13.¨Ubungsblatt zur ” Reellen Analysis“

Institut für MathematikProf. Dr. Helge GlöcknerDipl. Math. Michael Schröder13. Übungsblatt zurReellen Analysis“”WS 08/0912.01.2009GruppenübungAufgabe G31 (Satz über parameter-abhängige Integrale)Es sei µ ein endliches Maß (d.h. µ(R) < ∞) auf (R, B(R)) derart, dass die Funktionid R : R → R, id R (x) := x bzgl. µ über R integrierbar ist. Zeigen Sie, dass∫g : R → R , g(y) := sin(xy) dµ(x)stetig differenzierbar ist und finden Sie die Ableitung g ′ .Aufgabe G32 (Eine Flächenberechnung mit dem Cavalierischen Prinzip)Es seien a, b > 0 und M := { (x, y) ∈ R 2 : (x/a) 2 + (y/b) 2 ≤ 1 } .(a) Skizzieren Sie M für a = 1, b = 2.(b) Bestimmen Sie M y := {x ∈ R: (x, y) ∈ M} für y ∈ R.(c) Berechnen Sie das 2-dimensionale Volumen λ 2 (M) von M.Aufgabe G33 (Eine Lebesgue-, aber nicht Riemann-integrierbare Funktion)Es sei q : N → Q := Q ∩ ]0, 1[ eine Bijektion. Gegeben ε ∈ ]0, 1[ wählen wir für jedesn ∈ N ein offenes Intervall U n ⊆ ]0, 1[ derart, dass q n ∈ U n und U n höchstens die Längeε/2 n hat. Dann istQ ⊆ U := ⋃ n∈NU n ⊆ ]0, 1[ und λ(U) ≤R∞∑λ(U n ) ≤n=1∞∑n=1ε2 n = ε .(a) Zeigen Sie, dass die charakteristische Funktion f := 1 U : [0, 1] → R bzgl. λ über[0, 1] integrierbar ist, mit ∫ [0,1]fdλ ≤ ε.∗∫ 1(b) Berechnen Sie das Oberintegral0f(x) dx und schließen Sie, dass f nicht über[0, 1] Riemann-integrierbar ist [Welchen Wert hätte sonst das Riemann-Integral ? ](c) Zeigen Sie, dass U \ N in ]0, 1[ dicht ist, für jede λ-Nullmenge N ⊆ ]0, 1[.(d) Nun sei g : [0, 1] → R eine Funktion mit g(x) = f(x) λ-fast überall. Zeigen Sie,dass auch g nicht über [0, 1] Riemann-integrierbar ist.

HausübungAufgabe H37 (Berechnung einer Fläche)Es sei M := { (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1 und (x ≤ 0 oder |y| ≤ x) } .Skizzieren Sie die Menge M und berechnen Sie ihren Flächeninhalt λ 2 (M) mit demPrinzip von Cavalieri.Aufgabe H38 (Volumen eines Rotationskörpers)Es sei r : R → [0, ∞[ eine messbare Funktion. Uns interessiert das Volumen des RotationskörpersM := { (x, y, z) ∈ R 3 : √ x 2 + y 2 ≤ r(z) } = h −1 ([0, ∞[)mit h: R 3 → R, h(x, y, z) := r(z) − √ x 2 + y 2 .(a) Zeigen Sie, dass M ∈ B(R 3 ).(b) Zeigen Sie, dass λ 3 (M) = π ∫ R r(z)2 dλ 1 (z).(c) Berechnen Sie für α > 0 das Volumen der MengeM := { (x, y, z) ∈ R 3 : z ≥ 1 und √ x 2 + y 2 ≤ z −α} .Aufgabe H39 (Berechnung einiger Volumina)(a) Berechnen Sie das Volumen λ 3 (M) des EllipsoidsM := { (x, y, z) ∈ R 3 : (x/a) 2 + (y/b) 2 + (z/c) 2 ≤ 1 } ,wobei a, b, c > 0. (Hinweis: Benutzen Sie das Prinzip von Cavalieri und AufgabeG32).(b) Berechnen Sie mit dem Prinzip von Cavalieri das Volumen des Körpers M := K∩Z,der durch Schneiden der Kugel K := {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1} und desZylinders Z := {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 ≤ 1 2 } entsteht.