommenund obige Norm entspricht der Maximumsnorm ||f|| max := max x∈Ω |f(x)|).Konvergenz von f j gegen f im quadratischen Mittel entspricht Konvergenz bezüglichder 2-Norm (oder L 2 -Norm)||f|| 2 :=( ∫ 1/2.|f(x)| dx) 2Ω10

4.3 Banach’scher FixpunktsatzDef. (Banachraum) Ein Vektorraum V mit Norm ||·|| heisst Banachraum, wenn jedeCauchyfolge (f j ) j∈N in V konvergent ist (d.h. ein f ∈ V existiert sodaß ||f j − f|| →0).Wichtiges Beispiel (Z 8.1) Sei Ω ⊂ R n abgeschlossen und beschränkt. DerVektorraum C(Ω) der stetigen Funktionen auf Ω versehen mit der Maximumsnormist ein Banachraum.Satz 4.3 (Banach’scher Fixpunktsatz) Sei V ein Banachraum mit Norm || · ||. SeiA abgeschlossene Teilmenge von V . Sei F : A → V mit(i) F (A) ⊆ A(ii) ∃λ ∈ (0, 1): ||F (v) − F (w)|| ≤ λ||v − w|| ∀v, w ∈ A.Dann existiert genau ein Fixpunkt v ∗ ∈ A von F (d.h. v ∗ ∈ A mit F (v ∗ ) = v ∗ ).4.4 Lösen nichtlinearer GleichungssytemeSatz 4.4 (Satz von der lokalen Umkehrbarkeit) Sei Ω ⊆ R n offen, Φ : Ω → R n stetigdifferenzierbar, f(x 0 ) = y 0 , DΦ(x 0 ) invertierbar. Dann existieren offene MengenU 0 ∋ x 0 (mit U 0 ⊆ Ω), V 0 ∋ y 0 , sodaß für alle y ∈ V 0 die GleichungΦ(x) = ygenau eine Lösung x ∈ U 0 besitzt und sodaß Φ(U 0 ) ⊆ V 0 . D.h. Φ bildet U 0 bijektivauf V 0 ab. Darüber hinaus ist die Umkehrabbildung x =: α(y), α : V 0 → U 0 , stetigdifferenzierbar, und es giltDα(y) = DΦ(α(y)) −1 .Satz 4.5 (Satz über implizite Funktionen für 1 Gleichung mit 2 Unbekannten) SeiΩ ∈ R 2 offen, g : R 2 → R stetig differenzierbar, M = {(x, y) ∈ Ω|g(x, y) = c} und sei(x o , y 0 ) ∈ M, δg (x δy 0, y 0 ) ≠ 0. Dann existieren δ > 0, δ ′ > 0, h : (x 0 − δ, x 0 + δ) → R, hstetig differenzierbar, sodaßM ∩ I × I ′ = {(x, y) ∈ |R 2 |x ∈ I, y = h(x)},wobei I = (x 0 − δ, x 0 + δ), I ′ = (y 0 − δ, y 0 + δ).Kurzfassung: Die Niveaumenge M von g kann lokal als Graph einer stetig differenzierbarenFunktion h dargestellt werden. Der Name des Satzes stammt daher,11

dass die Funktion h nicht - wie bisher bei Funktionen üblich - ”explizit”, sondern”implizit” (d.h. indirekt), als Lösung der Gleichung g(x, h(x)) = c, definiert ist.Verallgemeinerung: (Satz über implizite Funktionen für k Gleichungen mit nUnbekannten, nicht in der Vorlesung bewiesen): Sei Ω ⊂ R n offen, g : Ω → R kstetig differenzierbar, k ∈ {1, ..., n−1}, M = {(x, y) ∈ Ω|g(x, y) = c}, wobei (x, y) =(x 1 , ..., x n−k , y 1 , ..., y k ) und sei (x 0 , y 0 ) ∈ M,⎛⎜⎝∂g 1∂y 1(x) · · ·.∂g k∂x 1(x) · · ·∂g 1∂y k).∂g k∂yg k⎞⎟⎠ (x 0 , y 0 )invertierbar. Dann existieren offene Mengen U, U ′ mit U × U ′ ⊂ Ω, U ∋ x 0 , U ′ ∋ y 0 ,und eine stetig differenzierbare Funktion h : U → R k sodaßM ∩ U × U ′ = {(x, y) ∈ R n−k × R k |x ∈ U, y = h(x)}.Kurzfassung: Die Niveaumenge M von g kann lokal mithilfe der Funktion h durchn − k freie Parameter x 1 , , ..., x n−k beschrieben werden.5 Fourier - ReihenDefinition: Sei: f : [−π, π] → C stetig, n ∈ Z.f n := 12π∫ π−πheißt n ter Fourier-Koeffizient von f, undS f,N (x) :=heißt N te Fourier - Partialsumme.f(x)e −inx dxN∑n=−Nf n e inxHilfssatz 5.1 (Riemann-Lebesgue-Lemma) Sei f : [−π, π] → C stetig. Dann giltf n → 0 (|n| → ∞).12

