Kurzskript zur Vorlesung Analysis 2

3.2 Maxima und Minima unter NebenbedingungenSatz 3.2 (Lagrange’sche Multiplikatorregel) Sei Ω ⊆ R n offen, f, g : Ω → Rstetig differenzierbar, x 0 Maximums- oder Minimumsstelle von f auf {x ∈ Ω|g(x) =c}, c ∈ R. Sei grad g(x 0 ) ≠ 0. Dann ∃λ ∈ R sodaßgrad f(x 0 ) = λ grad g(x 0 ).Die Zahl λ heißt Lagrange’scher Multiplikator.Hilfssatz 3.1 (Impliziter Funktionensatz im R 2 ) Sei g : R 2 → R stetig differenzierbar,c ∈ R, M = {x ∈ R 2 |g(x) = c} (Niveaumenge von g), x 0 ∈ M, grad g(x 0 ) ≠ 0.Dann existieren orthonormale Vektoren e 1 , e 2 ∈ R 2 (d.h. |e 1 | = |e 2 | = 1, e 1 · e 2 = 0),eine Zahl δ > 0, ein Intervall (a, b) ⊂ R, und eine stetig differenzierbare Funktionh : (a, b) → R sodaßM ∩ {x ∈ R 2 ||x − x 0 | < δ} = {y 1 e 1 + y 2 e 2∣ ∣ y1 ∈ (a, b), y 2 = h(y 1 )}.Interpretation Jede implizit durch eine Gleichung definierte Kurve im R 2 kannlokal als Graph dargestellt werden.Bemerkung Eine geeignete Verallgemeinerung gilt für die Lösungsmenge von kGleichungen g 1 (x) = c 1 , ..., g k (x) = c k im R n .3.3 TaylorentwicklungZiel: Approximiere f(x + h), f : Ω ⊆ R n → R, nahe einem gegebenen Punkt x ∈ Ωdurch ein Polynom in h ∈ R n .Satz 3.3 (Taylor) Sei Ω ⊆ R n offen, f : Ω → R k - mal stetig differenzierbar,x ∈ Ω. SeiT l (x, h) := f(x) +l∑k=11k!n∑· · ·i 1 =1(Taylorpolynom der Ordnung l). Spezialfälle:n∑i k =1∂ k f∂x i1 · · · ∂x ik(x)h i1 · · · h ikT 1 (x, h) = f(x) +n∑i=1∂f∂x i(x)h i ,8