Bewegungswissenschaftlichen Übung - Fachbereich Sport der ...

Script zurBewegungswissenschaftlichenÜbungSS99Am FachbereichR. Burger©

Script zur Übung Bewegungswissenschaft III des Diplom Studiengangs Sportwissenschaftan der Johannes Gutenberg-Universität Mainz. Erstellt während des Sommersemesters1999 von R. Burger. Der Inhalt ist dynamisch, d.h. es wird je nach Stand der Übung derInhalt erweitert und je nach Anregung verbessert.

SCRIPT BEWEGUNGSWISSENSCHAFT III 11 EinführungDie sportliche Bewegung ist eine Aneinanderreihung vonHaltung und Bewegung. Doch um das unterscheiden zukönnen ist ein Bezugssystem notwendig. EinBezugssystem ist vergleichbar mit der Wahl desBeobachtungsortes. Wenn wir einen Turner an den Ringenim Stütz sehen erscheint es uns, dass die Bewegungstillsteht.beobachten. In der Abbildung befindet sich der 0-Punkt,wo Z-Achse und X-Achse zusammenlaufen. EinKoordinatensystem mit senkrecht zueinander stehendeAchsen bezeichnet man als kartesischesKoordinatensystem. In der Realität kann der 0-Punkt freigewählt werden, d.h. er kann sich auf demAutobahnkilometer 35 zwischen Mainz und Frankfurt oderaber auf der Startlinie beim 100 m Sprint bzw. in derReckstangenaufhängung und im Schultergelenk befinden.Andere Möglichkeiten Ordnung (für mlat. coordinatio) zuschaffen wäre die Anwendung des schiefwinkligen(oblique) oder des sphärischen Koordinatensystems.1.2 DefinitionsbereichDer Turner ”hält” die Bewegung an. Für ein ”grobes”Bezugssystem wäre keine Bewegung zu messen. Legenwir ein differenzierteres Bezugssystem in die Muskulaturdes Lattisimus dorsi, sehen wir einen ständigen Austauschirgendwelcher uns unbekannter kleinster Teilchen. Wirkönnen nun unser Bezugssystem so wählen, dass wir dieTeilchen und deren Austausch sehen können und findenauch noch das passende Messgerät um die Bewegung zubeschreiben; dann entsteht aus unserer ”Haltung”, in derersten Betrachtung, eine ”Bewegung”.RuhezustandBrückenbildungKontraktionDen laut der Gleitfilament-Theorie klappt das Myosin andas Aktin heran, damit sie sich teleskopartig ineinanderziehen. Mit dieser Theorie hätten wir dann einentsprechendes Mess- und Bezugssystem gefunden, umdie im ersten Moment dargestellte Haltung, als Bewegungzu betrachten.1.1 KoordinatensystemDas erste Bezugssystem das wir kennen lernen umsportliche Bewegung zu beschreiben hat die Eigenschaftden Raum, in dem wir uns bewegen, zu kennzeichnen.Jedes Bezugssystem muss einen 0-Punkt haben. Dieser0-Punkt ist der Beobachtungspunkt. Vergleichsweise derPunkt, an dem wir uns befinden, um die Bewegung zuInnerhalb der Physik beschreibt und analysiert dieMechanik das Gleichgewicht und die Bewegung vonKörpern unter dem Einfluss von Kräften. Wir erkennendaraus, dass die Definition der sportlichen Bewegung derphysikalischen entnommen wurde. Die nicht-relativistischeMechanik (Bewegungsgeschwindigkeiten die kleiner als2/3 der Lichtgeschwindigkeit 1 sind) wird unterteilt in dieKinematik und die Dynamik.MechanikKinematik DynamikKinetik StatikDie Dynamik unterteilt sich in die weiterenAufgabengebiete Statik und Kinetik. Statik ist die Lehrevom Gleichgewicht am starren Körper oder an Systemenvon starren Körpern. Gleichgewicht herrscht, wenn sich einGebilde in Ruhe oder in gleichförmiger geradlinigerBewegung befindet. Starre Körper im Sinne der Statik sindGebilde, deren Deformationen