Skript - Universität Paderborn

Algebra
WS 2011/2012
Joachim Hilgert
Dieser Text ein vorläufiges Vorlesungsskript zur Vorlesung Algebra, die ich im WS
2011/2012 an der Universität Paderborn gehalten habe. Er ist nicht korrekturgelesen
und nur zum internen Gebrauch gedacht!
Paderborn, den 30.1.2012
J. Hilgert

Vorwort
Die Vorlesung ”
Algebra“ ist einer ersten Einführung in die Grundprinzipien der
abstrakten Algebra gewidmet. Behandelt werden exemplarisch die Gruppentheorie
und die Ringtheorie. Dabei führen wir die jeweiligen Unter- und Quotientenstrukturen
ein, den passenden Quotientenbegriff sowie diverse Spezialfälle, die sich aus
interessanten Beispielklassen ergeben.
In der Gruppentheorie betrachten wir auch Gruppenwirkungen, die man als eine
Abstrahierung des Symmetriebegriffs auffassen kann, und deuten an, wie Gruppenwirkungen
in der Lösung kombinatorischer Probleme eingesetzt werden können. In
der Ringtheorie konzentrieren wir uns jenseits der elementaren Strukturbeschreibung
auf die Verallgemeinerung der Teilbarkeitslehre. Der tiefliegenste Satz, den
wir hier beweisen, stammt von Gauß und besagt, dass die Eigenschaft, Elemente
in Primfaktoren zerlegen zu können, sich von einem Ring R auf den zugehörigen
Polynomring R[X] vererbt.
Abschließend besprechen wir die Anfangsgründe der Körpertheorie, um das Problem
des Lösens von Polynomgleichungen genauer erörtern zu können.
Das Kapitel 5 konnte in der Vorlesung aus Zeitgründen nicht behandelt werden.
Es wurde ins Skript aufgenommen, um den Studierenden die Gelegenheit zu geben,
Anwendungen der behandelten Theorien zu sehen.

Inhaltsverzeichnis
1 Gruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Die Gruppenaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Gruppenwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Homomorphismen, Normalteiler und Quotientengruppen . . . . . . . . . . 18
2 Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1 Ringe und Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Integritätsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Euklidische Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Faktorielle Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1 Die Modulaxiome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Basen und freie Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Moduln über euklidischen Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4 Anwendung auf lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1 Nullstellen von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Zerfällungskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3 Primkörper und Charakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4 Irreduzibilitätskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.5 Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1 Separabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Die Galoisgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 Primitive Einheitswurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4 Der Hauptsatz der Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

1
Gruppen
In diesem Kapitel werden elementare Strukturaussagen für Gruppen bewiesen. Kanonisch
ergeben sich aus der Definition einer Gruppe die Begriffe Untergruppe und
Quotientengruppe, wobei die Suche nach einem geeigneten Quotientenbegriff auf das
Konzept des Normalteilers führt. Ebenso kanonisch ist der Begriff des Gruppenhomomorphismus,
der den Vergleich verschiedener Gruppen möglich macht. Wir beziehen
von Anfang an auch Gruppenwirkungen auf Mengen in unsere Überlegungen
mit ein, die eine abstrakte Fassung des Symmetriebegriffs darstellen, und somit einer
der wesentlichen Ausgangspunkte für die Gruppentheorie als algebraische Disziplin
sind.
1.1 Die Gruppenaxiome
Definition 1.1.1. Sei G ≠ ∅ eine Menge und ◦: G × G → G eine Abbildung.
Betrachte die folgenden Eigenschaften.
(i) (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) für alle x, y, z ∈ G (Assoziativgesetz).
(ii) Es existiert ein e ∈ G mit e ◦ x = x = x ◦ e für alle x ∈ G (Einselement).
(iii) Zu jedem x ∈ G existiert ein y ∈ G mit y ◦ x = e = x ◦ y (inverses Element).
(iv) x ◦ y = y ◦ x für alle x, y ∈ G (Kommutativgesetz) .
(a) (G, ◦) heißt Halbgruppe, wenn (i) gilt.
(b) (G, ◦) heißt Monoid, wenn (i) und (ii) gilt.
(c) (G, ◦) heißt Gruppe, wenn (i), (ii) und (iii) gilt.
(d) (G, ◦) heißt abelsche Gruppe, wenn (i) - (iv) gilt.
Bemerkung 1.1.2. (i) Das Assoziativgesetz erlaubt das Weglassen von Klammern
bei mehrfachen Verknüpfungen.
(ii) Wenn das Kommutativitätsgesetz gilt, dann schreibt man häufig + statt ◦ (additive
Schreibweise).
(iii) Wenn das Kommutativitätsgesetz nicht gilt, läßt man oft das Verknüpfungssymbol
ganz weg.
⊓⊔
Für kleine Gruppen ist es sinnvoll, die Gruppenmultiplikation in Form einer
Gruppentafel darzustellen:

2 1 Gruppen
◦ g 1 g 2 g 3 . . .
g 1 g 1 g 1 g 1 g 2 g 1 g 3 . . .
g 2 g 2 g 1 g 2 g 2 g 2 g 3 . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
. ..
Proposition 1.1.3. Sei (G, ◦) eine Gruppe. Dann gilt
(i) Es gibt nur ein Einselement.
(ii) Zu jedem x ∈ G gibt es nur ein Inverses. Dieses wird mit x −1 bzw. mit −x (in
der additiven Schreibweise) bezeichnet.
(iii) (a −1 ) −1 = a, (ab) −1 = b −1 a −1 für alle a, b ∈ G.
(iv) ax = ay =⇒ x = y für alle a, x, y ∈ G (kürzen von links).
(v) xa = ya =⇒ x = y für alle a, x, y ∈ G (kürzen von rechts).
Beweis. Idee: Für (i) und (ii) nimmt man die Existenz von zwei passenden Elementen
an und läßt jedes einmal die Rolle des Eins- bzw. inversen Elements in der Definition
spielen. Der Rest folgt sofort aus den Definitionen.
(i) Seien e und f Einselemente. Dann gilt e = ef = f.
(ii) Seien x ′ und x ′′ Inverse von x. Dann gilt
x ′ = ex ′ = (x ′′ x)x ′ = x ′′ (xx ′ ) = x ′′ e = x ′′ .
(iii) Wegen aa −1 = a −1 a = e ist a das Inverse von a −1 , d.h. a = (a −1 ) −1 . Wegen
(ab)(b −1 a −1 ) = a(bb −1 )a −1 = aea −1 = aa −1 = e
und
(b −1 a −1 )(ab) = b −1 a −1 ab = b −1 eb = b −1 b = e
gilt außerdem (ab) −1 = b −1 a −1 .
(iv) Aus ax = ay folgt x = a −1 (ax) = a −1 (ay) = y.
(v) Aus xa = ya folgt x = (xa)a −1 = (ya)a −1 = y.
⊓⊔
Die folgende Proposition zeigt, dass die Gruppenaxiome nicht frei von Redundanz
sind. D.h., um zu überprüfen, dass eine Verknüpfung auf einer Menge eine
Gruppenstruktur definiert, kann man sich etwas Arbeit sparen.
Proposition 1.1.4. Sei G eine nichtleere Menge und ◦: G×G → G eine Abbildung
mit folgenden Eigenschaften:
(a) Es existiert ein e ∈ G mit e ◦ x = x für alle x ∈ G.
(b) Zu jedem x ∈ G gibt es ein y ∈ G mit y ◦ x = e.
(c) Für ◦ gilt das Assoziativgesetz.
Dann ist (G, ◦) eine Gruppe mit Einselement e.
Beweis. Idee: Man zeigt zunächst, dass aus x◦y = e schon y◦x = e folgt, weil y◦x dann
idempotent ist, d.h. (y ◦ x) ◦ (y ◦ x) = y ◦ x. Der Rest ist dann klar mit den Definitionen.
Seien x, y ∈ G und y ◦ x = e. Zeige zuerst: x ◦ y = e. Dazu setze z := x ◦ y und
rechne
z ◦ z = (x ◦ y) ◦ (x ◦ y) = x ◦ (y ◦ x) ◦ y = x ◦ e ◦ y = x ◦ y = z.

1.1 Die Gruppenaxiome 3
Wähle ein w ∈ G mit w ◦ z = e. Dann gilt
e = w ◦ z = w ◦ z ◦ z = e ◦ z = z = x ◦ y.
Als nächstes zeigt man x ◦ e = x für alle x ∈ G: Wähle ein y ∈ G mit y ◦ x = e.
Dann gilt wegen des ersten Teils des Beweises
x ◦ e = x ◦ y ◦ x = e ◦ x = x.
Jetzt folgt die Behauptung sofort aus der Definition einer Gruppe.
⊓⊔
Beispiel 1.1.5. (i) (Z, +) ist eine abelsche Gruppe mit Einselement e = 0 und −x
als Inversem von x ∈ Z.
(ii) Sei K ein Körper, dann ist (K, +) eine abelsche Gruppe mit Einselement e = 0
und −x als Inversem von x ∈ K.
(iii) Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum, dann ist (V, +) eine abelsche Gruppe
mit Einselement e = 0 und −x als Inversem von x ∈ V .
(iv) Sei M eine nichtleere Menge und Bij(M) die Menge aller bijektiven Selbstabbildungen
von M. Dann ist (Bij(M), ◦) mit der Hintereinanderschaltung ◦ von
Abbildungen eine Gruppe mit der Identität als Einselement und der Umkehrabbildung
ϕ −1 als Inversem von ϕ ∈ Bij(M). Für den Spezialfall M = {1, . . . , n}
erhält man die symmetrische Gruppe in n Buchstaben und schreibt S n statt
Bij({1, . . . , n}).
⊓⊔
Beispiel 1.1.6 (Diedergruppe). Sei σ : R 2 → R 2 die Rotation um den Winkel 2π n
und τ : R 2 → R 2 die Spiegelung an der x-Achse. Bzgl. der Standardbasis sind die
darstellenden Matrizen dieser Abbildungen durch
gegeben. Die Menge
σ =
(
cos
2π
n
sin 2π n
− sin 2π n
cos 2π n
)
, τ =
( )
1 0
0 −1
D n := {σ k | k = 0, . . . , n − 1} ∪ {τσ k | k = 0, . . . , n − 1}
ist bezüglich der Verknüpfung von Abbildungen eine Gruppe mit σ 0 = id als Einselement
und heißt die n-te Diedergruppe. Man interpretiert D n als die Symmetriegruppe
des regulären n-Ecks: Die Elemente von D n sind nämlich genau diejenigen
bijektiven linearen Abbildungen, die das von den Punkten σ k (e 1 ) (mit dem Standardbasisvektor
e 1 ∈ R 2 ) gebildete reguläre n-Eck in sich abbilden (Übung. Hinweis:
Betrachte zuerst die Symmetrien, die den Punkt e 1 festlassen und dann diejenigen,
die e 1 auf σ k (e 1 ) abbilden).
τ
σ
⊓⊔

4 1 Gruppen
Beispiel 1.1.7 (Graphenautomorphismen). Ein gerichteter Graph Γ ist gegeben
durch eine Menge V , die man als Ecken interpretiert, eine Menge E, die man
als Kanten interpretiert, sowie eine Abbildung η : E → V ×V . Dabei stellt man sich
vor, dass η(e) = (a, b), wenn e eine Kante mit Anfangspunkt a und Endpunkt b ist.
Ein Automorphismus von Γ = (V, E, η) besteht aus einer Bijektion ϕ E : E → E
und einer Bijektion ϕ V : V → V mit
η(e) = (a, b) ⇔ η ( ϕ E (e) ) = ( ϕ V (a), ϕ V (b) ) .
Dann ist die Menge Aut(Γ ) aller Automorphismen von Γ bzgl. der Verknüpfung
von Abbildungen eine Gruppe mit der Identität als Einselement.
⊓⊔
Beispiel 1.1.8 (Matrizengruppen). Sei K ein Körper. Die folgenden Teilmengen
von Mat(n×n, K) sind Gruppen bzgl. der Matrizenmultiplikation. Das Einselement
ist jeweils die Einsmatrix und das Inverse einer Matrix ist das gewöhnliche Matrizeninverse:
(i) Die allgemeine lineare Gruppe, GL(n, K) = {A ∈ Mat(n × n, K) | det(A) ≠
0}.
(ii) Die spezielle lineare Gruppe, SL(n, K) = {A ∈ Mat(n × n, K) | det(A) = 1}.
(iii) Die Menge T der oberen Dreiecksmatrizen in GL(n, K).
(iv) Die unipotente Gruppe U der oberen Dreiecksmatrizen in GL(n, K) mit 1 als
einzigem Eigenwert.
(v) Die orthogonale Gruppe O(n, K) = {A ∈ Mat(n × n, K) | A ⊤ = A −1 }.
(vi) Die symplektische ( ) Gruppe Sp(2n, K) = {A ∈ Mat(2n × 2n, K) | A ⊤ JA = J}
0 1n
mit J =
.
−1 n 0
(v) Die unitäre Gruppe U(n, K) = {A ∈ Mat(n×n, K) | A ∗ = A −1 }, wobei z → z
ein involutiver Automorphismus von K ist, der komponentenweise angewandt
eine involutive Abbildung A → A induziert, für die man setzt: A ∗ := A ⊤ .
(vi) Die spezielle orthogonale Gruppe SO(n, K) = SL(n, K) ∩ O(n, K).
(vii) Die spezielle unitäre Gruppe SU(n, K) = SL(n, K) ∩ U(n, K).
⊓⊔
Die folgende Proposition liefert eine Möglichkeit, aus einer Familie von Gruppen
neue, größere Gruppen zusammenzubauen:
Proposition 1.1.9. Sei (G λ , ◦ λ ) λ∈Λ eine Familie von Gruppen. Dann ist
∏
G λ := {f : Λ → ⋃ . G λ | f(λ) ∈ G λ }
λ∈Λ
eine Gruppe bzgl. der Verknüpfung
λ∈Λ
(f ◦ f ′ )(λ) := f(λ) ◦ λ f ′ (λ)
für 1 f, f ′ ∈ ∏ λ∈Λ G λ. Das Einselement ist gegeben durch e(λ) = e λ ∈ G λ , wobei e λ
das Einselement in G λ ist. Analog ist das Inverse von f ∈ ∏ λ∈Λ G λ gegeben durch
f −1 (λ) = f(λ) −1 ∈ G λ .
Beweis. Übung.
⊓⊔
1 Beachte, dass für überabzählbares Λ das Auswahlaxiom benötigt wird, um ∏ λ∈Λ G λ ≠ ∅
sicherzustellen.

