Kurzskript zur Vorlesung Analysis 2

dass die Funktion h nicht - wie bisher bei Funktionen üblich - ”explizit”, sondern”implizit” (d.h. indirekt), als Lösung der Gleichung g(x, h(x)) = c, definiert ist.Verallgemeinerung: (Satz über implizite Funktionen für k Gleichungen mit nUnbekannten, nicht in der Vorlesung bewiesen): Sei Ω ⊂ R n offen, g : Ω → R kstetig differenzierbar, k ∈ {1, ..., n−1}, M = {(x, y) ∈ Ω|g(x, y) = c}, wobei (x, y) =(x 1 , ..., x n−k , y 1 , ..., y k ) und sei (x 0 , y 0 ) ∈ M,⎛⎜⎝∂g 1∂y 1(x) · · ·.∂g k∂x 1(x) · · ·∂g 1∂y k).∂g k∂yg k⎞⎟⎠ (x 0 , y 0 )invertierbar. Dann existieren offene Mengen U, U ′ mit U × U ′ ⊂ Ω, U ∋ x 0 , U ′ ∋ y 0 ,und eine stetig differenzierbare Funktion h : U → R k sodaßM ∩ U × U ′ = {(x, y) ∈ R n−k × R k |x ∈ U, y = h(x)}.Kurzfassung: Die Niveaumenge M von g kann lokal mithilfe der Funktion h durchn − k freie Parameter x 1 , , ..., x n−k beschrieben werden.5 Fourier - ReihenDefinition: Sei: f : [−π, π] → C stetig, n ∈ Z.f n := 12π∫ π−πheißt n ter Fourier-Koeffizient von f, undS f,N (x) :=heißt N te Fourier - Partialsumme.f(x)e −inx dxN∑n=−Nf n e inxHilfssatz 5.1 (Riemann-Lebesgue-Lemma) Sei f : [−π, π] → C stetig. Dann giltf n → 0 (|n| → ∞).12