so klein sind, dass dieKraftangriffspunkte vernachlässigbar kleineVerschiebungen erfahren. Kinematik ist die Lehre von dergeometrischen und analytischen Beschreibung derBewegungszustände von Punkten und Körpern. Sieberücksichtigt nicht die Kräfte und Momente als Ursachender Bewegung. Kinetik untersucht die Bewegung vonMassenpunkten, Massepunktsystemen, Körpern undKörpersystemen als Folge der auf sie wirkenden Kräfteund Momente unter Berücksichtigung der Gesetze derKinematik. Damit nun die sportliche Bewegung untermechanischen Gesichtspunkten beschrieben undanalysiert werden kann, ist es notwendig, den Menschen,1Die Lichtgeschwindigkeit c wird angegeben mit: c= 299 792 458 ms -1also mit ca.5 km3*10s

SCRIPT BEWEGUNGSWISSENSCHAFT III 2den Untersuchungsgegenstand der Sportwissenschaft, indas System der Mechanik zu transferieren. Da später nochauf die einzelnen, hier jetzt genannten, Möglichkeiteneingegangen wird, soll hier nur eine Zuweisung stattfinden.Die Reduktion des sporttreibenden Menschen auf einenPunkt findet man in der Betrachtung desKörperschwerpunktes (KSP). Die Eigenschaften desPunktes sind damit denen in der Physik gleichzusetzen:Der KSP ist ausdehnungslos und massebehaftet.Beispielhaft soll hier die Modellierung nach Hanavanerfolgen, damit die Begrifflichkeit ersichtlich wird.162 71.3 Reine BewegungsartenDie Ortsveränderung eines Körpers, die als Bewegungdefiniert ist, wird in die reinen Verlaufsarten Translationund Rotation unterschieden . Die Translation beschreibtdie Ortsveränderung eines Körpers, bei dem dieRaumbahnen aller Körperpunkte sich parallel verhalten.Die reine Rotation beschreibt die Ortsveränderung, bei deralle Raumbahnen der Körperpunkte den gleichen Abstandzu einer vorgegeben Drehachse beibehalten.8394 510 11KSP12 1314 15Beim Hanavan-Modell wird der Körper des Menschen in15 starre Segmente unterteilt. Durch diese Annahme wirdauch die Zulässigkeit der Mechanik über die Betrachtungvon starren Körpern möglich. Diese starre Körper besitzendie Eigenschaft einer homogenen Dichte bei definiertergeometrischen Form. Die Extremitäten werden dannbeispielsweise aus Kegelstümpfen dargestellt. Damitkönne alle Eigenschaften wie Massen- undSchwerpunktscharakteristika bestimmt werden.TSPDie Translation wird weiterhin unterteilt in lineare undnicht-lineare Bewegungen. Die lineare Translation ist obendargestellt. In der folgenden Abbildung sehen wir einenicht-lineare TranslationlDie geometrische Anordnung der Teilschwerpunkte (TSP)im Hanavan-System können durch geometrischeSummenbildung zum KSP berechnet werden. Ein Systemvon starren Körpern erreichen wir über die Betrachtung derGesamtanordnung der Teilsegmente und ihrerVerbindungen als reibungsfreie Gelenke. Über dieseAnnahmen ist eine Betrachtung des menschlichen Körpersals mechanischer Punkt, starrer Körper, System vonPunkten und System starrer Körper möglich.Beide Bewegungsformen sind idealisiert. In der sportlichenBewegung liegen meist Überlagerungen dieser beidenReinformen vor.Ein Beispiel für eine perfekte Überlagerung ist derRaumverlauf des Pedals beim Fahrradfahren.2 KinematikWenn keine Bewegung stattfindet, können wir den Ort desKörpers, mit Hilfe der Raumdimension Meter [m] festlegen.Abgeleitete Größen aus dieser Dimension sind für dieFläche der Quadratmeter [m 2 ] und für den Rauminhalt derKubikmeter [m 3 ].

