Kurzskript zur Vorlesung Analysis 2

Skalarprodukt auf V : 〈f, g〉 := ∫ πf(x) g(x) dx−πInduzierte Norm: ||f|| 2 := √ 〈f, f〉 =√ ∫ π−π |f(x)|2 dx(L 2 -Norm, siehe Abschnitt 4.2)e n (x) := 1 √2πe inx (n ∈ N)U := Span {e −N , e −N+1 , . . . , e N−1 , e N }Sei f ∈ V gegeben. Welches Element g ∈ U hat minimalen Abstand zu f?Satz 5.3 Der Abstand zu f in der L 2 -Norm,√ ∫ πA(g) := ‖f − g‖ 2 = |f(x) − g(x)| 2 dx,A : U → R, ist genau dann minimal, wenn g = S N,f . (Bestapproximations-Eigenschaft der N ten Fourier-Partialsumme im quadratischen Mittel)−π6 Systeme gewöhnlicher DifferentialgleichungenEin System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung ist eine Gleichungder Form(D) ẏ(t) = f (y(t), t)(A) y(0) = y 0 .Gesucht: y : [0, T ) → R nGegeben: f : R n × R → R n , y 0 ∈ R n .6.1 BeispieleSiehe Mitschrift6.2 Existenz und EindeutigkeitDefinition: Eine Lösung von (D),(A) auf [0, T ) ist eine Funktion y : [0, T ) × R n ,sodaß y differenzierbar auf (0, T ), (D) erfüllt auf (0, T ), y stetig auf (0, T ), (A) erfüllt.Satz 6.1 Sei f : R n ×R → R n Lipschitz-stetig in der ersten Variablen (d.h. ∃L > 0 :|f(x, t)−f(y, t)| ≤ L|x−y|∀x, y, t). Dann existiert zu jedem y 0 ∈ R n eine eindeutigeLösung y : [0, ∞) → R n von (D),(A).15