Konstruktion und Simulation eines mathematischen ...

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18 3.3. Biokommunikation: Einsichten aus der linguistischen Pragmatik18
194. Mathematische GrundlagenI think the next century will be the century of complexity.(Stephen Hawking, Januar 2000)In diesem Kapitel werden die benötigten mathematischen Grundlagen dargestellt,die zur Konstruktion des Rahmenmodells in Kap. 5 benötigt werden. Zum einensind dies kontinuierliche dynamische Systeme mit einer Störung, welche zu gewöhnlichenDierentialgleichungen mit einem Input führen. Zum anderen werden auchdie Grundlagen der mathematischen Informationstheorie dargestellt (Siehe z.B.[Haddad, Chellaboina 2008, Wiggins 1990, Grüne 2006, Applebaum 2008], auf denendie folgenden Abschnitte basieren).4.1. Dynamische Systeme4.1.1. Kontinuierliche dynamische SystemeDenition 4.1 (Dynamisches System) Sei Ω ⊂ R n . Ein dynamisches Systemauf Ω ist ein Tupel (Ω, R, s), mit s : R × Ω → Ω, sodass gilt1. Stetigkeit: s(·, ·) ∈ C 0 (R × Ω, Ω), s(·, x) ∈ C 1 (R, Ω).2. Konsistenz: s(0, x 0 ) = x 0 ∀x 0 ∈ Ω.3. Halbgruppeneigenschaft: s(τ, s(t, x 0 )) = s(τ + t, x 0 ) ∀x 0 ∈ Ω, t, τ ∈ R.s t (x) : Ω → Ω wird als Fluss bezeichnet. Für x 0 ∈ Ω ist s x0 (t) = s(t, x 0 ) dieTrajektorie durch x 0 .Die Bedingungen 2.-3. lassen sich für s t auch schreiben als: 2.s 0 (x 0 ) = x 0 , 3.(s τ ◦ s t )(x 0 ) = s τ (s t (x 0 )) = s τ+t (x 0 ). Aus Bedingung 1. und 3. folgt, dass dieAbbildung s t : Ω → Ω stetig ist mit einer stetigen Inversen s −t . s t generiert daherfür t ∈ R eine einparametrige kommutative Gruppe von Homöomorphismen aufΩ:Lemma 4.1 s t generiert für t ∈ R eine einparametrige kommutative Gruppe vonHomöomorphismen auf Ω in Bezug auf die Komposition.19
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Seite 59 und 60: 6.2. Die relative Wichtigkeit einer
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7.5. Abschlieÿende Bemerkungen 69(
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718. Anwendung 2: Organisation vonD
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8.3. Numerische Simulation 73folgen
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779. Anwendung 3: Aufgabenteilungin
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9.4. Numerische Simulation 79Abbild
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9.5. Der Informationsgehalt eingehe
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9.6. Abschlieÿende Bemerkungen 85A
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8710. Zusammenfassung und AusblickE
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89der semantopragmatischen Wirkung
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91A. GlossarBiosemiotik(Biosemiotik
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93Emergent Theories. Put in abstrac
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95zeitlich oder raumzeitlich ohne d
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97}∇u · n = 0∇v · n = 0auf
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99(a)(b)Abbildung A.1.: (a)Überste
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101B. ProgrammlistingsDie Simulatio
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