Definition: Sei Ω ⊆ R n . Eine Funktion f : Ω → R m heisst Lipschitz-stetig, wenneine Konstante L > 0 existiert, sodaßfür alle x, y ∈ Ω.|f(x) − f(y)| ≤ |x − y|Satz 5.1 (Konvergenz von Fourierreihen) Sei f : [−π, π] → C Lipschitz-stetig,f(−π) = f(π). Dann gilt für alle x ∈ [−π, π] : lim N→∞ S N,f (x) existiert und istgleich f(x).Definition: Die Reiheheißt Fourier-Reihe von f.lim N→∞ S N,f (x) =∞∑n=−∞Varianten von Satz 5.1 für reellwertige Funktionen:f n e inx(a) Sei f : [−π, π] → R Lipschitz-stetig, f(−π) = f(π). Seienπ∫a n := 1 f(x) cos(nx) dx (n ∈ N ∪ {0})πb n := 1 π−ππ∫−πf(x) sin(nx) dxDann gilt für alle x ∈ [−π, π]:(n ∈ N).f(x) = a ∞02 + ∑(a n cos(nx) + b n sin(nx)).n=1(b) Sei f : [0, π] → R Lipschitz-stetig, f(0) = f(π) = 0,b n := 2 π∫ π0f(x) sin(nx) dx(n ∈ N).Dann gilt für alle x ∈ [0, π]:∞∑f(x) = b n sin(nx).n=113

Satz 5.2 (Zusammenhang zwischen Glattheit von f und Kleinheit der hohen Fourierkoeffizienten)Sei f : R → C 2π-periodisch. Dann gilt:a) f k mal stetig differenzierbar ⇒ ∃C > 0 : |f n | ≤ C|n| k ∀n ≠ 0b) ∃C, ɛ > 0 : |f n | ≤ C|n| k+1+ɛ ∀n ≠ 0 ⇒ f k-mal und stetig differenzierbar.Fourierreihen-Methode zur Lösung der Wärmeleitungsgleichung (oder analogerProbleme)Gesucht: u : [0, π] × [0, ∞) → R, u = u(x, t), sodaß(W) ∂u = ∂2 u∂t ∂x 2(Wärmeleitungsgleichung)(R) u(0, t) = u(π, t) = 0∀t (Randbedingung)(A) u(x, 0) = w(x)∀x (Anfangsbedingung)(W) ist ein Beispiel einer sogenannten ”partiellen Differentialgleichung”.Lösungsmethode1) Machen Sie einen Fourierreihen-Ansatz für u(x, t) mit zeitabhängigen Koeffizienten.Berücksichtigen Sie hierbei (R). (Hier: ∑ ∞n=1 b n(t) sin(nx))2) Leiten Sie aus (W) durch formale Rechnung eine gewöhnliche Dgl. für die Fourier-Koeffizienten her. (Hier b ′ n = −n 2 b n )3) Lösen Sie diese, d.h. bestimmen Sie die Fourierkoeffizienten zur Zeit t als Funktionder Fourierkoeffizienten zur Zeit 0. (Hier: b n (t) = e −n2t b n (0))4) Bestimmen Sie∫die Fourierkoeffizienten zu Zeit 0 aus (A).(Hier: b n (0) = 2 πw(y) sin(ny)dy = w π 0 n)Die so erhaltene Fourierreihe u(x, t) = ∑ ∞n=1 w ne −n2t sin(nx) ist wegen Satz 5.22mal partiell nach x und 1mal partiell nach t differenzierbar, vorausgesetzt die antisymmetrische2π-periodische Fortsetzung ˜w : R → R von w ist 4mal stetig differenzierbar,und löst (W), (R), (A). Man kann zeigen, daß die Lösung eindeutig ist (vgl.Z 9.1(b)).Bestapproximations-Eigenschaft der N ten Fourier-PartialsummeV := {f : [−π, π] → C|f stetig}.14

