Kurzskript zur Vorlesung Analysis 2

Definition Eine Folge (a (k) ) k∈N von Vektoren a (k) ∈ R n heißt konvergent gegena ∈ R n , Schreibweise: a (k) → a oder lim k→∞ a (k) = a, wenn zu jedem ɛ > 0 einN 0 ∈ N existiert mit |a (k) − a| < ɛ für alle k ≥ N 0 .Bemerkung: Die folgenden Aussagen sind aequivalent:(1) a (k) → a(2) |a (k) − a| → 0(3) |a (k)j − a j | → 0 ∀j = 1, ..., n(4) a (k)j → a j ∀j = 1, ..., n.Insbesondere gilt (1)⇐⇒(4), d.h. Konvergenz ist aequivalent zu komponentenweiserKonvergenz.1.2 Visualisierung von Funktionen im MehrdimensionalenSiehe Mitschrift.1.3 Offene und abgeschlossene MengenDefinition Ω ⊆ R n heißt offen, wenn zu jedem x 0 ∈ Ω ein ε > 0 existiert, sodaß{x ∈ R n ||x − x 0 | < ε} ⊆ Ω.Definition K ⊆ R n heißt abgeschlossen, wenn für jede Folge {a (k) } k∈N mit a (k) ∈K und a (k) → a ∈ R n (k → ∞) gilt: a ∈ K.1.4 StetigkeitDefinition Sei Ω ⊆ R n , f : Ω → R m . f heißt stetig im Punkt x 0 ∈ Ω, wenn zujedem ε > 0 ein δ > 0 existiert mitfür alle x mit|f(x) − f(x 0 )| < ε} {{ }Betragsfunktion auf R mx ∈ Ω, |x − x 0 | < δ.} {{ }Betragsfunktion auf R nBemerkung: Das Folgenkriterium aus Analysis 1 für Stetigkeit einer Funktion ineinem Punkt x 0 gilt auch für m, n > 1.2