Kurzskript zur Vorlesung Analysis 2

Satz 5.2 (Zusammenhang zwischen Glattheit von f und Kleinheit der hohen Fourierkoeffizienten)Sei f : R → C 2π-periodisch. Dann gilt:a) f k mal stetig differenzierbar ⇒ ∃C > 0 : |f n | ≤ C|n| k ∀n ≠ 0b) ∃C, ɛ > 0 : |f n | ≤ C|n| k+1+ɛ ∀n ≠ 0 ⇒ f k-mal und stetig differenzierbar.Fourierreihen-Methode zur Lösung der Wärmeleitungsgleichung (oder analogerProbleme)Gesucht: u : [0, π] × [0, ∞) → R, u = u(x, t), sodaß(W) ∂u = ∂2 u∂t ∂x 2(Wärmeleitungsgleichung)(R) u(0, t) = u(π, t) = 0∀t (Randbedingung)(A) u(x, 0) = w(x)∀x (Anfangsbedingung)(W) ist ein Beispiel einer sogenannten ”partiellen Differentialgleichung”.Lösungsmethode1) Machen Sie einen Fourierreihen-Ansatz für u(x, t) mit zeitabhängigen Koeffizienten.Berücksichtigen Sie hierbei (R). (Hier: ∑ ∞n=1 b n(t) sin(nx))2) Leiten Sie aus (W) durch formale Rechnung eine gewöhnliche Dgl. für die Fourier-Koeffizienten her. (Hier b ′ n = −n 2 b n )3) Lösen Sie diese, d.h. bestimmen Sie die Fourierkoeffizienten zur Zeit t als Funktionder Fourierkoeffizienten zur Zeit 0. (Hier: b n (t) = e −n2t b n (0))4) Bestimmen Sie∫die Fourierkoeffizienten zu Zeit 0 aus (A).(Hier: b n (0) = 2 πw(y) sin(ny)dy = w π 0 n)Die so erhaltene Fourierreihe u(x, t) = ∑ ∞n=1 w ne −n2t sin(nx) ist wegen Satz 5.22mal partiell nach x und 1mal partiell nach t differenzierbar, vorausgesetzt die antisymmetrische2π-periodische Fortsetzung ˜w : R → R von w ist 4mal stetig differenzierbar,und löst (W), (R), (A). Man kann zeigen, daß die Lösung eindeutig ist (vgl.Z 9.1(b)).Bestapproximations-Eigenschaft der N ten Fourier-PartialsummeV := {f : [−π, π] → C|f stetig}.14