SCRIPT BEWEGUNGSWISSENSCHAFT III 3Benennung der Raumdimensionen:Strecke : Meter : s [m]Fläche : Quadratmeter : A [m 2 ]Volumen : Kubikmeter : V [m 3 ]Um nun Ort oder Bewegung im Raum zu quantifizieren,muss dies direkt oder indirekt mit einer Vergleichsgrößerelativiert werden. Das Ergebnis ist ein Produkt aus Größeund Dimension. Dieser Vorgang wird als messenbezeichnet.auf den Punkt P2 und das Ergebnis –7m bezeichnet, dasP1 sich 7m hinter dem Testleiter befindet.Im Sport werden Sieger oft mit Hilfe der Dimension Meter[m] gekürt. Ob Weitsprung, Kugelstoß und Hochsprung inder Leichtathletik, Distanzfliegen im Segelsport, oder derWeitenmessungen beim Skispringen und Skifliegen. MitBeginn der Neuzeit der Olympischen Spiele wurde derFahne dieser weltweiten Bewegung das Motto: Schneller,höher, stärker auf die Fahne geschrieben. Höher oderweiter haben wir mit der Dimension Meter behandelt. Umnun festzustellen, wie schnell jemand ist, also welcheP0P1Eigenschaft ein Bewegungsprozess besitzt müssen wir dieDer Abstand von P1 zu P0 wurde in Einheiten des Metersrelativiert. Daraus ergibt sich das Produkt 7*m. DerVorgang der zu dem Ergebnis P1=7m führt heißt messen.Wenn wir nun nicht in diesem System als Punkt involviertsind, sondern als Testleiter den Abstand zwischen zweiPunkten im Raum bestimmen möchten, haben wirfolgende Situation vorliegen.Bsp.: Messung des Abstandes von Punkt 1 (P1) zu Punkt2 (P2) bei einem angenommen linearen Verlauf derBewegung in einer Raumdimension (x). Wobei wir uns aufP0, dem Beobachtungspunkt befinden.bewältigte Strecke in Relation zur Zeit setzen.Die Zeit wird mit der Einheit Sekunde [s] bezeichnet. DieZeit ermöglicht erst Bewegung in einem Bezug zum Raumzu sehen. Wenn es keine Zeit gäbe, wäre Bewegung erstgar nicht möglich. Der Prozess des Bewegens wäre aufAnfangs- und Endstadium reduziert. Dies ist nur einetheoretische Annahme, die zum Glück nicht existent ist. Dawir aber im Besitz der Zeit sind, können wir Bewegungsehr differenziert beobachten. Wobei wir aber immerberücksichtigen sollten, dass Zeit variabel ist undletztendlich nur einer Syntheseleistung unseres Gehirnsentspringt um Änderungen in Bezug zu setzen. Um diesephilosophische Betrachtung zu unterstreichen hier einP0P1P2Zitat:gegeben:P1 = 5 mP2 = 12 mFormale Lösung:A (P1,P2)= P2-P1A (P1,P2)= 12 m- 5 m = 7 mDiese Entwicklung ist allerorts zu spüren. Mitseiner Jagd nach Hundertstelsekunden ist Selbstder Sport, der bei uns schon immer kulturelle,soziale, politische und wirtschaftliche Strömungenveranschaulicht, ein Lebensbereich, der diewachsende gesellschaftliche Faszination mitvermeintlich zeitverkürzender Geschwindigkeitüberdeutlich betont. Und prämiert (WEIS19962:16).Beispielhaft soll folgende Situation gegeben sein:Oder:A (P1,P2)= P1-P2A (P1,P2)= 5 m- 12 m = -7 m10987P26Das Ergebnis des Abstandes A ist das Produkt vons [m]54P1Vergleichsgröße 7 und Einheit (Dimension) Meter (m).32A (P1,P2)= 7*m10Dies bedeutet, dass durch den Messvorgang der0 2 4 6 8 10t [s]Beobachtungspunkt (0-Punkt des Koordinatensystems)verschoben wird. Durch die Berechnung 12m-7merreichen wir, dass auf dem Raumstrahl die Distanz inpositive Richtung von P1 ausgehend abgetragen wird. DasObjekt befindet sich dann 7m vor (positive Richtung) demBeobachter. Im zweiten Fall verschiebt sich der 0-PunktErweitern wir das oben angeführte Beispiel von P1 und P2und betrachten diese beiden Punkte als identischeObjekte, die innnerhalb eines bestimmten Zeitraums,nämlich von t1 bis t2 den dargestellten Raumweg