Skalarprodukt auf V : 〈f, g〉 := ∫ πf(x) g(x) dx−πInduzierte Norm: ||f|| 2 := √ 〈f, f〉 =√ ∫ π−π |f(x)|2 dx(L 2 -Norm, siehe Abschnitt 4.2)e n (x) := 1 √2πe inx (n ∈ N)U := Span {e −N , e −N+1 , . . . , e N−1 , e N }Sei f ∈ V gegeben. Welches Element g ∈ U hat minimalen Abstand zu f?Satz 5.3 Der Abstand zu f in der L 2 -Norm,√ ∫ πA(g) := ‖f − g‖ 2 = |f(x) − g(x)| 2 dx,A : U → R, ist genau dann minimal, wenn g = S N,f . (Bestapproximations-Eigenschaft der N ten Fourier-Partialsumme im quadratischen Mittel)−π6 Systeme gewöhnlicher DifferentialgleichungenEin System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung ist eine Gleichungder Form(D) ẏ(t) = f (y(t), t)(A) y(0) = y 0 .Gesucht: y : [0, T ) → R nGegeben: f : R n × R → R n , y 0 ∈ R n .6.1 BeispieleSiehe Mitschrift6.2 Existenz und EindeutigkeitDefinition: Eine Lösung von (D),(A) auf [0, T ) ist eine Funktion y : [0, T ) × R n ,sodaß y differenzierbar auf (0, T ), (D) erfüllt auf (0, T ), y stetig auf (0, T ), (A) erfüllt.Satz 6.1 Sei f : R n ×R → R n Lipschitz-stetig in der ersten Variablen (d.h. ∃L > 0 :|f(x, t)−f(y, t)| ≤ L|x−y|∀x, y, t). Dann existiert zu jedem y 0 ∈ R n eine eindeutigeLösung y : [0, ∞) → R n von (D),(A).15

Satz 6.2 Unter den Voraussetzungen von Satz 6.1 konvergiert die Folge x (n) desPicard’schen Iterationsverfahrens punktweise auf [0, ∞) und gleichmäßig auf [0, T ]für alle T > 0 gegen eine Lösung von (D), (A).6.3 Lineare SystemeEin lineares System ist ein System von n gekoppelten linearen Differentialgleichungenfür Funktionen y j : R → R, j = 1, . . . , n:⎛⎜⎝⎞•y 1⎟. ⎠ =y n⎛⎜⎝⎞ ⎛A 11 · · · A 1n⎟ ⎜. . ⎠ ⎝A n1 · · · A nn⎞y 1⎟. ⎠ , A ij ∈ R.y nVektorschreibweise als Differentialgleichung für eine Funktion y : R → R n :(L) ẏ = A y, A reelle n × n Matrix.Anfangsbedingung:(A) y(0) = y 0Lösungsmethode:(1) Bestimme alle Eigenwerte von A.(2) Bestimme zu jedem Eigenwert λ j (∈ R oder C) einen zugehörigen Eigenvektorv j (∈ R n oder C n ).(3) Versuche, den Anfangswert y 0 als Linearkombination ∑ j α jv j (α j ∈ C) vonEigenvektoren darzustellen. (Funktioniert oft, aber nicht immer.)(4) Falls y 0 = ∑ j α jv j , so ist die Funktion y(t) := ∑ j α je λ jt v j die eindeutigeLösung von (L), (A).Lösungsmethode, falls 3. nicht funktioniert: Die Lösung von (L), (A) istgegeben durch die abstrakte Lösungsformely(t) = e tA y 0 .Versuche, die Matrix e tA explizit zu bestimmen.Definition (Exponentialreihe für Matrizen) Sei A reelle oder komplexe n×n Matrix.16

e A := I n + A + 1 2! A2 + 1 3! A3 + . . . =wobei A 0 = I n = n × n Einheitsmatrix,∞∑n=01n! An ,A n = A } · .{{ . . · A}, · = Matrizenmultiplikation.n FaktorenDie Reihe ist komponentenweise absolut konvergent. Vorsicht: Die Funktionalgleichunge A+B = e A e B gilt nur für kommutierende Matrizen.17