1.1 Die Gruppenaxiome 5
Die Gruppe ∏ λ∈Λ G λ heißt das direkte Produkt der Gruppen G λ . Wenn Λ =
{1, . . . , n}, so schreibt man auch G 1 ×. . .×G n statt ∏ λ∈Λ G λ und (g 1 , . . . , g n ) statt
f : {1, . . . , n} → ⋃ . n j=1 G j mit f(j) = g j .
Übung 1.1.1. Man zeige: Es gibt eine Menge M ≠ ∅, und eine assoziative Verknüpfung
◦ : M × M → M so, dass gilt
(i) ∃e ∈ M ∀x ∈ M : ex = x und (M, ◦) ist kein Monoid.
(ii) ∃e ∈ M ∀x ∈ M : ex = x und ∀x ∈ M ∃y ∈ M : xy = e, aber (M, ◦) ist keine Gruppe.
Übung 1.1.2. Es sei (G, ◦) ein endliches Monoid (d.h. G ist eine endliche Menge) und es
gelte
Für a, x, y ∈ G mit ax = ay oder xa = ya folgt stets x = y.
Dann ist (G, ◦) eine Gruppe. Zusätzlich untersuche man, ob auf die Bedingung endlich“ ”
verzichtet werden kann.
Übung 1.1.3. Es sei (G, ·) eine Gruppe und es seien g ∈ G, r, s ∈ Z. Wir definieren g 0 = e,
g 1 = g, g n = g · g n−1 für positives n und g n = (g −n ) −1 für negatives n. Man beweise:
(i) g r g s = g r+s = g s g r .
(ii) (g r ) s = g rs .
(iii) g −r = (g −1 ) r = (g r ) −1 .
Übung 1.1.4. Wieder sei (G, ·) eine Gruppe. Es sei g ∈ G ein Element der Ordnung n
(∈ N), d.h. n = min{k ∈ N | g k = e}. Es gilt g r = g s genau dann, wenn n | (r − s).
Übung 1.1.5. Für eine nicht-leere Menge M sei Bij(M) := {f : M → M | f bijektiv}.
1. Zeige, dass Bij(M) zusammen mit der Verknüpfung von Abbildungen eine Gruppe
bildet.
2. Die Gruppe S n := Bij({1, 2, . . . , n}) heißt symmetrische Gruppe in n Symbolen. Wie
lassen die Elemente von S 3 möglichst effektiv beschreiben Bestimme die Gruppentafel
von S 3 .
Übung 1.1.6. Sei G = {a, b, c, d, e, f} eine Gruppe mit Verknüpfung ⋆ : G × G → G.
Vervollständige die Gruppentafel:
⋆ a b c d e f
a c e f
b c e
c a d
d f b
e d f c
f c a b
Welches ist das neutrale Element und welche Elemente sind invers zueinander Ist G
abelsch
Übung 1.1.7. Es sei G eine endliche abelsche Gruppe. Dann gilt ∏ g∈G g2 = 1.
Übung 1.1.8. Bestimme alle möglichen Gruppentafeln für eine Gruppe mit 4 Elementen.
Übung 1.1.9 (Ordnungen). Sei (G, ·) eine Gruppe. Es sei g ∈ G ein Element der Ordnung
n ∈ N ∪ {∞}, d.h. n := min{k ∈ N | g k = e}, falls das Minimum existiert, und n := ∞
sonst.
1. Zeige im Fall n < ∞: Es gilt g r = g s genau dann, wenn n | (r − s).
2. Sei G = GL(2, R) = {A ∈ Mat(2 × 2, R) | A invertierbar} mit Matrizenmultiplikation
als Verknüpfung. Bestimme die Ordnungen der Elemente a, b und dem Produkt ab für
a :=
( 0 −1
1 0
)
, b :=
( 0 1
−1 −1
)
.

6 1 Gruppen
Übung 1.1.10 (Abelsche Gruppen). Sei G ein Gruppe. Zeige:
1. Ist a 2 = e für alle a ∈ G, so ist G abelsch.
2. Ist (ab) −1 = a −1 b −1 für alle a, b ∈ G, so ist G abelsch.
Übung 1.1.11 (Quaternionen). Sei Q die 8-elementige Menge Q = {±1, ±i, ±j, ±k}.
Bestimme auf Q eine Gruppenstruktur mit neutralem Element +1, so dass zum einen die
gewöhnlichen Multiplikationsregeln für Vorzeichen gelten und zum anderen
i 2 = j 2 = k 2 = i · j · k = −1
gilt. Bestimme hierfür eine Gruppentafel, wobei die Assoziativität der Verknüpfung nicht
getestet werden soll. Ist die Gruppenstruktur eindeutig Ist Q kommutativ
1.2 Gruppenwirkungen
Diedergruppe und Graphenautomorphismen sind Beispiele für das allgemeine
Prinzip, nach dem man geometrische Symmetrien durch Gruppen beschreiben kann.
In seinem sogenannten Erlanger Programm (1872) hat Felix Klein den Standpunkt
sogar umgedreht und die Symmetriegruppe als die geometrische Essenz in
den Mittelpunkt seiner Betrachtung gestellt. Das bedeutet in etwa: Die geometrischen
Eigenschaften beispielsweise eines Dreiecks in der linearen Geometrie sind die
Eigenschaften, die unter allen linearen Bijektionen invariant bleiben.
Der entscheidende Begriff, der die präzise Beschreibung von Symmetrien ermöglicht,
ist die Gruppenwirkung.
Definition 1.2.1. Sei G eine Gruppe mit Einselement e und X eine beliebige nichtleere
Menge. Eine Abbildung
Φ: G × X → X, (g, x) ↦→ g · x
heißt eine Gruppenwirkung oder einfach eine Wirkung (auch der Name Gruppenoperation
wird verwendet) von G auf X, wenn gilt
(i) e · x = x für alle x ∈ X.
(ii) g · (h · x) = (gh) · x für alle g, h ∈ G und x ∈ X.
Manchmal ist es relevant zu betonen, dass (ii) ein Assoziativgesetz ist, solange man
die Gruppenelemente von links an die Elemente von X ”
multipliziert“. Man spricht
dann speziell von einer Linkswirkung.
Beispiel 1.2.2. (i) Bij(M) wirkt auf M via (ϕ, m) ↦→ ϕ(m).
(ii) Insbesondere wirkt S n auf {1, . . . , n} via (σ, k) ↦→ σ(k).
(iii) GL(n, K) wirkt auf K n via (g, v) ↦→ gv.
(iv) Sei Proj n (K) = {Kv | 0 ≠ v ∈ K n+1 } der n-dimensionale projektive Raum
über K. Dann wirkt GL(n + 1, K) auf Proj n (K) via (g, Kv) ↦→ K(gv).
⊓⊔
Einen besonders hohen Grad an Symmetrie weisen diejenigen Mengen X auf, für die
es Gruppenwirkungen gibt, mit denen man jeden Punkt von X in jeden beliebigen
Punkt von X abbilden kann.

1.2 Gruppenwirkungen 7
Definition 1.2.3. Sei G eine Gruppe und Φ: G × X → X eine Gruppenwirkung.
Dann heißt X ein homogener Raum und Φ transitiv, wenn es zu x, y ∈ X ein
g ∈ G mit g · x = y gibt.
Beispiel 1.2.4. Im regelmäßigen Sechseck ist die Menge der Ecken ein homogener
Raum bzgl. der Diedergruppe D 6 (sogar schon bzgl. der Untergruppe der Rotationen
darin). Zerstört man die Symmetrie des Sechsecks durch Veränderung der
Längenverhältnisse, so kann man nicht mehr alle Ecken durch Anwendung von Symmetrien
ineinander überführen.
⊓⊔
Definition 1.2.5. Sei G × X → X eine Gruppenwirkung. Man nennt die Menge
G · x die Bahn von x unter der Gruppenwirkung. Die Menge aller Bahnen wird mit
G\X bezeichnet und heißt der Bahnenraum der Wirkung.
Proposition 1.2.6. Sei G × X → X eine Gruppenwirkung. Dann definiert
x ∼ y :⇔ ∃g ∈ G mit g · x = y
eine Äquivalenzrelation auf X. Die Äquivalenzklasse von x ∈ X ist gegeben durch
G · x = {g · x | g ∈ G}.
Beweis. Übung.
⊓⊔
Es folgt sofort aus der Definition von ∼, dass (g, x) ↦→ g · x auf jeder Bahn eine
transitive Wirkung definiert. Das bedeutet, man kann für jede Gruppenwirkung
G×X → X den Raum X in eine disjunkte Menge von homogenen Räumen zerlegen.
Die Anzahl der Bahnen ist dann eine Maßzahl für den Grad der Symmetrie der
Menge X.
Beispiel 1.2.7. (i) {1, . . . , n} ist bzgl. der Wirkung von S n via (σ, k) ↦→ σ(k) ein
homogener Raum.
(ii) Die n-Sphäre S n = {v ∈ R n+1 : ‖v‖ = 1} bzgl. der euklidischen Norm v ↦→ ‖v‖
ist ein homogener Raum bzgl. der Wirkung (g, v) ↦→ gv von SO(n + 1) auf S n
(Übung; Hinweis: kombiniere mehrere Rotationen).
(ii’) Die Bahnen in R n+1 unter der Wirkung (g, v) ↦→ gv von SO(n + 1) sind der
Nullpunkt sowie n-Sphären S n (r) = {v ∈ R n+1 : ‖v‖ = r} für r > 0.

8 1 Gruppen
(iii) Sei C + := {z ∈ C | Im z > 0} die obere Halbebene. Dann ist C + ein homogener
Raum bzgl. der Wirkung von SL(2, R), die durch gebrochen lineare
Abbildungen, d.h. durch
( )
a b
· z = az + b
c d cz + d
gegeben ist (Übung).
⊓⊔
Die nächsten Beispiele illustrieren den Umstand, dass man nicht nur Symmetrien,
sondern auch (reversible) dynamische Systeme durch Gruppenwirkungen modellieren
kann. Allgemein kann man ein reversibles dynamisches System als eine
Gruppenwirkung von (Z, +) (im diskreten Fall) oder von (R, +) (im kontinuierlichen
Fall) auf einer Menge definieren.
Beispiel 1.2.8. (i) Sei A ∈ GL(n, K). Dann wirkt (Z, +) auf K n via (k, v) ↦→ A k v.
(ii) Sei A ∈ Mat(n × n, C). Dann wirkt (R, +) auf C n via (t, v) ↦→ e tA v.
⊓⊔
Beispiel 1.2.9. Sei f : R n → R n eine Funktion, für die die Differentialgleichung
ẋ(t) = f ( x(t) ) mit dem Anfangswert x(0) = p ∈ R n für jedes p eine eindeutig
bestimmte Lösung x p : R → R n hat. Dann definiert t · p = x p (t) eine Wirkung von
(R, +) auf R n . Um das einzusehen, stellt man zunächst fest, dass
0 · p = x p (0) = p.
Für s ∈ R setzt man y(t) = x p (t + s), dann gilt y(0) = x p (s) = s · p und die
Kettenregel liefert
Also gilt y = x s·p woraus
ẏ(t) = ẋ p (t + s) = f ( x p (t + s) ) = f ( y(t) ) .
t · (s · p) = y(t) = x p (t + s) = (t + s) · p
folgt. Beachte, dass in diesem Beispiel die Bahnen der Wirkung gerade die zeitlichen
Trajektorien des dynamischen Systems sind.
⊓⊔
Von besonderer Bedeutung sind Gruppenwirkungen auf Vektorräumen, für die
die Abbildungen v ↦→ g · v linear sind. Solche Wirkungen heißen auch (lineare)
Darstellungen der Gruppe.
Definition 1.2.10. Sei G eine Gruppe und V ein Vektorraum. Eine Wirkung
Φ: G × V → V heißt eine Darstellung, wenn für jedes g ∈ G die Abbildung
V → V,
v ↦→ g · v
linear ist.
Beispiel 1.2.11. Die Wirkung von GL(n, K) auf K n ist eine Darstellung.
⊓⊔

1.2 Gruppenwirkungen 9
Die folgende Proposition zeigt, wie man in sehr allgemeinen Situationen aus
Gruppenwirkungen Darstellungen machen kann.
Proposition 1.2.12. Sei G eine Gruppe und G × X → X eine Gruppenwirkung.
Weiter sei Y eine beliebige nichtleere Menge sowie F(X, Y ) die Menge der Abbildungen
von X nach Y . Dann definiert
Φ: G × F(X, Y ) → F(X, Y ), (g · f)(x) = f(g −1 · x)
eine Gruppenwirkung. Wenn Y ein Vektorraum ist und F(X, Y ) die durch die
punktweisen Operationen definierte Vektorraumstruktur trägt, dann ist Φ eine Darstellung.
Beweis. Übung.
⊓⊔
Übung 1.2.1 (Affine Gruppe). Für n ∈ N sei G := GL(n, R) × R n . Bestimme eine Gruppenstruktur
auf G, so dass
eine Gruppenwirkung von G auf R n ist.
Φ : G × R n → R n , ((A, v), x) ↦→ Ax + v
Übung 1.2.2 (Äquivalenzklassen). Für n ∈ N sei
Φ n : Z × Z → Z, (k, l) ↦→ k ⋆ l := l + n · k .
Zeige, dass Φ n eine Gruppenwirkung von Z auf sich selbst definiert und bestimme die Bahn
[l] eines Elements l ∈ Z und den Bahnenraum. Zeige, dass
wohldefiniert sind.
[l] + [l ′ ] := [l + l ′ ] und [l] · [l ′ ] := [l · l ′ ]
Übung 1.2.3 (Bahnen). Sei G = O(2, R) und X = {A ∈ Mat(2 × 2, R) | A = A T } die
Menge der symmetrischen (2 × 2)-Matrizen. Definiere
Φ : G × X → X, (g, A) ↦→ gAg −1 .
Zeige, dass Φ eine Gruppenwirkung von G auf X ist. Bestimme den Bahnenraum und
beschreibe die Bahnen mit Hilfe von det A und tr A.
Übung 1.2.4 (Gruppenwirkung und Äquivalenzklassen). Beweise Proposition 1.2.6 aus
der Vorlesung: Ist G × X → X eine Gruppenwirkung, so definiert
x ∼ y : ⇐⇒ ∃g ∈ G mit g · x = y
eine Äquivalenzrelation auf X. Die Äquivalenzklasse von x ∈ X ist gegeben durch
G · x = {g · x | g ∈ G} .
Übung 1.2.5 (Diskrete dynamische Systeme). Für A ∈ GL(n, C) betrachte das diskrete
dynamische System (d.h. folgende Gruppenwirkung von Z auf C n )
Φ : Z × C n → C n , (k, v) ↦→ A k v .
Zeige: Es gibt genau dann endliche Bahnen außerhalb von {0} ⊆ C n , wenn A einen Eigenwert
λ ∈ C hat mit λ k = 1 für ein k ∈ N.