SCRIPT BEWEGUNGSWISSENSCHAFT III 4zurückgelegt haben. Welche Informationen besitzt nun daszweidimensionale Koordinatensystem?Dadurch, dass andere Werte benutzt wurden haben wirüber die y-Achse die Information, dass: P2 mit 9m und P1mit 3m gemessen wurden und daraus die Differenz, alsodie zurückgelegte Strecke 6m beträgt. Darüber hinauskann auf der x-Achse, über das gleiche Rechenverfahrenaus den Messzeitpunkten t1=4s und t2=10 berechnetwerden, dass die 6m Ortsveränderung innerhalb von 6srealisiert wurde.s [m]109876543210P2sP1t0 2 4 6 8 10t [s]Mit diesen beiden Ergebnissen kann der Prozess derOrtsveränderung vollständig dargestellt werden. Mit Hilfeeines Beispiels und eines Wortspiels werden wirversuchen mehr Information aus diesem Ergebnis zugewinnen. Die beiden Werte: ermittelte Zeit für einebestimmte Strecke interessiert bei allen Disziplinen, beidenen eine bestimmte Strecke in minimal möglicher Zeitzurückgelegt wird. Über die Eigenschaft schneller zulaufen können wir dann das Ergebnis verbessern. Um dieEigenschaft des dargestellten Prozesses: Wegänderungüber Zeitänderung herauszufinden, müssen wir uns dasBeispiel in der Abbildung genauer betrachten. Daserreichen wir, in dem die Wegänderung aufgegliedert, d.h.differenziert betrachtet wird. In diesem Wort ”differenziert”,steckt dann auch schon das Rechenverfahren, um dieEigenschaft, schnell laufen, bestimmen zu können. Mit derDifferentialrechnung, die von Newton entwickelt wurde umBewegung zu beschreiben, können wir dieGeschwindigkeit (Eigenschaft schnell zu laufen)bestimmen. Das Ergebnis ist aus demDifferentialquotienten zu ermitteln. Der sprachlich über:Welcher Weg wurde in wie viel Zeit zurückgelegt? gefasstwerden kann. Geometrisch resultiert daraus dasSteigungsdreieck.Nehmen wir nun ein praxisrelevantes Beispiel an. EinWeitspringer läuft zum Anlauf an, und uns interessiert, wieschnell er am Brett ist. Um dies bestimmen zu könnenbenötigen wir ein Gerät, das uns anzeigt, wann der Läuferlosläuft und wann er angekommen ist. Wir nehmen dazuein Distanzlasermessgerät, das uns alle 0,02 s dieEntfernung vom Balken zum Läufer anzeigt. Diesbedeutet, wir haben die Möglichkeit, die Anläufer-Brett-Distanz über die Zeit aufzutragen.s [m]0-10-20-30-400 1 2 3 4 5 6 7t [s]Bei genauerer (differenzierter) Betrachtung diesesProzesses erhalten wir als grafische Lösung dieGeschwindigkeit über Zeit. Bei dieser Darstellung wird derOriginal-Bildschirm mit dem Auswertungsprogramm fürdiese Messung abgebildet.Über diese Annahme resultiert dann auch die formaleLösung für die Geschwindigkeitsbestimmung.sv =tDie grafische Lösung kann wie folgt dargestellt werden:In einer weiteren, tiefergehenden Betrachtung können wirauch die Eigenschaft dieses Prozesses darstellen. Sie wirdals Beschleunigung bezeichnet und kann folgendermaßendargestellt werden:Die Eigenschaft des Prozesses

SCRIPT BEWEGUNGSWISSENSCHAFT III 5vt m as=2nennt man Beschleunigung und stellt dar wie dieGeschwindigkeit sich verhält! Je nach Benutzerbezug kanndiese Darstellung mehr oder weniger differenziertgeschehen.nächsten Teilabschnitt sprunghaft ansteigt, sondern, dassdiese Geschwindigkeit theoretisch genau in der Hälfte derTeilstrecke erreicht wird kann man dasPolygonzugdiagramm benutzen.Aufgabenblatt 12.1 Exkurs: LavegFür unser erstes Experiment setzen wir eine Messgerätein, mit dem wir ohne größere Probleme Zeit-Weg- undGeschwindigkeit-Weg-Änderungen betrachten undauswerten können.Das Messgerät mit der Bezeichnung LAVEG ©(Laseroperated velocity guard) wurde von der Fa. Jenoptikaus Jena speziell für die Verkehrsüberwachung der Polizeikonzipiert. Mit einer geringen Zusatzaustattung kann dieseMessapparatur mit einem portablen PC (Notebook)verbunden werden. Ist auf diesem PC die benötigteSoftware das2 © installiert können eindimensionaleMessungen der Wegänderung eines Objektsvorgenommen werden.Mit diesen Annahmen befinden wir uns schon relativ nahean den Kurven die wir aus der einschlägigen Fachliteraturkennen. Um diese nachzubilden müssen wir die ermitteltenWerte auf den 0-Punkt ziehen und die Kurve glätten. Dieskann mit einem gleitenden Mittelwert oder über einenmathematische Approximation geschehen.Bevor es diese oder ähnliche Geräte gab wurden dieGeschwindigkeits-Zeit-Verläufe abgeschätzt und mit Hilfestatistischer Verfahren, z.B. der non-linearen Regression,an die Realität angepasst. Die Vorgehensweise entsprichtdabei derjenigen die sie bei der Hausaufgabenlösung fürAufgabe 1 vornehmen.