Kurzskript zur Vorlesung Analysis 2

Satz 2.3 Sei K ∈ R n abgeschlossen und beschränkt. Dann ist jede stetige Funktionf : K → R m automatisch gleichmäßig stetig.3 Anwendungen der mehrdimensionalen Differentialrechnung3.1 Maxima und MinimaDefinition Sei K ⊆ R n . Die Mengeint K := { x ∈ K ∣ ∣ ∃ε > 0 : y ∈ K, für alle y ∈ R n , |y − x| < ε }heißt Inneres von K.Satz 3.1 Sei Ω ⊆ R n abgeschlossen und beschränkt, f : Ω → R stetig, x ∈ int ΩMaximumsstelle [bzw. Minimumsstelle] von f.a) Falls f : int Ω → R differenzierbar, ist(N1) Df(x) = 0.b) Falls f : Ω → R zweimal stetig differenzierbar, gilt(N2) D 2 f(x) ≤ 0 [bzw. ≥ 0].Definition Die n × n Matrix⎛∂ 2 f∂x 1 ∂x 1(x)D 2 ⎜f(x) = ⎝ .· · ·∂ 2 f∂x n∂x 1(x) · · ·⎞∂ 2 f∂x 1 ∂x n(x)⎟. ⎠∂ 2 f∂x n∂x n(x)der zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion f : Ω ⊆ R n → R im Punkt xheißt Hesse-Matrix (von f im Punkt x).Definition Eine n × n Matrix A heißt nicht-negativ, Schreibweise: A ≥ 0, wennAv · v ≥ 0 für alle v ∈ R n .Kriterien für Nicht-Negativität: siehe Mitschrift.7