10 1 Gruppen
Übung 1.2.6. Seien G = SL(2, R) und C + := {z ∈ C | Im z > 0} die obere Halbebene.
Zeige, dass durch
( ) a b
· z = az + b
c d cz + d
eine transitive Gruppenwirkung von G auf C + definiert ist. Beachte hierbei, dass zunächst
zu zeigen ist, dass cz + d ≠ 0 und ( a c d b ) · z ∈ C+ gilt für alle z ∈ C + und ( a c d b ) ∈ SL(2, R).
Übung 1.2.7. Sei G eine Gruppe mit Einselement e und X eine nichtleere Menge. Eine
Abbildung
G × X → X, (g, x) ↦→ x · g
heißt eine Rechtswirkung, wenn gilt
(i) x · e = x für alle x ∈ X.
(ii) (x · g) · h = x · (gh) für x ∈ X und g, h ∈ G.
Zeige: G×X → X, (g, x) ↦→ g·x ist genau dann eine Gruppenwirkung, wenn (g, x) ↦→ g −1·x
eine Rechtswirkung ist.
Übung 1.2.8. Sei V der Vektorraum aller komplexwertigen Funktionen auf der oberen
Halbebene C + = {z ∈ C | Im z > 0}. Zeige: Für k ∈ Z wird durch
( )
(f| k g)(z) := | det g| k/2 (cz + d) −k az + b
f
cz + d
( ) a b
für g = ∈ GL(2, R) eine Rechtswirkung von GL(2, R) auf V definiert.
c d
Übung 1.2.9. Seien G = GL(2, C) und X = Mat(2 × 2, C) und Φ die Gruppenwirkung
Φ(g, A) = gAg −1 . Bestimme den Stabilisator von
( ) 1 0
A := .
0 2
Welche Matrizen B ∈ X haben denselben Stabilisator wie A
1.3 Untergruppen
Eine Reihe von Teilmengen der allgemeinen linearen Gruppe sind bzgl. der Matrizenmultiplikation
selbst wieder Gruppen. Der Nachweis der Gruppenaxiome für
diese Mengen vereinfacht sich dadurch, dass ein Teil der Axiome (insbesondere die
Assoziativität) sich auf die Teilmengen vererbt. Die folgende Definition erschließt
diese Möglichkeit, neue Beispiele für Gruppen zu finden, im allgemeinen Fall.
Definition 1.3.1. Sei (G, ◦) eine Gruppe und U ⊆ G. Dann heißt U eine Untergruppe
von G, falls (U, ◦) selbst eine Gruppe bzgl. der Gruppenoperationen von G
ist (man schreibt U ≤ G). Eine Untergruppe U ≤ G heißt nicht-trivial, wenn sie
weder gleich {e} noch gleich G ist.
Die nächste Proposition stellt klar, was genau man prüfen muss, um nachzuweisen,
dass eine vorgegebene Teilmenge einer Gruppe G eine Untergruppe ist. Wir
benutzen dabei folgende Schreibweisen für Teilmengen A, B ⊆ G:
AB := {ab | a ∈ A, b ∈ B},
A −1 := {a −1 | a ∈ A}.

1.3 Untergruppen 11
Proposition 1.3.2 (Untergruppenkriterium). Sei (G, ◦) eine Gruppe mit Einselement
e und U ⊆ G. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(1) U ist eine Untergruppe von G.
(2) Es gelten die drei folgenden Bedingungen
(a) e ∈ U.
(b) UU ⊆ U.
(c) U −1 ⊆ U.
(3) U −1 U ⊆ U ≠ ∅.
Beweis. Idee: Das Einselement in U ist idempotent, also gleich dem Einselement von
G. Damit reduziert sich der Beweis auf eine simple Verifikation.
” (1)⇒(2)“: Wenn U eine Untergruppe ist, dann gilt zunächst UU ⊆ U. Sei e U das
Einselement von U. Dann gilt e U e U = e U = e e U und Proposition 1.1.3 erlaubt
das Kürzen von links, liefert also e U = e und damit e ∈ U. Ist jetzt y ∈ U das
Inverse von x ∈ U in U, so folgt xy = yx = e U = e, also x −1 = y ∈ U.
(2)⇒(3)“: Dies ist klar.
”
” (3)⇒(1)“: Sei u ∈ U, dann folgt aus (3) sofort, dass e = u−1 u ∈ U ist. Dann gilt
U −1 = U −1 e ⊆ U und daher U = (U −1 ) −1 ⊆ U −1 . Es folgt UU ⊆ U −1 U ⊆ U,
d.h. U ist abgeschlossen unter ◦. Wegen e ∈ U ist e auch ein Einselement von U
und U −1 ⊆ U liefert, dass die G-Inversen von Elementen in U auch U-Inverse
sind. Die Assoziativität vererbt sich ohnehin von G auf U, also ist (U, ◦) eine
Gruppe.
⊓⊔
Beispiel 1.3.3. (i) mZ = {mx | x ∈ Z} ist für jedes m ∈ Z eine Untergruppe.
(ii) {1, −1, i, −i} ist eine Untergruppe von (C \ {0}, ·).
(iii) Sei M eine nichtleere Menge und m o ∈ M. Dann ist
{ϕ ∈ Bij(M) | ϕ(m o ) = m o }
eine Untergruppe von (Bij(M), ◦).
(iv) Sei M eine Menge mit unendlich vielen Elementen. Dann ist
{ϕ ∈ Bij(M) | ϕ(m) = m f.f.a. m ∈ M }
eine Untergruppe von (Bij(M), ◦). Hier steht f.f.a.“ für für fast alle und
”
bedeutet alle, bis auf endlich viele.
(v) {σ k ∈ D n | k = 0, . . . , n − 1} ist eine Untergruppe der Diedergruppe D n .
(vi) Die Heisenberggruppe
⎧⎛
⎨
H n := ⎝ 1 ⎞
⎫
x⊤ z
⎬
0 1 y ⎠ ∈ GL(n + 2, R) | x, y ∈ R n , z ∈ R
⎩
⎭
0 0 1
ist eine Untergruppe der GL(n + 2, R).
⊓⊔
Als nächstes folgen Beispiele von Untergruppen, die man zu beliebigen Gruppen
machen kann.
Beispiel 1.3.4. Sei (G, ◦) eine Gruppe.

12 1 Gruppen
(i) Für jede Familie U λ , λ ∈ Λ, von Untergruppen ist auch ⋂ λ∈Λ U λ eine Untergruppe
von G.
(ii) Seien U und V Untergruppen von G sowie U ⊆ V . Dann ist U eine Untergruppe
von V .
(iii) Sei U ≤ G eine Untergruppe und M ⊆ G eine Teilmenge. Dann ist sowohl der
Zentralisator von M in U,
Z U (M) := {x ∈ U | (∀m ∈ M) xm = mx},
als auch der Normalisator von M in U,
N U (M) := {x ∈ U | xM = Mx},
eine Untergruppe von U. Im Spezialfall U = M = G schreibt man Z(G) statt
Z G (G) und spricht vom Zentrum der Gruppe G.
⊓⊔
Definition 1.3.5. Da beliebige Schnitte von Untergruppen selbst wieder Untergruppen
sind, kann man zu jeder Teilmenge M einer Gruppe G eine kleinste Untergruppe
von G finden, die M enthält, indem man setzt
〈M〉 := ⋂
U.
U≤G
M⊆U
Diese Untergruppe heißt die von M erzeugte Untergruppe. Wenn M = {m} nur
ein Element hat, schreibt man 〈m〉 statt 〈{m}〉 und spricht von der von m erzeugten
zyklischen Gruppe.
Übung 1.3.1. Es sei G zyklische Gruppe und U eine Untergruppe von G. Man zeige, dass
auch U zyklisch ist.
Da man im allgemeinen nicht alle Untergruppen einer vorgegebenen Gruppe
kennt, ist die Definition zur Bestimmung von 〈M〉 nicht sonderlich geeignet. Die
nächste Proposition zeigt, wie man 〈M〉 von ”
innen“ erzeugen kann.
Proposition 1.3.6. Sei G eine Gruppe mit Einselement e und M ⊆ G. Dann gilt
〈M〉 = {e} ∪ {x 1 · · · x n | n ∈ N, x j ∈ M ∪ M −1 }.
Beweis. Idee: ⊆“: Nach dem Untergruppenkriterium 1.3.2 ist die rechte Seite eine
”
Untergruppe, die M enthält.
⊇“: Umgekehrt ist die rechte Seite in jeder Untergruppe enthalten, die M enthält, also
”
auch im Schnitt dieser Untergruppen.
⊓⊔
Beispiel 1.3.7. Betrachte die symmetrische Gruppe S 3 auf drei Buchstaben. Sie
ist gegeben durch die Permutationen
( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
id = , (123) = , (132) = ,
1 2 3
2 3 1
3 1 2
( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(12) = , (13) = , (23) = .
2 1 3
3 2 1
1 3 2

1.3 Untergruppen 13
Es gilt
sowie
〈(12)〉 = {id, (12)}, 〈(13)〉 = {id, (13)}, 〈(23)〉 = {id, (23)}
〈(123)〉 = {id, (123), (132)} = 〈(132)〉.
Also erzeugt jedes Paar bestehend aus einer Transposition und einem 3-Zykel die
ganze Gruppe (Übung). Damit sieht man, dass jede nicht-triviale Untergruppe von
S 3 eine der oben angegebenen sein muss.
⊓⊔
Definition 1.3.8. Sei G × X → X eine Gruppenwirkung und x ∈ X. Dann heißt
G x := {g ∈ G | g · x = x}
der Stabilisator oder auch die Isotropiegruppe von x.
Stabilisatoren sind Untergruppen (Übung). Viele der aus geometrischen Überlegungen
eingeführten Gruppen lassen sich als Stabilisatoren interpretieren.
Beispiel 1.3.9. Betrachte die natürliche Wirkung von GL(n, R) auf R n . Sei X die
Menge aller positiv definiten symmetrischen Bilinearformen auf R n . Dann wirkt
GL(n, R) transitiv (Übung; Hinweis: Spektralsatz für die darstellenden Matrizen)
auf X via
g · B(v, w) = B(g −1 v, g −1 w)
∀v, w ∈ R n , B ∈ X, g ∈ GL(n, R).
Wenn B o das euklidische Skalarprodukt ist, dann ist der Stabilisator von B o gerade
O(n, R).
⊓⊔
Definition 1.3.10. Sei G eine Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe. Die Teilmengen
von G der Form
Ug = {ug ∈ G | u ∈ U}
mit g ∈ G heißen Rechtsnebenklassen von U in G. Die Menge der Rechtsnebenklassen
von U in G wird mit U\G bezeichnet. Analog heißen die Mengen gU
Linksnebenklassen von U in G. Die Menge der Linksnebenklassen von U in G
wird mit G/U bezeichnet. Die Mächtigkeit (d.h. die Anzahl der Elemente) von G/U
heißt der Index von U in G und wird mit [G : U] bezeichnet.
Übung 1.3.2. Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G.
(i) Zeige, dass durch
g ∼ h :⇔ gU = hU
eine Äquivalenzrelation auf G definiert wird, deren Äquivalenzklassen gerade die Linksnebenklassen
sind.
(ii) Formuliere und beweise die analoge Aussage für Rechtsnebenklassen.

