Kurzskript zur Vorlesung Analysis 2

Satz 6.2 Unter den Voraussetzungen von Satz 6.1 konvergiert die Folge x (n) desPicard’schen Iterationsverfahrens punktweise auf [0, ∞) und gleichmäßig auf [0, T ]für alle T > 0 gegen eine Lösung von (D), (A).6.3 Lineare SystemeEin lineares System ist ein System von n gekoppelten linearen Differentialgleichungenfür Funktionen y j : R → R, j = 1, . . . , n:⎛⎜⎝⎞•y 1⎟. ⎠ =y n⎛⎜⎝⎞ ⎛A 11 · · · A 1n⎟ ⎜. . ⎠ ⎝A n1 · · · A nn⎞y 1⎟. ⎠ , A ij ∈ R.y nVektorschreibweise als Differentialgleichung für eine Funktion y : R → R n :(L) ẏ = A y, A reelle n × n Matrix.Anfangsbedingung:(A) y(0) = y 0Lösungsmethode:(1) Bestimme alle Eigenwerte von A.(2) Bestimme zu jedem Eigenwert λ j (∈ R oder C) einen zugehörigen Eigenvektorv j (∈ R n oder C n ).(3) Versuche, den Anfangswert y 0 als Linearkombination ∑ j α jv j (α j ∈ C) vonEigenvektoren darzustellen. (Funktioniert oft, aber nicht immer.)(4) Falls y 0 = ∑ j α jv j , so ist die Funktion y(t) := ∑ j α je λ jt v j die eindeutigeLösung von (L), (A).Lösungsmethode, falls 3. nicht funktioniert: Die Lösung von (L), (A) istgegeben durch die abstrakte Lösungsformely(t) = e tA y 0 .Versuche, die Matrix e tA explizit zu bestimmen.Definition (Exponentialreihe für Matrizen) Sei A reelle oder komplexe n×n Matrix.16