11. Rekursiv aufzählbare Mengen - Fakultät für Mathematik und ...

PART. REKURSIVITÄT VS. REKURSIVE AUFZÄHLBARKEITWir haben den Begriff der Rekursiven Aufzählbarkeit über den Begriff der partiellrekursiven Funktion definiert. Umgekehrt lassen sich die partiell rekursivenFunktionen mit Hilfe der rekursiven Aufzählbarkeit wie folgt definieren:GRAPHENLEMMA. Für eine partielle Funktion ψ : N n → N sindfolgende Aussagen äquivalent:(1) ψ ist partiell rekursiv.(2) Der Graph G ψ von ψ ist r.a.BEWEIS. (1) ⇒ (2): Für einen Index e von ψ lässt sich G ψ beschreiben durch(⃗x, y) ∈ G ψ⇔ ∃ z (T (e, ⃗x, z) & U(z) = y),weshalb G ψ nach dem Projektionslemma r.a. ist.(2) ⇒ (1): Für r.a. G ψ wähle B rekursiv, so dass G ψ Projektion von B ist. Esgilt dannworaus ψ part. rek. folgt.ψ(⃗x) = (µyB(⃗x, (y) 1 , (y) 2 )) 1 ,5