14 1 Gruppen
Die Abbildung
G/U → U\G,
gU ↦→ Ug −1
ist eine Bijektion. Daher spielt es keine Rolle, ob man in der Definition des Index
Links- oder Rechtsnebenklassen verwendet.
Der (Links)-Nebenklassenraum G/U ist homogen bzgl. der Wirkung
(g, hU) ↦→ ghU
von G auf G/U. Analog ist der (Rechts)-Nebenklassenraum U\G ist homogen bzgl.
der Wirkung
(g, Uh) ↦→ Uhg −1
von G auf U\G.
Nebenklassenräume tauchen als Bahnen von Gruppenwirkungen in natürlicher
Weise auf:
Proposition 1.3.11 (Bahnenabbildung). Sei G×X → X eine Gruppenwirkung
und x ∈ X. Dann ist die Bahnenabbildung
ι: G/G x → G · x, gG x ↦→ g · x
eine äquivariante Bijektion. Hier heißt äquivariant, dass
gilt.
g · ι(hG x ) = ι(g · hG x )
Beweis. Idee: Man schließt alle Eigenschaften sofort aus der Äquivalenz g · x = h · x ⇔
gG x = hG x .
Wenn gG x = hG x , dann gilt g −1 h ∈ G x , also g −1 h·x = x und daher h·x = g ·x.
Dies zeigt, dass die Abbildung wohldefiniert ist. Die Surjektivität folgt sofort aus
der Definition der Bahn. Wenn jetzt g·x = h·x, dann folgt aus obigen Überlegungen
umgekehrt auch gG x = hG x , und somit die Injektivität. Die Äquivarianz folgt sofort
aus den Definitionen.
⊓⊔
Definition 1.3.12. Sei G eine Gruppe sowie X und Y zwei G-Räume, d.h. zwei
Mengen, auf denen G wirkt. Dann heißt eine Abbildung ϕ: X → Y G-äquivariant
(oder einfach äquivariant), wenn
für alle g ∈ G und alle x ∈ X gilt.
ϕ(g · x) = g · ϕ(x)
Bemerkung 1.3.13. Sei X die Potenzmenge von G, dann wirkt G auf X via
g · E = {gx | x ∈ E}
für E ∈ X und offensichtlich ist die G-Bahn G · U von U in X gerade der Raum
G/U der Linksnebenklassen von U. Der Stabilisator von U ∈ X ist dann gerade
U. ⊓⊔

1.3 Untergruppen 15
Bemerkung 1.3.14. Sei G eine endliche Gruppe.
(i) Sei G × X → X eine Gruppenwirkung und X endlich. Da X die disjunkte
Vereinigung aller Bahnen ist, gilt
|X| =
∑
|B|.
B∈G\X
(ii) Sei U ≤ G eine Untergruppe. Dann wirkt U auf G via u · g = gu −1 . Die Bahnen
dieser U-Wirkung sind gerade die U-Linksnebenklassen in G. Jede Nebenklasse
gU hat genauso viele Elemente wie U, d.h. |gU| = |U|. Mit (i) erhalten wir also
[G : U] = |G|
|U| .
Diese Gleichung ist bekannt unter dem Namen Satz von Lagrange .
(iii) Mit (ii) und Proposition 1.3.11 erhält man jetzt für eine Gruppenwirkung G ×
X → X:
|G|
|G x | = |G · x| = [G : G x].
Je nach Quelle heißt die linke oder die rechte Identität die Bahnengleichung.
⊓⊔
Gruppentheoretische Überlegungen der hier präsentierten Art lassen sich oft auf
kombinatorische Probleme mit Symmetrieeigenschaften anwenden. Wir wollen das
am Beispiel des folgenden Problems illustrieren:
Problem: Wieviele Möglichkeiten hat man, die Zahl 1000 als Produkt von drei
natürlichen Zahlen zu schreiben (wobei es auf die Reihenfolge nicht ankommt)
Als Vorbereitung für die Lösung beweisen wir das sogenannte Burnside-Lemma.
Lemma 1.3.15 (Burnside). Sei G eine endliche Gruppe und G × X → X eine
Wirkung von G auf einer endlichen Menge X. Weiter sei g ∈ G und
Fix(g) = {x ∈ X | g · x = x}
die Menge der Fixpunkte von g in X. Dann gilt
|G\X| = 1 ∑
|Fix(g)|,
|G|
d.h. die Anzahl der Bahnen ist gleich der durchschnittlichen Anzahl von Fixpunkten.
Beweis. Idee: Zerlege M := {(g, x) ∈ G × X | g · x = x} auf zwei verschiedene Weisen
in disjunkte Teilmengen.
g∈G
Für M := {(g, x) ∈ G × X | g · x = x} gilt
G x = {g ∈ G | (g, x) ∈ M},
Fix(g) = {x ∈ X | (g, x) ∈ M},
und daher haben wir die disjunkten Zerlegungen
⋃ ( . Gx × {x} ) = M = ⋃ ( )
. {g} × Fix(g) .
x∈X
g∈G

16 1 Gruppen
X
M
x
g
G
Damit können wir |M| auf zwei verschiedene Weisen berechnen: Mit Bemerkung
1.3.14 findet man
|M| = ∑ |G x | = ∑
x∈X x∈X
= ∑ ∑
B∈G\X x∈B
= ∑
B∈G\X
während andererseits auch gilt
|G|
|G · x|
|G|
|G · x| = ∑
|G| = |G\X||G|
|M| = ∑ g∈G
|Fix(g)|.
∑
B∈G\X x∈B
|G|
|B|
Ein Vergleich der beiden Formeln zeigt jetzt die Behauptung.
⊓⊔
Lösung des kombinatorischen Problems: 1000 = 2 3 5 3 . Wenn man ansetzt
mit α i , β i ∈ N 0 , dann muss gelten
1000 = abc = (2 α1 5 β1 )(2 α2 5 β2 )(2 α3 5 β3 )
α 1 + α 2 + α 3 = 3
β 1 + β 2 + β 3 = 3
Die Menge X aller (α 1 , α 2 , α 3 , β 1 , β 2 , β 3 ), die die obigen Gleichungen erfüllen, hat
10 · 10 = 100 Elemente: Für die α’s hat man 3 Möglichkeiten der Verteilung nach
3, 0, 0 sowie 6 Möglichkeiten der Verteilung nach 2, 1, 0. Dazu kommt die Verteilung
1, 1, 1, macht zusammen 10. Analog für die β’s. Die Gruppentheorie kommt jetzt
zum tragen, weil wir eine Vertauschung der Faktoren nicht berücksichtigen wollen,
d.h. eine Symmetrie einbauen: Die Gruppe S 3 wirkt auf X via
σ · (α 1 , α 2 , α 3 , β 1 , β 2 , β 3 ) = (α σ1 , α σ2 , α σ3 , β σ1 , β σ2 , β σ3 ).
Die gesuchte Anzahl ist genau die Anzahl |S 3 \X| der Bahnen! Dazu berechnen wir
die Größe der Fixpunktmengen:
|Fix(id)| = 100 = 10 2
|Fix(12)| = 4 = 2 2 = |Fix(13)| = |Fix(23)|
|Fix(123)| = 1 = 1 2 = |Fix(132)|.
Mit dem Burnside-Lemma finden wir jetzt:
|S 3 \X| = 1 ∑
|Fix(σ)| = 1 · 100 + 3 · 4 + 2 · 1 = 19.
|S 3 |
6
σ∈S 3

1.3 Untergruppen 17
Übung 1.3.3. Bestimme alle Untergruppen der Quaternionengruppe Q aus Übung 1.1.11.
Übung 1.3.4. Zeige, dass die Heisenberggruppe
⎧⎛
⎞
⎫
⎨ 1 x ⊤ z
⎬
H n := ⎝ 0 1 y ⎠ ∈ GL(n + 2, R)
⎩
0 0 1
∣ x, y ∈ Rn , z ∈ R
⎭
ist eine Untergruppe der GL(n + 2, R). Ist H n abelsch Bestimme das Zentrum von H n .
Übung 1.3.5. Seien G = GL(2, C) und X = Mat(2 × 2, C) und Φ die Gruppenwirkung
Φ(g, A) = gAg −1 . Bestimme den Stabilisator von
( ) 1 0
A := .
0 2
Welche Matrizen B ∈ X haben denselben Stabilisator wie A
Übung 1.3.6. Seien H 1, H 2 jeweils Untergruppen einer Gruppe G. Zeige:
H 1 ∪ H 2 ist Untergruppe von G ⇐⇒ H 1 ⊆ H 2 oder H 2 ⊆ H 1 .
Übung 1.3.7 (Zyklische Gruppen). Es sei G zyklische Gruppe und U eine Untergruppe
von G. Man zeige, dass auch U zyklisch ist.
Übung 1.3.8 (Zentralisator). Es sei G = GL(n, R). Man bestimme eine möglichst kleine
Teilmenge M ⊆ G, so dass für den Zentralisator von M in G gilt: Z G (M) = {λ · 1 | λ ∈
R \ {0}}.
Übung 1.3.9 (Äquivalenzrelationen). Sei M eine Menge. Eine Partition von M ist eine
Zerlegung von M in disjunkte Teilmengen M i ⊆ M, d.h. M = ⋃ i∈I M i und M i ∩ M j = ∅
für i ≠ j. Konstruiere eine Bijektion zwischen der Menge aller Partitionen von M und der
Menge aller Äquivalenzrelationen auf M.
Übung 1.3.10 (Lagrange). Sei G eine endliche Gruppe und für g ∈ G sei Ord(g) die
Ordnung von g (siehe Aufgabe 3). Zeige: Ord(g) teilt |G| für alle g ∈ G.
Übung 1.3.11 (Bahnengleichung). Sei G eine endliche Gruppe. Zeige, dass
|G| = ∑ [G : Z G ({g})] ,
wobei die Summe über ein Repräsentantensystem für die Konjugationsklassen in G läuft.
Übung 1.3.12. Wieviele Möglichkeiten hat man, die Zahl 18000 als Produkt von drei
natürlichen Zahlen zu schreiben (wobei es auf die Reihenfolge nicht ankommt)
Übung 1.3.13. Sei p eine Primzahl. Zeige: Ist G eine Gruppe der Ordnung |G| = p n
(n ∈ N), so gilt für das Zentrum Z(G) ≠ {e}.
Hinweis: Verwende Übung 1.3.11.
Übung 1.3.14. Sei G eine (nicht notwendiger Weise endliche) Gruppe und K ≤ H ≤ G
Untergruppen. Zeige:
[G : K] = [G : H] · [H : K] ,
falls eine der beiden Seiten endlich ist.
Hinweis: Man beachte, dass der Satz von Lagrange hier nicht angewendet werden kann, da
dieser nur für endliche Gruppen gilt. Stattdessen wähle man Repräsentantensysteme für
die Linksnebenklassen von H in G bzw. K in H.
Übung 1.3.15 (Lagrange). Sei n := n 1 + · · · + n r mit n i ∈ N. Verwende den Satz von
Lagrange, um zu zeigen, dass n! von ∏ r
i=1 n i! geteilt wird.

18 1 Gruppen
1.4 Homomorphismen, Normalteiler und Quotientengruppen
Definition 1.4.1. Seien G und H Gruppen und ϕ: G → H eine Abbildung. ϕ heißt
Homomorphismus, wenn gilt
ϕ(g 1 g 2 ) = ϕ(g 1 )ϕ(g 2 ) ∀g 1 , g 2 ∈ G.
Die Menge aller Homomorphismen von G nach H wird mit Hom(G, H) bezeichnet.
Wenn ϕ ein bijektiver Homomorphismus ist, dann heißt ϕ Isomorphismus. In
diesem Fall heißen G und H isomorph und man schreibt G ∼ H. Ist zusätzlich
G = H, dann heißt ϕ Automorphismus. Die Menge aller Automorphismen von
G wird mit Aut(G) bezeichnet.
Beispiel 1.4.2. (i) ϕ: Z → Z, x ↦→ nx mit festem n ∈ Z ist ein Homomorphismus,
der genau dann ein Isomorphismus wird, wenn n ∈ {±1}.
(ii) ϕ: R → R 2 , x ↦→ (x, x) ist ein injektiver und ϕ: R 2 → R, (x, y) ↦→ x ein
surjektiver Homomorphismus. Allgemeiner kann man alle linearen Abbildungen
auch als Gruppenhomomorphismen bzgl. der additiven Gruppenstrukturen der
beteiligten Vektorräume interpretieren.
(iii) Die Signumfunktion sign: S n → {−1, 1} ist ein Homomorphismus.
(iv) Die Determinante det: GL(n, K) → K × ist ein Homomorphismus.
(v) Die Projektion ∏ λ∈Λ G λ → G λo , (g λ ) λ∈Λ ↦→ g λo auf einen direkten Faktor ist
ein Homomorphismus.
(vi) Sei G eine Gruppe und g ∈ G fest. Dann ist Z → G, k ↦→ g k ein Homomorphismus
(diskrete Einparametergruppe) .
(vii) Sei A ∈ Mat(n × n, C). Dann ist R → GL(n, C), t ↦→ e tA ein Homomorphismus
(Einparametergruppe).
(viii) Sei T = {z ∈ C: |z| = 1}. Dann ist
( )
ϕ: T → SO(2), e it cos t − sin t
↦→
sin t cos t
ein Isomorphismus.
(ix) Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n und GL(V ) die Menge der invertierbaren
linearen Abbildungen von V in sich. Dann ist GL(V ) eine Gruppe bzgl. der
Verknüpfung von Abbildungen. Weiter sei {v 1 , . . . , v n } eine Basis für V . Dann
ist die Abbildung ϕ: GL(V ) → GL(n, K), die jeder Abbildung ihre darstellende
Matrix bzgl. der gegebenen Basis zuordnet, ein Isomorphismus.
(x) Seien V und {v 1 , . . . , v n } wie in (ix) und setze
Aff(V ) := {v ↦→ gv + w | g ∈ GL(V ), w ∈ V }.
Dann ist Aff(V ) eine Gruppe bzgl. der Verknüpfung von Abbildungen (die affine
Gruppe). Weiter sei
{( )
A b
G := ∈ Mat ( (n + 1) × (n + 1), K ) }
| A ∈ GL(n, K), b ∈ K n .
0 1
Dann ist G eine Untergruppe von GL(n + 1, K) und die Abbildung
( )
A b
ϕ: Aff(V ) → G, (g, w) ↦→
0 1
ein Isomorphismus. Hier ist A die darstellende Matrix von g und b der Koeffizientenvektor
von w bzgl. der Basis.

