Klausur mit Losung

Klausur zur Maß- und IntegrationstheorieLeipzig 31.01.2009, Beginn: 09:00 Uhr, (voraussichtliches) Ende: 10:30 UhrAlle Schritte, sofern nicht anders angegeben, sind ausreichend zu begründen.Schreiben Sie Ihren NAMEN und MATRIKELNUMMER auf jedes BLATT.1. Aufgabe (4 Punkte)a) Wie ist die Divergenz eines Vektorfeldes v : R n −→ R n definiert?b) Wie ist der Gradient eines Skalarfeldes g : R n −→ R definiert?c) Wie ist die Rotation eines Vektorfeldes v : R 3 −→ R 3 definiert?d) Geben Sie ein nicht konstantes Vektorfeld F : R 3 −→ R 3 mit divF(x) = 0 für alle x ∈ R 3an.(ohne Beweis)Pro Teilaufgabe gab es einen Punkt.2. Aufgabe (4 Punkte)Gegeben sei die parametrisierte Kurve γ : R −→ R 2 mittelsx = a cos 3 t, y = a sin 3 t, a > 0.Berechnen Sie die Länge von γ(t) für 0 < t < 2π.Lösung:x ′ (t) = −3a cos 2 t · sin t, y ′ (t) = 3 sin 2 t · cost =⇒ γ ′ (t) = 3a sint · cost · (− cost, sin t)L(γ) =∫ 2π= 3a0∫ 2π0|γ(t)|dt =∫ 2π0| sintcost|dt = 12a√9a 2 sin 2 t cos 2 t ( cos 2 t + sin 2 t ) dt = 3a∫ π20sintcostdt = 6a∫ 2π0√sin 2 t cos 2 tdtEs gab jeweils einen Punkt auf die Längenformel, die Ableitung von γ, die korrekten Umformungen,sowie auf die Beachtung des Betrages+Ergebnis.3. Aufgabe (4 Punkte)Berechnen Sie durch Transformation auf Polarkoordinaten das Integral∫I =sin(π[x 2 + y 2 ])d(x, y).{(x,y)∈R 2 :x 2 +y 2 ≤1}Lösung:Die Substitution x = r cost, y = r sin t für 0 < r < 1 und 0 < ϕ < 2π liefert die Jacobische= r. Somit erhalten wir∂(x,y)∂(r,vp)I =∫ 1 ∫ 2π00sin(r 2 · π) · rdϕdr = 2π∫ 10r sin(r 2 π)dr = − cos(r 2 π)| 1 0 = 2Es gab jeweils einen Punkt für die richtige Umrechnung in Polarkoordinaten, die neuen Integrationsgrenzen,die Jacobische und Rechnung+Ergebnis.4. Aufgabe (4 Punkte)Sei −→ K = (x, 2y, 3z) und∫I :=Frot −→ Kd −→ A,wobei F der im ersten Quadranten liegende Teil der Ebene x + y + z = 1 ist. Berechnen Sie dasIntegral I einmal direkt und einmal mit Hilfe des Integralsatzes von Stokes.

Lösung:a) direktDa die Rotation der Nullvektor ist, verschwindet auch das Integral.b) mit StokesWie im Seminar. Parametrisiere die drei Randstücken und berechne die entstehenden drei Integrale.Es gab jeweils einen Punkt für die Berechnung der Rotation+direkte Berechnung, die Parametrisierungdes Randes, richtige Anwendung des Stokschen Satzes und die richtige Rechnung.5. Aufgabe (4 Punkte)Sei B = {x ∈ R 3 : x 2 1 + x2 2 + x2 3≤ 1} die dreidimensionale Einheitskugel und∫I = (e x , cos(z), x + y + z)d −→ A,∂Bwobei d −→ A = −→ n dA das vektorielle Oberflächenelement zum äußeren Einheitsnormalenfeld −→ n :R 3 −→ R 3 bezeichnet.Begründen Sie, warum Sie I als Volumenintegral in der Form ∫ Bg(x)dx mit einer geeignetenFunktion g : R 3 −→ R darstellen können und bestimmen Sie g. Es ist nicht verlangt das Integralauszurechnen.Lösung:Der Rand von B ist glatt, das Vektorfeld ist (auf B) stetig und differenzierbar. Also ist der Satzvon Gauß anwendbar, der die Behauptung liefert. Das gesuchte g ist gerade die Divergenz desVektorfeldes, d.h. g = 2.Es gab jeweils einen Punkt auf die Feststellung, dass der Rand von B glatt, dass Vektorfeld stetigund differenzierbar ist (d.h. auf die Voraussetungen des Satzes von Gauß) und auf die Angabe vong (g = div(e x , cos(z), x + y + z) = e x + 1).6. Aufgabe (6 Punkte)Wir definierenA := { M ⊆ R : M oder M C ist abzählbar } ,{0, falls M abzählbar ist,µ(M) :=1, falls M C abzählbar ist.Dabei bezeichne M C := R\M das Komplement von M. Eine Menge heißt Menge abzählbar, wennsie gleichmächtig zu N oder endlich ist und überabzählbar, wenn sie nicht abzählbar ist.Beweise, dass A eine σ-Algebra und µ ein Maß auf A ist.Lösung:Zu zeigen ist:1. R ∈ A,2. A ∈ A ⇒ A C ∈ A,3. A i ∈ A ⇒ ∪ ∞ i=1 A i ∈ A,sowiea) µ ist positiv,b) µ(∅) = 0,c) A i ∈ A disjunkt ⇒ µ(∪ ∞ i=1 A i) = ∑ ∞i=1 µ(A i).1., 2. a) und b) folgen sogleich aus der Definition von A und µ und der Tatsache, dass die leereMenge abzählber ist.Falls bei 3. alle A 1 abzählbar sind, so ist auch die abzählbare Vereinigung der A i wieder abzählbar(vgl. den Beweis für die Abzählbarkeit von Q) und somit ist für diesen Fall die Behauptung erfüllt.

Falls aber mindestens ein A i nicht überabzählbar ist, welches wir o.B.d.A als A 1 bezeichnen, sogilt:(∪ ∞ i=1 A i) C = ∩ ∞ i=1 A i ⊆ A 1 .D.h. das Komplement der Vereinigung ist abzählbar, somit ist die Vereinigung in A enthalten undA ist eine σ-Algebra.Falls bei c) alle Mengen abzählbar sind, so gilt die behauptete Gleichung, ebenfalls wenn genaueine Menge überabzählbar ist. Es bleibt also noch zu zeigen, dass es keine zwei überabzählbarendisjunkten Teilmengen geben kann, die in A liegen.Seien A, B ∈ A disjunkt und überabzählbar. D.h. A C und B C sind abzählbar. Somit giltWegen der Disjunktheit gilt nun aber#A > #B C . (1)A ⊆ B C =⇒ #A ≤ #B C ,was im Widerspruch zu Gleichung (1) steht. Somit kann es keine zwei überabzählbaren und disjunktenTeilmengen geben, die in A liegen.Hier Bezeichnet #A die Anzahl der Elemente von A.Es gab jeweils einen Punkt auf das nennen und einen auf den Nachweis der jeweiligen Eigenschaftenvon σ-Algebra und Maß.