Über die Differenz-Zeitbestimmung bei einem 100m-Sprinterhalten sie 10 Differenzzeiten die doppelt Meßfehlerbehaftet sind. Über diese Teilzeiten (dt) und dieTeilstrecken (ds) können die mittleren Geschwindigkeitenfür die einzelnen Abschnitte bestimmen. Bei einerkorrekten grafischen Darstellung erhalten sie eineHistogramm Darstellung der Geschwindigkeitsentwicklung.Dieses Verfahren kann dann eingesetzt werden, wennkeine genaueren Messgeräte zur Verfügung stehen. Miteinem Lasermessgerät sind jedoch die Fehler räumlicherund zeitlicher Art geringer einzuschätzen. Aufgrund derkohärenten Eigenschaften des Laserlichts gegenüber demLicht einer Glühbirne wird von fast jedem „Spiegel“ dasLicht zurückgeworfen.Unter der Annahme, dass die mittlere Geschwindigkeitnicht über den gesamten Teilbereich gehalten wird und im

SCRIPT BEWEGUNGSWISSENSCHAFT III 7v [m/s]13v(t 1)121110987654321v 000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t 0t [s]Um nun die mittlere Geschwindigkeit dieses Prozesses zubestimmen müssen wir die Änderung die durch at 1hervorgerufen wird, auch als Mittelwertsberechnungbetrachten. Die mittlere Geschwindigkeit ist der Mittelwertder Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t 0 und derGeschwindigkeit zum Zeitpunkt t 1.Dadurch entsteht:Gleichung 2: = v ( v v( t ))t 11v0 0++12oder über die Beschleunigung, die das Gesamtsystemerfährt:Gleichung 3: v = v + 10at2Mit dieser Gleichung sind wir in der Lage, die momentane(Gleichung 2) und die mittlere (Gleichung 3) Eigenschaftder Wegänderung zu beschreiben. Um nun aber dieWegänderung zu berechnen, müssen wir die Formelinsoweit umstellen, dass die resultierendeOrtsveränderung als Ergebnis berechnet werden kann.Dies bedeutet, dass wir den zurückgelegten Weg alsobestimmen möchten. Um aus v( t)sden zurückgelegtenWeg zu berechnen müssen wir jeden einzelnen Term mitder Zeit multiplizieren.1s = v * t v0* t +=at2Gleichung 4:2Damit haben wir den während des Prozesseszurückgelegten Weg berechnet. Uns interessiert aber auchwo das Objekt sich von unserem Beobachtungspunkt ausbefindet. Dazu müssen wir zu dem zurückgelegten Wegauch die bis dahin abgearbeitete Strecke dazu addieren.Gleichung 5: () tats = s0+ v0t+2Diese Gleichung bezeichnen wir als die allgemeineBewegungsgleichung.2Im Gegensatz zu den vorangegangenen Formeln, indenen wir hinsichtlich einer Lesbarkeit manchmal dasMultiplikationszeichen benutzt haben und manchmal nicht,werden wir nun darauf verzichten, damit die Darstellungeinheitlich ist. Mit diesem Satz von Formeln, einigemWissen in der Geometrie und dem Wissen um dieAusnahmen, können wir uns auch die weiteren Fälle dertranslatorischen Kinematik erschliessen. Im erstenSonderfall haben wir die Ausnahme, dass wir dieGeschwindigkeit zum Zeitpunkt t bestimmen und sowohlder Anfangsort und die Anfangsgeschwindigkeit denBetrag Null aufweist. Wir nehmen dazu Gleichung 1 undsetzen die einzelnen Teile gleich 0. Dann folgt:Gleichung 6: v ( t) = at ,für den Ort zum Zeitpunkt t ergibt sich demnach:2Gleichung 7: ats () t = .2Der freie Fall ist ein Sonderfall der Bewegungsgleichung,bei dem die Anfangsgeschwindigkeit mit v 0= 0vorgegeben ist und die