(xi) Sei 1 ≠ a > 0. Dann ist
1.4 Homomorphismen, Normalteiler und Quotientengruppen 19
ϕ: (R, +) → (R + , ·), x ↦→ a x
ein Isomorphismus.
⊓⊔
Übung 1.4.1. Sei ϕ: G → H ein Isomorphismus, dann ist auch ϕ −1 : H → G ein Isomorphismus.
Definition 1.4.3. Sei G eine Gruppe. Für g ∈ G setze κ g : G → G, x ↦→ gxg −1 .
Diese Abbildung heißt die Konjugation mit g. Die Elemente von G der Form
gxg −1 mit g ∈ G heißen die Konjugierten von x. Die Menge aller Konjugierten
von x heißt die Konjugationsklasse von x. Die κ g mit g ∈ G heißen innere
Automorphismen von G (Übung: κ g ∈ Aut(G)).
Proposition 1.4.4. Seien G, H und K Gruppen.
(i) Sei ϕ ∈ Hom(G, H). Dann gilt ϕ(e G ) = e H und ϕ(g −1 ) = ϕ(g) −1 für alle
g ∈ G.
(ii) Seien ϕ ∈ Hom(G, H) und ψ ∈ Hom(H, K). Dann gilt ψ ◦ ϕ ∈ Hom(G, K).
(iii) Aut(G) ist eine Gruppe bzgl. der Verknüpfung von Abbildungen.
Beweis. Idee:
1.3.2.
Dies folgt sofort aus den Definitionen und dem Untergruppenkriterium
(i) Wir haben
ϕ(g)e H = ϕ(g) = ϕ(ge G ) = ϕ(g)ϕ(e G )
und durch Kürzen von links erhalten wir e H = ϕ(e G ). Also gilt
ϕ(g)ϕ(g −1 ) = ϕ(gg −1 ) = ϕ(e G ) = e H = ϕ(g)ϕ(g) −1
und wieder durch Kürzung ϕ(g −1 ) = ϕ(g) −1 .
(ii) ψ ◦ ϕ(g 1 g 2 ) = ψ ( ϕ(g 1 )ϕ(g 2 ) ) = ( ψ ◦ ϕ(g 1 ) )( ψ ◦ ϕ(g 2 ) ) .
(iii) Dies folgt nach obigem leicht mit dem Untergruppenkriterium 1.3.2, angewandt
auf Aut(G) ⊆ Bij(G), und Übung 1.4.1.
⊓⊔
Definition 1.4.5. Sei ϕ ∈ Hom(G, H). Dann heißen
ker ϕ := {x ∈ G | ϕ(x) = e H } und im ϕ := {ϕ(x) | x ∈ G}
der Kern und das Bild von ϕ.
Proposition 1.4.6. Sei ϕ ∈ Hom(G, H).
(i) ker ϕ ≤ G und im ϕ ≤ H.
(ii) ϕ ist genau dann injektiv, wenn ker ϕ = {e G }.

20 1 Gruppen
(iii) ϕ ist genau dann surjektiv, wenn im ϕ = H.
Beweis. Idee: Dies folgt mit Proposition 1.4.4 sofort aus den Definitionen und dem
Untergruppenkriterium 1.3.2.
(i) Nach Proposition 1.4.4 gilt
ϕ(g −1 g ′ ) = ϕ(g) −1 ϕ(g ′ ) = e H e H = e H
für g, g ′ ∈ ker ϕ, d.h., die erste Behauptung folgt mit dem Untergruppenkriterium
1.3.2. Die zweite Behauptung folgt in ähnlicher Weise.
(ii) Wenn ϕ injektiv ist und g ∈ ker ϕ, dann gilt ϕ(g) = e H = ϕ(e G ), also g = e G .
Umgekehrt, wenn ker ϕ = {e G } und ϕ(g) = ϕ(g ′ ), dann gilt nach Proposition
1.4.4
ϕ(g −1 g ′ ) = ϕ(g) −1 ϕ(g ′ ) = e H ,
also g −1 g ′ = e G , d.h. g ′ = g.
(iii) Dies ist trivial.
⊓⊔
Bemerkung 1.4.7. Seien G und H Gruppen und ϕ ∈ Hom(G, H) sowie U ≤ G
und V ≤ H. Dann gilt (Übung)
(i) ϕ(U) ≤ H.
(ii) ϕ −1 (V ) ≤ G.
⊓⊔
Proposition 1.4.8. Sei ϕ: G → H ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
(i) Die Abbildung
{U ≤ G | ker ϕ ⊆ U} → {V ≤ H}, U ↦→ ϕ(U)
ist eine Bijektion, deren Inverse durch V ↦→ ϕ −1 (V ) gegeben ist.
(ii) Für alle U ≤ G mit ker ϕ ⊆ U gilt [G : U] = [H : ϕ(U)].
Beweis. Idee: Teil (i) ist eine direkte Verifikation aus den Definitionen. Für (ii) betrachtet
man ein Repräsentantensystem R = {g i | i ∈ I} für G/U (d.h. R enthält von jeder
Linksnebenklasse genau ein Element).
(i) Zu zeigen ist: ϕ −1( ϕ(U) ) = U und ϕ ( ϕ −1 (V ) ) = V . Dazu sei zunächst V ≤ H
und v ∈ V . Wegen der Surjektivität von ϕ gibt es ein g ∈ G mit ϕ(g) = v. Dann
gilt g ∈ ϕ −1 (V ) und v = ϕ(g) ∈ ϕ ( ϕ −1 (V ) ) . Damit haben wir V ⊆ ϕ ( ϕ −1 (V ) ) .
Umgekehrt:
g ∈ ϕ −1 (V ) =⇒ ϕ(g) ∈ V =⇒ ϕ ( ϕ −1 (V ) ) ⊆ V.
Jetzt sei ker ϕ ⊆ U ≤ G. Wenn ϕ(u) = ϕ(g) für u ∈ U, d.h. g ∈ ϕ −1( ϕ(U) ) ,
dann gilt gu −1 ∈ ker ϕ ⊆ U, also g ∈ U und daher ϕ −1( ϕ(U) ) ⊆ U. Umgekehrt
folgt aus u ∈ U sofort u ∈ ϕ −1( ϕ(u) ) ⊆ ϕ −1( ϕ(U) ) .

1.4 Homomorphismen, Normalteiler und Quotientengruppen 21
G
Kern
U
Φ
H
V
{e }
H
{e }
G
(ii) Sei ker ϕ ⊆ U ≤ G und R = {g i | i ∈ I} Repräsentantensystem für
G/U. Weil ϕ| R injektiv ist, genügt es zu zeigen: {ϕ(g i ) | i ∈ I} ist ein Repräsentantensystem
für H/ϕ(U). Dazu:
( ⋃ )
H = ϕ(G) = ϕ g i U = ⋃ ϕ(g i )ϕ(U).
i∈I
i∈I
Aber wenn ϕ(g i )ϕ(U) = ϕ(g j )ϕ(U), dann gilt ϕ(g i U) = ϕ(g j U) und man findet
u i , u j ∈ U mit ϕ(g i u i ) = ϕ(g j u j ). Es folgt u −1
i g −1
i g j u j ∈ ker ϕ ⊆ U, also
g −1
i g j ∈ U, daher g i U = g j U, und schließlich g i = g j . Also ist obige Zerlegung
von H disjunkt und dies zeigt die Behauptung.
⊓⊔
Definition 1.4.9. Sei G eine Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe. Wenn ϕ(U) =
U für alle ϕ ∈ Aut(G) gilt, dann heißt U charakteristische Untergruppe. Dagegen
heißt U normale Untergruppe oder Normalteiler, wenn gUg −1 = U für
alle g ∈ G, d.h., wenn ϕ(U) = U für alle inneren Automorphismen von G. Man
schreibt dann U ✂ G.
Da mit ϕ auch ϕ −1 ein (innerer) Automorphismus ist, würde es in der Definition
einer charakteristischen Untergruppe (bzw. eines Normalteilers) schon genügen,
ϕ(U) ⊆ U zu fordern.
Beispiel 1.4.10. (i) Sei ϕ: G → H ein Homomorphismus. Dann ist ker (ϕ) ein
Normalteiler in G, weil ϕ(gug −1 ) = ϕ(g)ϕ(u)ϕ(g) −1 . So tritt z.B. die alternierende
Gruppe A n in der symmetrischen Gruppe S n als Kern der Signumsfunktion
auf und die spezielle lineare Gruppe SL(n, K) in der allgemeinen
linearen Gruppe als Kern der Determinante.
(ii) Die trivialen Untergruppen {e} und G von G sind charakteristisch in G.
(iii) Der Schnitt von normalen (charakteristischen) Untergruppen ist normal (charakteristisch).
(iv) Das Zentrum Z(G) einer Gruppe ist charakteristisch: Wenn ϕ ∈ Aut(G) und
g = ϕ(h), dann gilt
ϕ(z)g = ϕ(z)ϕ(h) = ϕ(zh) = ϕ(hz) = ϕ(h)ϕ(z) = gϕ(z).
(v) Sei G eine Gruppe und G ′ die von allen Elementen der Form xyx −1 y −1 mit
x, y ∈ G erzeugte Untergruppe von G (sie heißt die Kommutatorgruppe von
G). Dann ist G ′ charakteristisch in G.
(vi) Sei G eine abelsche Gruppe. Dann ist jede Untergruppe von G ein Normalteiler.

22 1 Gruppen
(vii) Sei ϕ: G → H ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Wenn U ≤ G mit
ker ϕ ⊆ U, dann ist U normal in G genau dann, wenn ϕ(U) normal in H ist
(Übung).
(viii) Sei G eine Gruppe und Inn(G) die Menge der inneren Automorphismen von G.
Dann ist Inn(G) ein Normalteiler in Aut(G) (Übung).
⊓⊔
Definition 1.4.11. Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie keine nicht-trivialen Normalteiler
hat.
Übung 1.4.2. Zeige: Für n ≥ 5 ist A n einfach. Ein möglicher Weg, diese Aufgabe zu lösen,
ist folgender:
(i) A n wird von den Zyklen der Länge 3 erzeugt. (Dies gilt schon für n ≥ 3.)
(ii) Sei {id} ̸= N ⊳ A n und N enthalte einen Dreierzykel. Dann enthält N alle Dreierzykel.
Alternativ kann man auch zeigen, dass Dreierzykel paarweise konjugiert sind.
Hinweis: Für einen gegebenen 3-Zykel (k 1 , k 2 , k 3 ) konstruiere man ein σ ∈ A n , so dass
σ ◦ (1, 2, 3) ◦ σ −1 = (k 1, k 2, k 3).
(iii) Jeder Normalteiler N ≠ {id} von A n enthält einen Dreierzykel.
Anleitung: Betrachte die Zykelzerlegung σ = σ 1 ◦ · · · ◦ σ k eines Elements σ ∈ N \ {id}
und unterscheide die Fälle a) einer der Zyklen σ i hat Länge ≥ 4, b) alle Zyklen haben
Länge ≤ 3. Unterscheide in b) die Fälle b1) einer der Zykel hat Länge 3, b2) alle
Zyklen haben Länge ≤ 2. In jedem dieser Fälle konstruiere man einen Dreierzyklus τ
und betrachte στσ −1 τ −1 .
Übung 1.4.3. Seien τ, ζ ∈ S 5 eine Transposition und ein 5-Zykel. Zeige, dass S n von τ
und ζ erzeugt wird.
Proposition 1.4.12. Sei G eine Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe vom Index
2. Dann ist U normal in G.
Beweis. Idee:
in G.
In diesem Fall gibt es nur zwei Nebenklassen, U und sein Komplement
Es gibt zwei Linksnebenklassen von U: Die Untergruppe U selbst und ein g o U =
G \ U. Ebenso gibt es nur zwei Rechtsnebenklassen: U und G \ U. Also gilt g o U =
Ug o . Sei jetzt g ∈ G. Wenn g ∈ U, dann gilt gUg −1 = gU = U. Wenn g ∈ g o U,
dann gilt
also folgt die Behauptung.
gUg −1 = g o Ug −1
o
= Ug o g −1
o = U,
⊓⊔
Satz 1.4.13. Sei G eine Gruppe mit Einselement e und U ein Normalteiler von G.
(i) (xU)(yU) = xyU für alle x, y ∈ G.
(ii) G/U ist eine Gruppe bzgl. der Multiplikation xU ◦ yU = xyU. Das Einselement
ist dabei durch e G/U = eU gegeben.
(iii) Die Abbildung π : G → G/U, x ↦→ xU ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus
mit Kern U.
Beweis. Idee: Dies folgt direkt aus den Definitionen.

1.4 Homomorphismen, Normalteiler und Quotientengruppen 23
(i) xUyU = xyy −1 UyU = xyUU = xyU.
(ii) Die Wohldefiniertheit von ◦ folgt aus (i). Der Rest ist eine Routineverifikation
(Übung).
(iii) π(x) = e G/U genau dann, wenn xU = eU und dies ist äquivalent zu x ∈ U.
Alles Weitere rechnet man leicht nach.
Die in Satz 1.4.13 konstruierte Gruppe G/U heißt die Quotientengruppe von
G bzgl. des Normalteilers U.
⊓⊔
Satz 1.4.14 (1. Isomorphiesatz). Sei G eine Gruppe.
(i) Wenn ϕ: G → H ein Homomorphismus ist, dann ist ϕ(G) isomorph zu
G/ ker (ϕ).
(ii) Jedes homomorphe Bild von G ist isomorph zu G/N für einen Normalteiler N
von G.
Beweis. Idee: Betrachte g ker (ϕ) ↦→ ϕ(g).
Setze N = ker (ϕ). Dann ist
der gesuchte Isomorphismus:
Φ: G/N → ϕ(G), gN ↦→ ϕ(g)
Wohldefiniertheit: gN = g ′ N liefert g ′ = gn für ein n ∈ N, also
ϕ(g ′ ) = ϕ(gn) = ϕ(g)ϕ(n) = ϕ(g).
Surjektivität: Die Surjektivität von Φ ist klar.
Homomorphie:
Φ(gNg ′ N) = Φ(gg ′ N) = ϕ(gg ′ ) = ϕ(g)ϕ(g ′ ) = Φ(gN)Φ(g ′ N).
Injektivität: ϕ(g) = Φ(gN) = e H genau dann, wenn g ∈ ker ϕ = N.
⊓⊔
Beispiel 1.4.15. (i) det: GL(n, K) → K × liefert GL(n, K)/ SL(n, K) ∼ = K × .
(ii) κ: G → Aut(G), g ↦→ κ g liefert G/Z(G) ∼ = Inn(G).
⊓⊔
Sei G eine Gruppe, U ≤ G und N ein Nor-
Satz 1.4.16 (2. Isomorphiesatz).
malteiler in G.
(i) U ∩ N ist normal in U.
(ii) UN ist eine Untergruppe von G.
(iii) U/(U ∩ N) ∼ = UN/N.
Beweis. Idee: Bestimme Kern und Bild von U → G/N, u ↦→ uN.
(i) Klar.

