Kurzskript zur Vorlesung Analysis 2

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Satz 6.2 Unter den Voraussetzungen von Satz 6.1 konvergiert die Folge x (n) desPicard’schen Iterationsverfahrens punktweise auf [0, ∞) und gleichmäßig auf [0, T ]für alle T > 0 gegen eine Lösung von (D), (A).6.3 Lineare SystemeEin lineares System ist ein System von n gekoppelten linearen Differentialgleichungenfür Funktionen y j : R → R, j = 1, . . . , n:⎛⎜⎝⎞•y 1⎟. ⎠ =y n⎛⎜⎝⎞ ⎛A 11 · · · A 1n⎟ ⎜. . ⎠ ⎝A n1 · · · A nn⎞y 1⎟. ⎠ , A ij ∈ R.y nVektorschreibweise als Differentialgleichung für eine Funktion y : R → R n :(L) ẏ = A y, A reelle n × n Matrix.Anfangsbedingung:(A) y(0) = y 0Lösungsmethode:(1) Bestimme alle Eigenwerte von A.(2) Bestimme zu jedem Eigenwert λ j (∈ R oder C) einen zugehörigen Eigenvektorv j (∈ R n oder C n ).(3) Versuche, den Anfangswert y 0 als Linearkombination ∑ j α jv j (α j ∈ C) vonEigenvektoren darzustellen. (Funktioniert oft, aber nicht immer.)(4) Falls y 0 = ∑ j α jv j , so ist die Funktion y(t) := ∑ j α je λ jt v j die eindeutigeLösung von (L), (A).Lösungsmethode, falls 3. nicht funktioniert: Die Lösung von (L), (A) istgegeben durch die abstrakte Lösungsformely(t) = e tA y 0 .Versuche, die Matrix e tA explizit zu bestimmen.Definition (Exponentialreihe für Matrizen) Sei A reelle oder komplexe n×n Matrix.16
e A := I n + A + 1 2! A2 + 1 3! A3 + . . . =wobei A 0 = I n = n × n Einheitsmatrix,∞∑n=01n! An ,A n = A } · .{{ . . · A}, · = Matrizenmultiplikation.n FaktorenDie Reihe ist komponentenweise absolut konvergent. Vorsicht: Die Funktionalgleichunge A+B = e A e B gilt nur für kommutierende Matrizen.17
Seite 2 und 3: Definition Eine Folge (a (k) ) k∈
Seite 4 und 5: Theorem 1.1 Sei Ω ⊆ R n offen, f
Seite 6 und 7: d.h. das Integral ist komponentenwe
Seite 8 und 9: 3.2 Maxima und Minima unter Nebenbe
Seite 10 und 11: Satz 4.2 (Gleichmässige Konvergenz
Seite 12 und 13: dass die Funktion h nicht - wie bis
Seite 14 und 15: Satz 5.2 (Zusammenhang zwischen Gla

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