Kurzskript zur Vorlesung Analysis 2

Satz 4.2 (Gleichmässige Konvergenz und Integration) Sei [a, b] abgeschlossenesbeschränktes Intervall, f n : [a, b] → R m stetig, f n gleichmässig konvergent gegen f.Dann gilt:limn→∞∫ baf n =∫ ba(limn→∞ f nBemerkung: Die Voraussetzung der gleichmässigen Konvergenz ist wichtig. Integrationvertauscht im Allgemeinen nicht mit punktweiser Konvergenz.).4.2 Der Begriff der Konvergenz bezüglich einer NormDef. Sei V reeller Vektorraum. Eine Norm aufc V ist eine Abbildung ||·|| : V → Rmit den folgenden Eigenschaften:1) ||v|| ≥ 0 for all v ∈ V , ||v|| = 0 if and only if v = 0 (Positivität)2) ||λv|| = |λ| ||v|| for all λ ∈ R, v ∈ V (Homogenität)3) ||v + w|| ≤ ||v|| + ||w|| for all v, w ∈ V (Dreiecksungleichung).Def. Sei V ein Vektorraum, || · || eine Norm auf V . Eine Folge {v j } j∈N , v j ∈ V ,heisst• Cauchyfolge (bzgl. || · ||), wenn gilt: ∀ɛ > 0 ∃N ∈ N: ||v j − v k || < ɛ ∀j, k ≥ N• konvergent gegen v ∈ V (bzgl. || · ||), wenn gilt: ||v j − v|| → 0 (j → ∞).Seien f j , f ∈ C(Ω). Gleichmässige Konvergenz von f j gegen f entspricht Konvergenzbezüglich der Supremumsnorm||f|| sup := sup |f(x)|.x∈Ω(Auf abgeschlossenen beschränkten Mengen wird nach Satz 2.1 das Supremum angenommenund obige Norm entspricht der Maximumsnorm ||f|| max := max x∈Ω |f(x)|).Konvergenz von f j gegen f im quadratischen Mittel entspricht Konvergenz bezüglichder 2-Norm (oder L 2 -Norm)||f|| 2 :=( ∫ 1/2.|f(x)| dx) 2Ω10