24 1 Gruppen
(ii) gN = Ng für alle g ∈ G impliziert insbesondere NU = UN. Also gilt
(UN)(UN) ⊆ UN und (UN) −1 = N −1 U −1 = NU = UN. Also folgt die
Behauptung aus dem Untergruppenkriterium 1.3.2.
(iii) ϕ: U → UN/N, u ↦→ uN ist ein surjektiver Homomorphismus. Da aber u ∈
ker ϕ genau dann, wenn uN = eN, d.h. wenn u ∈ U ∩ N, folgt mit dem
1. Isomorphiesatz 1.4.14 die Behauptung.
⊓⊔
Seien G eine Gruppe und A ⊆ B zwei Nor-
Satz 1.4.17 (3. Isomorphiesatz).
malteiler in G.
(i) B/A ist normal in G/A.
(ii) (G/A)/(B/A) ∼ = G/B.
Beweis. Idee: Bestimme den Kern von G/A → G/B, gA ↦→ gB.
Betrachte
ϕ: G/A → G/B, gA ↦→ gB.
Dies ist eine wohldefinierte Abbildung, weil aus gA = g ′ A folgt g −1 g ′ A ⊆ B, also
gB = g ′ B. Man sieht leicht, dass ϕ ein surjektiver Homomorphismus ist. Um den
Kern von ϕ zu bestimmen, beachte man, dass ϕ(gA) = e G/B = e G B genau dann,
wenn gB = e G B, d.h., wenn g ∈ B. Also gilt
ker ϕ = {gA | g ∈ B} = B/A.
Also ist B/A normal in G/A und die Behauptung folgt mit dem 1. Isomorphiesatz
1.4.14. ⊓⊔
Satz 1.4.18. Sei G eine zyklische Gruppe (d.h. erzeugt von einem einzigen Element).
(i) Wenn |G| = ∞, dann ist G isomorph zu Z.
(ii) Wenn |G| = n, dann ist G isomorph zu Z/nZ.
Beweis. Idee: Sei 〈a〉 = G. Bestimme den Kern der Abbildung ϕ: Z → G, k ↦→ a k .
(i) Man sieht sofort, dass ϕ ein surjektiver Homomorphismus ist. Bleibt die Injektivität
nachzuweisen: Wenn a k = a m , dann folgt a m−k = e. Falls k ≠ m gilt,
gibt es dann höchstens |m − k| verschiedene Elemente der Form a l mit l ∈ Z
und dies steht im Widerspruch zur Voraussetzung.
(ii) Wenn |G| = n, dann gilt ker ϕ = nZ. Um das einzusehen, setze m := min{k ∈
N | a k = e}. Dann ist mZ ⊆ ker ϕ. Umgekehrt, wenn a s = e und m ist kein
Teiler von s, dann gibt es ein j = s − km ∈ {1, . . . , m − 1} mit a j = e, was
im Widerspruch zur Definition von m steht. Also haben wir ker ϕ = mZ. Nach
dem 1. Isomorphiesatz 1.4.14 gilt dann aber G ∼ = Z/mZ und wegen |Z/mZ| = m
auch m = n. Dies beweist die Behauptung und G = {a, a 2 , . . . , a n−1 , a n = e}.
⊓⊔

1.4 Homomorphismen, Normalteiler und Quotientengruppen 25
Definition 1.4.19. Sei G eine Gruppe und a ∈ G. Dann heißt die Anzahl der
Elemente in der von a erzeugten Untergruppe 〈a〉 von G die Ordnung von a. Sie
wird mit Ord(a) bezeichnet und ist entweder ∞ oder gleich der kleinsten positiven
Zahl k, für die a k = e G gilt.
Bemerkung 1.4.20. Nach dem Satz von Lagrange (vgl. Bemerkung 1.3.14) teilt
für endliche Gruppen die Ordnung jedes Elements die Gruppenordnung, d.h. die
Anzahl der Elemente in G.
⊓⊔
Übung 1.4.4. Sei n ∈ Z und m ein Teiler von n.
(i) Zeige, dass
k + nZ ↦→ k + mZ
einen surjektiven Homomorphismus ϕ n,m : Z/nZ → Z/mZ definiert.
(ii) Sei (Z/nZ) × := {k + nZ ∈ Z/nZ | ggT(k, n) = 1}. Zeige, dass (Z/nZ) × bzgl.
(i + nZ) (j + nZ) := ij + nZ
eine abelsche Gruppe ist.
(iii) Zeige, dass ϕ n,m einen surjektiven Gruppen-Homomorphismus
induziert.
Übung 1.4.5. (i) Zeige, dass
SL(2, Z) :=
(Z/nZ) × → (Z/mZ) ×
{( )
}
a b
: a, b, c, d ∈ Z; ad − bc = 1
c d
bzgl. der Matrizenmultiplikation eine Gruppe ist.
(ii) Betrachte neben der Addition auch die Multiplikation (i + nZ) (j + nZ) := ij + nZ auf
Z/nZ und übertrage die normale Matrizenmultiplikation auf Matrizen mit Einträgen
in Z/nZ. Zeige, dass
{( )
}
a b
SL(2, Z/nZ) := : a, b, c, d ∈ Z/nZ; ad − bc = 1 + nZ
c d
bzgl. dieser Matrizenmultiplikation eine Gruppe ist.
(iii) Zeige, dass durch
( ) ( )
a b a + nZ b + nZ
↦→
c d c + nZ d + nZ
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus
definiert wird.
SL(2, Z) → SL(2, Z/nZ)
Proposition 1.4.21. Sei G eine Gruppe, G ′ die Kommutatorgruppe von G, und
U ≤ G. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(1) G ′ ⊆ U.
(2) U ist normal in G und G/U ist abelsch.

26 1 Gruppen
Beweis. Idee: Dies folgt direkt aus den Definitionen.
Wenn G ′ ⊆ U, dann sind für u ∈ U und x ∈ G die Elemente xux −1 u −1 ∈ G ′ ⊆
U. Also gilt xux −1 ∈ U und U ist normal in G. Weiter haben wir
(xU)(yU)(xU) −1 (yU) −1 = (xyx −1 y −1 )U ⊆ U,
was (xU)(yU) = (yU)(xU) ∈ G/U für alle x, y ∈ G zur Folge hat. Damit ist G/U
abelsch.
Umgekehrt impliziert (xU)(yU) = (yU)(xU) ∈ G/U für alle x, y ∈ G
(xyx −1 y −1 )U = (xU)(yU)(xU) −1 (yU) −1 = U,
also xyx −1 y −1 ∈ U. Dies zeigt dann G ′ ⊆ U.
⊓⊔
Übung 1.4.6 (Dedekind). Sei G eine Gruppe und A, B, C Untergruppen mit A ≤ C.
Dann ist A(B ∩ C) = AB ∩ C. Kommutiert zudem A mit B, dann ist A(B ∩ C) ≤ G.
Übung 1.4.7. Sei G eine Gruppe und A, B, C, D Untergruppen von G mit A ✂ B und
C ✂ D. Dann gilt
(i) A ∩ D ✂ B ∩ D
(ii) C(A ∩ D) und C(B ∩ D) sind Untergruppen von D und C(A ∩ D) ✂ C(B ∩ D).
Übung 1.4.8 (Zassenhaus). Sei G eine Gruppe und A 1 , A 2 , B 1 , B 2 Untergruppen, wobei
A 1 ✂ A 2 und B 1 ✂ B 2. Für alle i, j = 1, 2 setzen wir D ij := A i ∩ B j. Dann ist
(i) A 1D 21 ✂ A 1D 22
(ii) B 1 D 12 ✂ B 1 D 22
(iii) A 1D 22/A 1D 21
∼ = B1D 22/B 1D 12.
Übung 1.4.9. Gibt es einen Gruppenisomorphismus ϕ : (Q, +) → (Q \ {0}, ·) (Hinweis:
Wenn ϕ(a) = 2, was ist ϕ(a/2))
Übung 1.4.10. Es sei G eine Gruppe, X eine Menge, X ≠ ∅, und S(X) bezeichne die
Menge aller Bijektionen von X. Ferner sei τ : G × X → X eine Wirkung von G auf X.
Man zeige: Die Abbildung
{ X → X
τ a :
x ↦→ τ(a, x)
ist eine Bijektion für jedes a ∈ G, also τ a ∈ S(X), und die Abbildung
{ G → S(X)
h :
a ↦→
ist ein Gruppenhomomorphismus.
Übung 1.4.11. Es sei G eine Gruppe, X eine Menge, X ≠ ∅, und S(X) bezeichne die
Menge aller Bijektionen von X. Weiter sei h : G → S(X) ein beliebiger Gruppenhomomorphismus.
Man zeige: Durch
{ G × X → X
τ :
(a, x) ↦→ h(a)(x)
wird eine Wirkung von G auf X definiert.
Übung 1.4.12. Seien G und H Gruppen und ϕ ∈ Hom(G, H) sowie U ≤ G und V ≤ H
Untergruppen. Zeige:
ϕ(U) ≤ H, ϕ −1 (V ) ≤ G .
τ a

1.4 Homomorphismen, Normalteiler und Quotientengruppen 27
Übung 1.4.13. Gibt es einen Gruppenisomorphismus ϕ : (Q, +) → (Q \ {0}, ·)
Übung 1.4.14. Sei G eine Gruppe, und sei U eine Untergruppe von G. Zeige:
⋂
gUg −1
ist ein Normalteiler von G.
g∈G
Übung 1.4.15. Seien G eine Gruppe und n ∈ N. Zeige: Besitzt G genau eine Untergruppe
mit [G : H] = n, so gilt H ✂ G.
Übung 1.4.16. Seien G, H Gruppen und ϕ : G → H ein Isomorphismus. Zeige: ϕ −1 :
H → G ist auch ein Isomorphismus.
Übung 1.4.17. Seien G 1 und G 2 zyklische Gruppen der Ordnung m und n mit ggT(m, n) =
1. Zeige: (G 1 × G 2 , ◦) ist eine zyklische Gruppe der Ordnung m · n, wobei (x, y) ◦ (x ′ , y ′ ) =
(xx ′ , yy ′ ).
Übung 1.4.18. Sei Q die Quaternionengruppe aus Aufgabe 5 und G = SL(2, C). Bestimme
einen injektiven Gruppenhomomorphismus ϕ : Q → G.
Hinweis: Untersuche zunächst, welche Matrizen A ∈ G die Bedingung A 2 = −1 erfüllen.
Übung 1.4.19. Sei G eine Gruppe, und sei X die Menge ihrer Untergruppen. Zeige:
1. G operiert auf X durch Konjugation Φ : G × X → X, (g, H) ↦→ gHg −1 ,
2. eine Bahn dieser Operation besteht genau dann aus einem einzigen Element H, wenn
H ein Normalteiler von G ist,
3. gilt |G| = p n für eine Primzahl p, und ist r die Anzahl der Normalteiler von G, so gilt
p ∣ ∣ |X| − r .
Übung 1.4.20. Sei H ein Normalteiler in G mit Index n. Zeige, dass g n ∈ H für alle g ∈ G.
Zeige anhand eines Beispiels, dass Untergruppen N ≤ G, die keine Normalteiler sind, diese
Eigenschaft im Allgemeinen nicht haben.
Übung 1.4.21. Für welche m, n ∈ N ist
ϕ : Z/mZ → Z/nZ, k + mZ ↦→ k + nZ
eine wohldefinierte Abbildung Zeige, dass in diesem Fall ϕ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus
ist.
Übung 1.4.22. Es sei G eine Gruppe.
1. Seien U und V Untergruppen von G, so dass U ∩ V = {e} und U · V = G gilt. Zeige
die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) Die Abbildung ϕ : U × V → G, (u, v) ↦→ u · v ist ein Isomorphismus.
(ii) Die Untergruppen U und V sind Normalteiler.
2. Sei U eine Untergruppe von G. Zeige, dass der Normalisator N G (U) von U in G die
größte Untergruppe von G ist, in der U Normalteiler ist.
Übung 1.4.23 (Innere Automorphismen). Sei G eine Gruppe mit Zentrum Z(G) = {a ∈
G | ∀g ∈ G ag = ga}, und
Inn(G) = {ϕ ∈ Aut(G) | ∃h ∈ G ∀g ∈ G : ϕ(g) = hgh −1 }
die Gruppe der inneren Automorphismen von G. Man zeige:
1. Ist G/Z(G) zyklisch, so ist G abelsch.
2. Es gilt Inn(G) ∼ = G/Z(G).

