Kurzskript zur Vorlesung Analysis 2

Dann giltT 2 (x, h) = f(x) +n∑i=1∂f∂x i(x)h i + 1 2n∑i,j=1∂ 2 f∂x i ∂x j(x)h i h j .f(x + h) = T l (x, h) + o(|h| l ) (|h| → 0).4 Konvergenz von Funktionenfolgen4.1 Punktweise Konvergenz, gleichmässige Konvergenz, undKonvergenz im quadratischen MittelDef. Sei Ω ⊆ R n . Sei (f n ) n∈N eine Folge von Funktionen f nf : Ω → R m . Die Folge (f n ) heisst: Ω → R m , und seia) punktweise konvergent gegen f, wennf n (x) → f(x) (n → ∞) für jedes x ∈ Ω,b) gleichmässig konvergent gegen f, wennsup |f n (x) − f(x)| → 0 (n → ∞),x∈Ωc) konvergent im quadratischen Mittel gegen f, wenn∫|f n (x) − f(x)| 2 dx → 0 (n → ∞).ΩDamit das Integral in c) wohldefiniert ist, muss z.B. angenommen werden: Ω Normalgebiet,f n , f stetig.Satz 4.1 Sei Ω ⊆ R n , f n : Ω → R m stetig, f n gleichmässig konvergent gegen f.Dann ist f stetig.Bemerkung: Die Voraussetzung der gleichmässigen Konvergenz ist wichtig. Stetigkeitbleibt im allgemeinen weder unter punktweiser Konvergenz, noch unter Konvergenzim quadratischen Mittel erhalten.9