Beschleunigung durch dieErdbeschleunigung mg = 9,81 vorgegeben ist. Wenn wir2snun die Fallhöhe bestimmen wollen nehmen wir Gleichung4 setzen v0 =0 und für a setzen wir g eine. Daraus ergibtsich:Gleichung 8:ats= v0t+22gts= 0 +22gts=2Die praktische Umsetzung dieser Gleichung vollziehen wirbei den vertikal-Sprüngen, bei denen wir über die Flugzeitdie Flughöhe bestimmen möchten. Dazu nehmen wir an,dass der Sprung ein symmetrischer Sprung ist. Das heißt,das sowohl der Verlauf bis zum Scheitelpunkt und wiederzurück bis zum ersten Kontakt am Boden spiegelbildlichist. Voraussetzung dafür ist die Anweisung, das in dergleichen Position gelandet wird wie abgesprungen wurde.Somit entspricht die halbe Flugzeit, nämlich vomScheitelpunkt bis zur Landung, einem freien Fall mit derAnfangshöhe=0 und Falltiefe mit –X. Wenn wir dieFallhöhe, gleichbedeutend mit der maximalen Sprunghöhesetzen, müssen wir in Gleichung 8 die Hälfte der Flugzeiteinsetzen oder die Formel so umformen, dass wiranschließend immer die Flugzeit in unsere Formeleinsetzen können.2

SCRIPT BEWEGUNGSWISSENSCHAFT III 8s=12gt1 t s= g2 2 221 ts= g2 41 2s= gt8Mit dieser Sonderform des Gleichungssystems können wirüber die Flugzeit, gemessen mit einer Kontaktmatte odereiner Kraftmessplatte, die Flughöhe bestimmen und hättenso eine vergleichbare Größe zum Abalakow-Sprunggürteltest.Wenn wir die Fallzeit bestimmen wollen, z.B. dieNormfallzeit für einen Drop-Jump aus 34 cm, müssen wirGleichung 8 nach t umformen:Gleichung 9:t =2sgIm nächsten Schritt können wir aus der idealisiertenVorstellung heraus die Aufprallgeschwindigkeit desSystems bestimmen. Wir nehmen Gleichung 1, setzenvoraus, dass die Anfangsgeschwindigkeit gleich 0 ist unddie Beschleunigung über die Erdanziehung definiert ist.v( t)= v0+ atGleichung 10:v()t = 0 + gtv() t = gtFür t setzen wir nun Gleichung 9 ein.2sGleichung 11: v()t = ggAnstatt des g vor der Wurzel können wir auch g 2 in dieWurzel schreiben. Und dadurch das g unter demBruchstrich „wegkürzen“.Gleichung 12:v() t= g2sgv()t =2sgg/v() t = 2sgDie Weiterführung der Annahme, dass ein Gegenstandirgendwo herunterfällt ist die Tatsache, dass dieserGegenstand hochgeworfen wurde. Im Sport geschieht diesständig. Eine Operationalisierung in der Biomechanikberuht auf der Annahme, dass der Körper ein Punkt ist,denn man senkrecht nach oben werfen kann. Damitreduziert man, dass der Hochsprung beispielsweise einWerfen des eigenen Körpers nach oben ist und dadurchdie Formel für den senkrechten Wurf diese Bewegungvollständig beschreibt. Der senkrechte Wurf nach oben isteine zusammengesetze Bewegung, die aus einer2/2gleichförmig aufwärts gerichteten und einer gleichmäßigabwärts beschleunigten besteht. Auf der Grundlage vonGleichung 5 mit der Randbedingung, dass die Abflughöhegleich die Landehöhe ist, also s 0=0 und die abwärtsgerichtete Beschleunigung gleich der Erdbeschleunigungist, ergibt sich:Gleichung 13: s h() t2gt= vt 2Mit dieser Formel kann zu jedem Zeitpunkt des Fluges derOrt des KSP’s bestimmt werden.1.2 Schiefer WurfDer schiefe Wurf setzt sich nach unserer Definition nunaus einer horizontalen gleichförmigen Bewegung undeinem vertikalen Wurf zusammen. DieAusgangsbedingung für die Herleitung ist immer noch diegleiche: Um eine Bewegung zu verursachen brauchen wireine Kraft, die eine konstante Beschleunigung hervorruft.Nach einwirken der Kraft bewegt sich der Körper,idealisiert gesehen, ohne Reibungsverluste mit gleichbleibender Geschwindigkeit, der Abfluggeschwindigkeit,horizontal fort. Der Beobachtungspunkt ist der Punkt andem sich der Körper zu Beginn der Bewegung befindet.Diesen kennzeichnen wir mit 0. Das typische Beispiel fürein schiefes Werfen des eigenen Körpers ist derStandweitsprung mit der