28 1 Gruppen
Übung 1.4.24 (Einheitengruppe). Für n ∈ N sei (Z/nZ) × := {k + nZ ∈ Z/nZ |
ggT(k, n) = 1}.
1. Zeige, dass (Z/nZ) × bzgl.
eine abelsche Gruppe ist.
2. Sei m ein Teiler von n. Zeige, dass
(k + nZ) (l + nZ) := kl + nZ
ϕ : (Z/nZ) × → (Z/mZ) × , k + nZ ↦→ k + mZ
einen Gruppenhomomorphismus definiert.
3. Zusatzaufgabe (Punkte sind Bonuspunkte): Zeige, dass ϕ aus b) surjektiv ist.
Übung 1.4.25 (Faktorisierung). Seien G, H, K Gruppen und ϕ : G → H, ψ : G → K
Homomorphismen, wobei ψ surjektiv ist. Es gelte ker ψ ⊆ ker ϕ. Man zeige:
1. Es gibt einen eindeutig bestimmten Homorphismus η : K → H mit ϕ = η ◦ ψ, d.h.
G
ϕ
H
ψ
K
η
kommutiert.
Hinweis: Definiere η(k) := ϕ(g) für ein g ∈ ψ −1 (k) und zeige, dass diese Definition
unabhängig ist von der Wahl von g.
2. Ist ϕ surjektiv, so ist auch η surjektiv. Gilt ker ϕ = ker ψ, so ist η injektiv.

2
Ringe
In diesem Kapitel werden elementare Strukturaussagen für Ringe bewiesen. Ringe
verallgemeinern in natürlicher Weise sowohl das Konzept der ganzen Zahlen mit
Addition und Multiplikation als auch das der quadratischen Matrizen mit komponentenweiser
Addition und Matrizenmultiplikation oder das der Polynomfunktionen
mit punktweiser Addition und Multiplikation. Kanonisch ergeben sich aus der Definition
eines Rings die Begriffe Unterring und Quotientenring, wobei die Suche nach
einem geeigneten Quotientenbegriff auf das Konzept des Ideals führt. Ebenso kanonisch
ist der Begriff des Ringhomomorphismus, der den Vergleich verschiedener
Ringe möglich macht. Weitere Begriffsbildungen wie die Nullteilerfreiheit, Gradfunktion,
Primelemente oder der Polynomring werden aus den speziellen Beispielen
durch Abstraktion gewonnen. Ein wesentliches Resultat dieses Kapitels ist, dass sich
die Zerlegbarkeit der Elemente in Primelemente von einem Ring auf den zugehörigen
Polynomring vererbt. Es geht auf Gauß zurück.
2.1 Ringe und Ideale
Definition 2.1.1. Sei R ≠ ∅ eine Menge sowie +: R × R → R (Addition) und
·: R × R → R (Multiplikation) zwei Abbildungen. (R, +, ·) heißt Ring, wenn die
folgenden Eigenschaften gelten.
(i) (R, +) ist eine abelsche Gruppe.
(ii) (R, ·) ist ein Monoid.
(iii) (x + y) · z = x · z + y · z ( ”
Punkt vor Strich“) für alle x, y, z ∈ R
(Rechts-Distributivgesetz).
(iii’) z · (x + y) = z · x + z · y ( ”
Punkt vor Strich“) für alle x, y, z ∈ R
(Links-Distributivgesetz).
Ein Ring (R, +, ·) heißt kommutativ, wenn xy = yx für alle x, y ∈ R gilt (multiplikatives
Kommutativgesetz).
Das Distributivgesetz ist eine Verträglichkeitsbedingung für beide Verknüpfungen.
Die Assoziativgesetze erlauben das Weglassen von Klammern bei mehrfachen Verknüpfungen.
In der Regel wird der Punkt in der Multiplikation weggelassen.
Beispiel 2.1.2. (i) Jeder Körper ist ein kommutativer Ring.
(ii) (Z, +, ·) ist ein kommutativer Ring.

30 2 Ringe
(iii) Die n×n-Matrizen Mat(n×n, R) über einem Ring formen bzgl. der üblichen Matrizenaddition
und Multiplikation einen Ring mit der Einheitsmatrix als Einselement.
(iv) Sei V ein K-Vektorraum. Dann ist die Menge End K (V ) = Hom K (V, V ) der
linearen Selbstabbildungen von V ein Ring bzgl. der punktweisen Addition und
der Hintereinanderschaltung als Multiplikation.
(v) Sei M eine Menge und R ein Ring. Dann ist die Menge {f : M → R} der
R-wertigen Abbildungen mit der punktweisen Addition und der punktweisen
Multiplikation ein Ring mit der konstanten Funktion 1 als Einselement.
(vi) Diverse Funktionenräume sind bzgl. der punktweisen Operationen kommutative
Ringe: Dies ist z.B. der Fall für C k (]a, b[), der Raum der k-mal stetig differenzierbaren
Funktionen auf dem Intervall ]a, b[.
(vii) Z[i] := Z + iZ := {c ∈ C | c = a + ib; a, b ∈ Z} ist ein Ring bzgl. der komplexen
Addition und der komplexen Multiplikation. Er heißt der Ring der Gaußschen
Zahlen.
⊓⊔
Proposition 2.1.3. Sei (R, +, ·) ein Ring. Dann gilt
(i) Es gibt nur ein Einselement.
(ii) Es gibt nur ein Nullelement.
(iii) Zu jedem x ∈ R gibt es nur ein additives Inverses. Dieses wird mit −x bezeichnet.
Insbesondere gilt −(−x) = x.
(iv) 0 · x = x · 0 = 0 für alle x ∈ R.
(v) x(−y) = −xy, (−x)y = −xy für alle x, y ∈ R.
Beweis. Idee: Dies sind direkte Folgerungen aus den Definitionen.
(i) Seien 1 und 1 ′ Einselemente. Dann gilt 1 = 1 · 1 ′ = 1 ′ .
(ii) Seien 0 und 0 ′ Nullelemente. Dann gilt 0 = 0 + 0 ′ = 0 ′ .
(iii) Seien x ′ und x ′′ additive Inverse von x. Dann gilt
x ′ = 0 + x ′ = (x ′′ + x) + x ′ = x ′′ + (x + x ′ ) = x ′′ + 0 = x ′′ .
(iv) 0 · x + 0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x. Aber wenn y + y = y, dann folgt
y = 0 + y = (−y + y) + y = −y + y = 0.
(v) x(−y) + xy = x(−y + y) = x · 0 = 0.
⊓⊔
Definition 2.1.4. Sei (R, +, ·) ein Ring. Eine Teilmenge S von R heißt ein Unterring
von R, wenn (S, +, ·) selbst ein Ring ist und 1 ∈ S gilt. Die Menge
Cent(R) = {r ∈ R | (∀s ∈ R) sr = rs}
heißt das Zentrum. Ein Element r ∈ R heißt eine Einheit, wenn es ein s ∈ R
mit rs = 1 = sr gibt. Die Menge der Einheiten von R wird mit Unit(R) oder auch
R × bezeichnet. Sei 1 ≠ 0, d.h. R ≠ {0}. Dann heißt R ein Divisionsring oder
Schiefkörper, wenn Unit(R) = R \ {0}.

2.1 Ringe und Ideale 31
Beispiel 2.1.5. (i) Z hat keine echten Unterringe. Die Einheiten von Z sind 1 und
−1.
(ii) C k+1 (]a, b[) ist ein Unterring von C k (]a, b[). Die Einheiten von C k (]a, b[) sind
gerade die k-fach stetig differenzierbaren Funktionen, die nirgendwo verschwinden.
(iii) Sei R = Mat(n × n, K). Dann gilt Cent(R) = K1. Außerdem bilden z.B. die
Diagonalmatrizen oder die oberen Dreiecksmatrizen Unterringe von R. Die Einheiten
von R sind gerade die invertierbaren Matrizen.
(iv) Ein kommutativer Ring mit 1 ≠ 0 ist ein Divisionsring genau dann, wenn er ein
Körper ist.
Beispiel 2.1.6. Sei H = R 4 mit einer vorgegebenen Basis, die mit {1, i, j, k} bezeichnet
wird. Wir setzen
· 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k −j
j j −k −1 i
k k j −i −1
Setzt man jetzt die Multiplikation {1, i, j, k} × {1, i, j, k} → H reell bilinear
fort, so erhält man eine Multiplikation bzgl. der (H, +, ·) zu einem Divisionsring,
den Quaternionen, wird. Dabei ist das multiplikative Inverse eines Elements z =
r + is + ju + kv ≠ 0 durch
z −1 =
r − is − ju − kv
r 2 + s 2 + u 2 + v 2
gegeben. Die Ähnlichkeit mit der Konstruktion der komplexen Zahlen ist evident.
Übung 2.1.1. Sei (R, +, ·) ein Ring.
(i) Zeige: Cent(R) ist ein kommutativer Unterring von R.
(ii) Zeige: ( Unit(R), ·) ist eine Gruppe, d.h. · ist assoziativ, es existiert ein Einselement
und zu jedem Element ein Inverses.
(iii) Sei n ∈ Z und r ∈ R. Gib eine Definition für r n an und weise r n r m = r n+m nach.
Zeige weiter, dass (rs) n = r n s n gilt, falls s ∈ R mit r kommutiert, d.h. rs = sr.
(iv) Zeige: Wenn zu jedem r ∈ R \ {0} ein s ∈ R mit rs = 1 existiert, dann ist R ein
Divisionsring.
(v) Sei a ∈ Unit(R) und x ∈ R mit ax = 0. Zeige: x = 0.
Definition 2.1.7. Sei R ein Ring und X 1 , . . . , X k Symbole. Elemente von N k 0 nennen
wir Multiindizes. Sie seien durch i = (i 1 , . . . , i k ) bezeichnet. Die Summe von
zwei Multiindizes sei komponentenweise gegeben.
(i) Eine formale Potenzreihe in X 1 , . . . , X k mit Koeffizienten in R ist eine formale
Summe
∑
a i X i := ∑
a i X i 1
1 · · · Xi k
k
,
i∈N k 0
i∈N k 0
wobei die a i ∈ R sind. Dies ist zunächst nichts anderes als eine suggestive
Schreibweise für eine Folge (a i ) i∈N k
0
von Elementen in R. Der Sinn dieser
Schreibweise liegt darin, dass sie die folgende Multiplikation auf der Menge

32 2 Ringe
R[[X 1 , . . . , X k ]] aller formalen Potenzreihen in X 1 , . . . , X k natürlich“ erscheinen
lässt, weil sie das Ausmultiplizieren“ von Produkten von endlichen Sum-
”
”
men nachahmt (man nennt dies das Cauchy–Produkt):
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎝ ∑
a i X i ⎠ ⎝ ∑
b i X i ⎠ := ∑ ( ) ∑
a l b m X i .
i∈N k 0
i∈N k 0
i∈N k 0
l+m=i
Neben diesem Produkt hat man noch die übliche koeffizientenweise Addition:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎝ ∑
a i X i ⎠ + ⎝ ∑
b i X i ⎠ := ∑
(a i + b i )X i .
i∈N k 0
i∈N k 0
i∈N k 0
(ii) Eine formale Potenzreihe ∑ i∈N
a k i X i heißt Polynom, wenn nur endlich viele
0
a i von Null verschieden sind. Der Grad eines Polynoms 0 ≠ f = ∑ i∈N
a k i X i
0
ist gegeben durch
deg(f) := max{|i|: a i ≠ 0},
wobei |i| := i 1 + . . . + i k . Außerdem setzt man deg(0) := −∞. Wenn a i ≠ 0 nur
für |i| = d gilt, dann heißt f homogen vom Grad d. Die Menge der Polynome
in X 1 , . . . , X k über R wird mit R[X 1 , . . . , X k ] bezeichnet. Die Teilmenge der
homogenen Polynome vom Grad d bezeichnen wir mit R[X 1 , . . . , X k ] d .
Wenn k = 1, dann heißt a deg f der Leitkoeffizient von f. Ist der Leitkoeffizient
gleich 1, so heißt f monisch oder normiert.
Proposition 2.1.8. Seien R ein Ring und X 1 , . . . , X k Symbole.
(i) Die Menge R[[X 1 , . . . , X k ]] mit den in Definition 2.1.7 angegebenen Verknüpfungen
ist ein Ring, der genau dann kommutativ ist, wenn R kommutativ ist.
(ii) R[X 1 , . . . , X k ] ist ein Unterring von R[[X 1 , . . . , X k ]].
Beweis. Idee: Dies sind reine Routinerechnungen.
⊓⊔
Übung 2.1.2. Sei R ein Ring. Zeige, dass 1 − X eine Einheit im Ring R[[X]] der formalen
Potenzreihen in einer Variablen über R ist.
Übung 2.1.3. Sei R ein Ring und X 1 , . . . , X k Symbole. Zeige:
(i) R[[X 1 , . . . , X k−1 ]][[X k ]] ist isomorph zu R[[X 1 , . . . , X k ]].
(ii) R[X 1 , . . . , X k−1 ][X k ] ist isomorph zu R[X 1 , . . . , X k ].
Definition 2.1.9. Sei R ein Ring. Eine Teilmenge I ⊆ R heißt ein Ideal von R,
wenn
I − I ⊆ I, RI ⊆ I, IR ⊆ I.
Man schreibt I ✂ R, wenn I ein Ideal in R ist.
Definition 2.1.10. Seien R und S Ringe mit Einselementen 1 R bzw. 1 S . Eine Abbildung
ϕ: R → S heißt ein Ringhomomorphismus, wenn gilt