Randbedingung, dass Abflughöheund Landehöhe des KSP identisch ist. So könne wir denOrt des KSP im letzten Bodenkontakt vor dem Abflug mitder Bezeichnung 0m messen. Somit ist für denhorizontalen Anteil der Bewegung s 0=0m und v 0 gegeben.Was wir noch berücksichtigen müssen ist die Tatsache,dass beim schiefen Wurf nicht die Abfluggeschwindigkeitdie horizontale Fortbewegung beschreibt, sondern nur einbestimmter Anteil dieser. Daraus ergibt sich demzufolge:Gleichung 14: s = v t x 0cosFür die vertikale Komponente nehmen wir Gleichung 13und korrigieren den ersten Term über seinentrigonometrischen Zusammenhang.2Gleichung 15:gts z= v0tsin2Wir möchten uns nun die Bahngleichung herleiten. Wirnehmen Gleichung 14 und lösen diese nach der Zeit auf.Gleichung 16: sxt =cosv 0Diese ermittelte Gleichung setzen wir in Gleichung 15 ein.daraus ergibt sich dann:2Gleichung 17:sx1 sxsz= v0sin g2 2v cos2 v cos 00

SCRIPT BEWEGUNGSWISSENSCHAFT III 9Wenn wir diese Formel mit den uns zu Verfügungstehenden Mitteln reduzieren ergibt sich:2Gleichung 18:gsxsz= sxtan 2 22vcos Mit dieser Gleichung sind wir in der Lage, den Wegverlaufeines schief geworfenen Körpers zu bestimmen.Die Geschwindigkeit erhält man, wenn man auf derGrundlage von Gleichung 14 und Gleichung 15 die Teil-Geschwindigkeit bestimmt.Gleichung 19:Gleichung 20:v x= v 0cosv z= v sin gt0Wenn man nun die maximale Flughöhe bestimmenmöchte, geht man davon aus, dass im Umkehrpunkt derFlugparabel die vertikale Geschwindigkeit gleich 0 ist. Mannimmt Gleichung 20 und setzt s z=0.Gleichung 21:v z= v sin gt 0 = v sin gt v sin = gt0vt =000sin gDen Schlussterm setzen wir in die Gleichung 15 für denvertikalen Ort ein.2gtsz= v0tsin22 2v0sin1 v0( )( sin)szmax. = v0sin g/2/g 2 g2 2 2 2v0( )( sin) v0( sin)szmax. = g 2gAus dieser Umformung erkennen wir, dass zwischen denbeiden Termen nur die 2 unter dem Bruchstrich deszweiten Terms unterschiedlich zum ersten ist. Alsoreduzieren wir den Ausdruck gedanklich auf folgendesRechenbeispiel:1 1X = 1 =2 2So ergibt sich aus dem umformulierten Term die folgendeGleichung für die Berechnung der maximalen Flughöhe.2 2Gleichung 22:v0 ( sin)s z( max. ) =2gAus Symmetriegründen können wir davon ausgehen, dassdas Wurfgerät genauso lange brauch um von 0 nachs z(max.) zu kommen wie von s z(max.) nach s x(max.) alsoder Flugweite. Daher können wir nun die Flugweitedadurch berechnen, dass wir die Flugzeit t mit 2multiplizieren.0sssx( max. )v0sint = gxx( max. )( max. )= v t cos,02v0sin= v0cosg22v0sincos=gDasinsin *cos= ergibt können wir den Term2vereinfachen in:s xGleichung 23: ( max. )2v0sin 2=gDer größte Wert für sin(x) ergibt sich bei 90°. Daherkönnen wir den Winkel bestimmen, bei dem sich dieFlugweite maximieren lässt. Die Hälfte von 90° ergibt 45°,bzw. 2*45° ergbit 90°. Die maximale Flugweite lässt sichmit einem Abflugwinkel von 45° erreichen.Mit dieser Sammlung von Formeln lässt sich jedetranslatorische Kinematik bestimmen. Alle anderenFormeln sind aus diesem Grundstock anZusammenhängen abgeleitet. Im folgenden sollen nunnoch einige wichtige Formeln dargestelt werden, die inunserem sportwissenschaftlichen Leben eine Rolle spielenkönnen.Sowohl der senkrechte als auch der schiefe Wurf setztenvoraus, dass sowohl die Lande- als auch die Abflughöheauf einem Niveau stattfinden. Also das Objekt startet von 0Meter und landet bei 0 Meter. Viele Würfe im Sport werdevon einem angenommenen Niveau abgeworfen undlanden auf einem reduziertem Niveau. Beispielsweise wirddie Kugel bei ca. 2,10m abgestoßen und landet bei 0Meter. Dazu muss die Formel des schiefen Wuirfes nochan diese Randbedingung angepasst werden. Im erstenFall geht man davon aus, dass die Abwurfhöhe variiertwerden kann, der Landepunkt aber fest ist. Beispielewären hier das Kugelstoßen und alle Ballwürfe.Gleichung 24:vW =2 2sin 202 v0sin0+ v cosh+00 02gg 2g20So komplex die Formel im ersten Augenblick erscheinenmag, so ist doch zu berücksichtigen, dass nur dreiVariablen und eine Konstante Größe in dieser Formelsteckt. Damit kann jede Wurfweite auf dieAbfluggeschwindigkeit, den Abwurfwinkel und dieAbwurfhöhe reduziert werden. Wobei die Geschwindigkeitden höchsten Einfluss auf die Zielgröße hat. EineBetrachtung des schiefen Wurfes wo sowohl dieAbwurfhöhe als auch die Landehöhe variiert werden kann,ist der Weitsprung. In diesem Fall muss die Formel leichtverändert werden. Für die Abwurfhöhe h 0 muss die

SCRIPT BEWEGUNGSWISSENSCHAFT III 10Differenz zwischen Abwurfhöhe und Landehöheeingetragen werden, also wird aus h 0 hDie Formel zur Bestimmung des optimalen Winkels kanneingesetzt werden, wenn man in unterschiedlichenDisziplinen mit unterschiedlichen Abflughöhen denoptimalen Abflugwinkel bestimmen möchte.cos 2h g=h g + vGleichung 25: 0(opt.)2Bisher haben wir innerhalb der Kinematik nurtranslatorische Bewegungen bearbeitet. Wir möchten unsjetzt die Zusammenhänge betrachten, wenn der Kraftstoßder eine Bewegug auslöst dezentral ist und daher zu einerRotation führt. In dieser kurzen Einführung stellen wir denZusammenhang zwischen den einzelnen Winkeln her.Ein Kreis wird in 360° eingeteilt. Diese Einteilung istLängenunabhägig. Wenn ein kleiner Mensch über dieHürde springen möchte muss er sein Bein wesentlichweiter heben als beispielsweise Florian Schwarthoff. Umdas Bein zu heben muss sein Hüftgelenkwinkel mehrgeschlossen werden. Die Bezeichnung für einen Winkelwird über einen griechischen Kleinbuchstaben angegeben.Wobei das und das schon reserviert sind. Also kannder Winkel mit , , etc. angegeben werden. Man solltedarauf achten, dass Bezeichnungen für konstante Größenaus verwandten Bereichen vermieden werden. Als Beispieldient das Verhältnis von Brems- zuBeschleunigungsimpuls bei Sprüngen, das alsVerhältnis bezeichnet wird.37 Grad00Gleichung 27:2 1 =t t2Eine mögliche Einheit für den Winkel ist die BezeichnungGrad. Als Bezeichnung wird der kleine Kreis hochgestelltX°. Das Grad3 DynamikEs ist nicht korrekt, dass die Dynamik also die Ursache derBewegung nach der Bewegung besprochen wird. Es gibtaber zwei Gründe die ein solches vorgehen rechtfertigen.Im Sport und auch sonst mit bloßen Augen sehen wir Kraftnicht. Wir könne die Kraftwirkung anhand derGeschwindigkeitsänderung abschätzen. Beispiel: EinHochspringer läuft zum Hochsprung an, gestaltet seineAnbsprungvorbereitung und springt dann ab. Diesbedeutet, dass das System im Anlauf keine vertikaleGeschwindigkeit hatte. Nach den Absprung besitzt dasSystem Hochspringer fast nur noch vertikaleGeschwindigkeit (senkrechter Wurf). Also fand eineGeschwindigkeitsänderung, sprich Beschleunigung inpositive vertikale Richtung statt. DieGeschwindigkeitsänderung ist das Resultat einerKraftwirkung. Je nach Kraftwirkung sehen wir eineschnellere oder langsamere Bewegungsänderung. Derandere Grund hängt damit zusammen. Das was wirmessen können wir auch sehen, da messen nichtsanderes ist als sehen. Wir messen die Länge in Meter1In dem dargestellten Beispiel haben wir einen Winkel=37°. Wenn dieser Weg innerhalb von t1=5,8s undt2=12,45s realisiert wurde müssen wir die Eigenschaft, wieveränderte sich der Winkel über die Zeit, mit derWinkelgeschwindigkeit bestimmen. Analog derGeschwindigkeitsbestimmung bei Transalationen ergibtsich:Gleichung 26:2 1 = =tt tDaraus würde sich in unserem konkreten Beispiel eineWinkelgeschwindigkeit von 5,563°/s ergeben.Die Winkelbeschleunigung wird dann dementsprechendals die Änderung der Winkelgeschwindigkeit über dieZeitänderung definiert:21