(a) ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) für alle x, y ∈ R.
(b) ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) für alle x, y ∈ R.
(a) ϕ(1 R ) = 1 S .
2.1 Ringe und Ideale 33
Wir bezeichnen das Bild von ϕ mit im (ϕ) und den Kern ϕ −1 (0 S ) von ϕ mit ker (ϕ).
Wenn ϕ bijektiv ist, heißt ϕ ein Isomorphismus.
Es folgt unmittelbar aus den Definitionen, dass im (ϕ) ein Unterring von S ist,
während ker (ϕ) niemals ein Unterring von R, aber immer ein Ideal in R ist.
Beispiel 2.1.11. (i) Sei n ∈ Z. Dann ist nZ = {nx ∈ Z | x ∈ Z} ein Ideal in
Z. Da jedes Ideal in Z automatisch eine Untergruppe von (Z, +) ist, zeigt die
nachfolgende Proposition 2.1.12, dass hat diese Gestalt hat.
(ii) Die Auswertung einer Funktion an einer Stelle x liefert Ringhomomorphismen
ev x : C k (]a, b[) → R, f ↦→ f(x). Allgemeiner kann man Funktionen auch auf
Teilmengen einschränken, z.B.
rest ]c,d[ : C k (]a, b[) → C k (]c, d[),
f ↦→ f| ]c,d[
für ein Teilintervall ]c, d[ ⊆ ]a, b[. Die zugehörigen Kerne bestehen aus den Funktionen,
die auf {x} bzw. ]c, d[ verschwinden.
(iii) Der Ring R = Mat(n × n, K) enthält keine Ideale außer {0} und R. In der Tat,
durch geeignete Multiplikation von links und rechts mit Matrizen, die nur einen
von 0 verschiedenen Eintrag haben, sieht man, dass jedes von {0} verschiedene
Ideal alle solche Matrizen und dann ganz R enthält.
(iv) Sei R ein kommutativer Ring. Dann ist aR für jedes a ∈ R ein Ideal, das man
das von a erzeugte Hauptideal nennt.
(v) Sei R ein kommutativer Ring und A ⊆ R. Dann ist { ∑ n
j=1 a jr j | r j ∈ R, a j ∈
A, n ∈ N} ein Ideal, das man das von A erzeugte Ideal nennt. ( )
r 0
(vi) Sei R = R und R ′ = Mat(2 × 2, R). Dann ist die durch ϕ(r) = definierte
Abbildung ( ) ϕ: R → R ′ ein Ringhomomorphismus, nicht dagegen die durch
0 r
r 0
ψ(r) = definierte Abbildung (erhält die Eins nicht).
0 0
Proposition 2.1.12. Jede Untergruppe I von (Z, +) ist von der Form dZ mit d ∈
N ∪ {0}.
Beweis. Wenn I = {0} ist, dann wählen wir d = 0. Andernfalls finden wir ein von
Null verschiedenes Element n ∈ I. Wegen I − I ⊆ I ist dann auch −n ∈ I und wir
können annehmen, dass n > 0 ist. Sei d die kleinste positive Zahl in I und k ∈ I.
Teilen mit Rest liefert k = md + r für ein m ∈ Z und 0 ≤ r < d. Weil aber NI ⊆ I
und I = −I gilt, haben wir ZI ⊆ I. Also gilt r = k − md ∈ I, so dass wegen der
Minimalität von d die Gleichheit r = 0 und somit k ∈ dZ folgt. Da umgekehrt mit
d auch dZ in I ist, gilt I = dZ.
⊓⊔
Bemerkung 2.1.13. Seien S ⊆ R kommutative Ringe und A = {f : R → R | f
Polynomfunktion in einer Variablen} (d.h. f(λ) = a 0 + a 1 λ + . . . + a n λ n ). Wir
definieren eine Abbildung Φ: S[X] → A durch
Φ ( a 0 + a 1 X + . . . + a n X n) (λ) = ( a 0 + a 1 Φ(X) + . . . + a n Φ(X) n) (λ)
= a 0 + a 1 λ + . . . + a n λ n .

34 2 Ringe
Offensichtlich ist Φ : S[X] −→ A ein Ringhomomorphismus. Allerdings ist Φ im
allgemeinen nicht injektiv, selbst wenn S = R gilt: Wähle z.B. R = {0, 1}. Dies ist
ein Körper und für F = X + X 3 gilt
Φ(F )(λ) = λ + λ 3 = 0 ∀λ ∈ R.
Verknüpft man Φ noch mit der Auswertung in einem festen Punkt λ o ∈ R, so
erhält man den Auswertungshomomorphismus
S[X] → R
a 0 + a 1 X + . . . + a n X n ↦→ a 0 + a 1 λ o + . . . + a n λ n o .
Beispiel 2.1.14. Sei K ein Körper und A ∈ Mat(n × n, K), A = (a ij ) i,j=1,...,n .
Betrachte
B = (a ij − X δ ij ) i,j=1,...,n ∈ Mat(n × n, K[X])
und setze
χ A := det B = ∑
σ∈S n
sign (σ) [ (a 1σ(1) − X δ 1σ(n) ) · · · (a nσ(n) − X δ nσ(n) ) ] .
Dann ist χ A ∈ K[X] das charakteristische Polynom von A.
Frage: Kollidiert dies mit der Definition des charakteristischen Polynoms in der
linearen Algebra
Antwort: Sei Φ die Auswertung von Polynomen wie in Bemerkung 2.1.13. Dann gilt
Φ(χ A )(λ) = det(A − λ1) = χ A (λ).
d.h. die Definitionen liefern bei Auswertung das Gleiche.
⊓⊔
Proposition 2.1.15. Sei R ein Ring und I ⊆ R ein Ideal.
(i) Durch x ∼ y für x − y ∈ I wird eine Äquivalenzrelation auf R definiert, deren
Äquivalenzklassen durch
[x] := x + I := {x + i | i ∈ I}
gegeben sind.
(ii) Die Menge R/I der Äquivalenzklassen unter ∼ ist ein Ring bzgl. der Addition
[x] + [y] := [x + y]
∀x, y ∈ R
und der Multiplikation
[x] · [y] := [x · y] ∀x, y ∈ R.
Dieser Ring heißt der Quotientenring von R nach I.
(iii) Die Abbildung ϕ: R → R/I, r ↦→ r + I ist ein surjektiver Ringhomomorphismus
mit Kern I.
Beweis. Idee: Der Beweis geht in wesentlichen Teilen so wie für Quotientenvektorräume.
Nur für die Wohldefiniertheit der Multiplikation auf R/I muss man RI ⊆ I und IR ⊆ I
benützen.
Die Details seien als Übung dem Leser überlassen.
⊓⊔

2.1 Ringe und Ideale 35
Beispiel 2.1.16. Sei n ∈ Z. Dann ist Z/nZ gerade der Ring der Restklassen
modulo n.
⊓⊔
Proposition 2.1.17. Sei ϕ: R → S ein Ringhomomorphismus sowie I ⊆ R und
J ⊆ S Ideale mit ϕ(I) ⊆ J. Dann definiert
ϕ(r + I) := ϕ(r) + J
einen Ringhomomorphismus ϕ: R/I → S/J.
Beweis. Idee: Die Wohldefiniertheit folgt sofort aus ϕ(I) ⊆ J, der Rest ist eine Routinerechnung.
Die Details seien als Übung dem Leser überlassen.
⊓⊔
Übung 2.1.4. Seien R und S Ringe und R ′ ein Unterring von R. Zeige
(i) Wenn ϕ: R → S ein Ringhomomorphismus ist, dann ist ϕ(R) isomorph zu R/ ker (ϕ).
(ii) Jedes homomorphe Bild von R ist isomorph zu R/I für ein Ideal I in R.
(iii) Für jedes Ideal I von R ist R ′ ∩ I ein Ideal von R ′ und R ′ + I ein Unterring von R.
(iv) Für jedes Ideal I von R gilt R ′ /(R ′ ∩ I) ∼ = (R ′ + I)/I.
(v) Für zwei Ideale I ⊆ J von R ist J/I := {j + I | j ∈ J} ein Ideal in R/I und es gilt
(R/I)/(J/I) ∼ = R/J.
Übung 2.1.5. Sei R ein Ring und J ⊂ R ein Linksideal, d.h. es gilt J + J ⊆ J und
Untergruppe mit RJ ⊆ J. Definiere den Idealisator von J in R durch
i R (J) := {a ∈ R | Ja ⊂ J}.
Zeige, dass i R (J) der größte Unterring von R ist, in dem J ein zweiseitiges Ideal ist.
Übung 2.1.6. Sei (R, +, ·) ein Ring, Cent(R) sein Zentrum und R × = Unit(R) die Menge
der Einheiten. Zeige:
1. Cent(R) ist ein kommutativer Unterring von R.
2. (R × , ·) ist eine Gruppe.
3. Wenn ax = 0 für a ∈ R × und x ∈ R, so ist x = 0.
4. (c) gilt im Allgemeinen nicht für Elemente a, x ∈ R.
5. Wenn 1 ≠ 0 und zu jedem r ∈ R \ {0} ein s ∈ R existiert mit rs = 1, dann ist R ein
Divisionsring.
Übung 2.1.7 (Polynomringe). Sei R ein nullteilerfreier Ring, d.h. für alle r, s ∈ R gilt:
Aus rs = 0 folgt r = 0 oder s = 0.
1. Zeige, dass die Einheiten im Polynomring R[X] gerade die Einheiten von R sind,
betrachtet als Polynome vom Grad 0.
2. Zeige, dass 1 − X eine Einheit im Ring R[[X]] der formalen Potenzreihen in einer
Variablen über R ist.
3. Zeige anhand eines Beispiels für R = Z/4Z, dass die Bedingung ”
nullteilerfrei“ für den
Beweis von a) wesentlich ist.
Übung 2.1.8 (Nilpotente Elemente). Sei R ein kommutativer Ring und R × seine Einheitengruppe.
Ein Element x ∈ R heißt nilpotent, wenn ein n ∈ N mit x n = 0 existiert. Es
sei Nil(R) die Menge der nilpotenten Elemente in R. Zeige:
1. (Nil(R), +) ist eine Untergruppe von (R, +),

36 2 Ringe
2. Für a ∈ R × und x ∈ Nil(R) ist a + x ∈ R × .
Übung 2.1.9 (Einheiten). Sei R ein Ring. Bestimme alle Einheiten im Ring R[[X]] der
formalen Potenzreihen in einer Variablen über R.
Übung 2.1.10 (Nullteiler und Nicht-Einheiten). Sei R ein Ring.
1. Ein Element r ∈ R \ {0} heißt Nullteiler, falls es ein Element s ∈ R \ {0} gibt mit
rs = 0 oder sr = 0. Bestimme alle Nullteiler von Z/nZ für n ∈ Z.
2. Zeige anhand eines Beispiels: Im Allgemeinen folgt aus rs = 1 für r, s ∈ R nicht
notwendig, dass r und s Einheiten in R sind.
Hinweis: Betrachte zum Beispiel R = (End(V ), +, ◦), wobei V der Vektorraum aller
reellen Folgen ist.
2.2 Integritätsbereiche
Definition 2.2.1. Sei R ein Ring. Ein Element r ∈ R \ {0} heißt Nullteiler, wenn
0 ∈ r(R \ {0}) ∪ (R \ {0})r. Ein Integritätsbereich ist ein kommutativer Ring R
mit 1 ≠ 0 ohne Nullteiler.
Beispiel 2.2.2. (i) Jeder Unterring eines Körpers ist ein Integritätsbereich: Wenn
r ≠ 0 und sr = 0, dann folgt 0 = 0 · r −1 = srr −1 = s und analog für rs = 0.
Insbesondere ist Z ⊆ Q ein Integritätsbereich.
(ii) Z/4Z ist kein Integritätsbereich, weil [2] · [2] = [0]. Dagegen ist Z/2Z sogar ein
Körper. Wir werden später sehen, dass Z/nZ genau dann ein Integritätsbereich
ist, wenn es ein Körper ist, und dies genau dann auftritt, wenn n (bzw. −n)
eine Primzahl ist.
⊓⊔
Proposition 2.2.3. Wenn R ≠ {0}, dann sind äquivalent
(1) R ist Integritätsbereich.
(2) Aus ra = rb mit r ≠ 0 folgt a = b.
Beweis. Für die Implikation ”
(1) ⇒ (2)“ schließt man
r ≠ 0, ra = rb =⇒ r(a − b) = 0
(1)
=⇒ a − b = 0 =⇒ a = b
und die Umkehrung sieht man mit
r ≠ 0, ra = 0 =⇒ ra = r0
(2)
=⇒ a = 0.
⊓⊔
Proposition 2.2.4. Wenn R ein Integritätsbereich ist, dann sind auch der Ring
R[[X 1 , . . . , X k ]] der formalen Potenzreihen und der Ring R[X 1 , . . . , X k ] der Polynome
über R Integritätsbereiche.

Beweis. Idee: Führe eine passende Ordnung auf N k 0 ein.
2.2 Integritätsbereiche 37
Wir betrachten folgende Ordnung auf N k 0: i < j, wenn es ein k o ∈ {1, . . . , k} gibt
mit i m = j m für m < k o und i ko < j ko . Diese Ordnung heißt die lexikographische
Ordnung und ist total, d.h. für zwei verschiedene Multiindizes i und j gilt entweder
i < j oder j < i. Außerdem gilt
i < j; l ≤ m =⇒ i + l < j + m,
wobei l ≤ m bedeutet l < m oder l = m (Übung).
Wenn jetzt F = ∑ i∈N
a k i X i und G = ∑
0
i∈N
b k i X i zwei von Null verschiedene
0
Elemente von R[[X 1 , . . . , X k ]] sind, dann gibt es ein bzgl. der lexikographischen
Ordnung minimales l o , für das a lo ≠ 0 gilt. Analog haben wir ein minimales m o
mit b mo ≠ 0. Dann ist aber der Koeffizient von l o + m o in F · G gerade a lo · b mo ,
also von Null verschieden.
⊓⊔
Der folgende Satz verallgemeinert die Konstruktion der rationalen aus den ganzen
Zahlen.
Satz 2.2.5 (Quotientenkörper). Sei R ein Integritätsbereich.
(i) Sei S = R × (R \ {0}). Dann definiert
(a, b) ∼ (c, d) :⇔ ad = bc
eine Äquivalenzrelation auf S.
(ii) Bezeichne die Äquivalenzklasse von (a, b) mit a b
und die Menge der Äquivalenzklassen
mit Q(R). Dann definieren
a
b + c ad + bc
:=
d bd
und
a
b · c ac
:=
d bd
zwei Abbildungen Q(R) × Q(R) → Q(R) bzgl. derer (Q(R), +, ·) ein Körper mit
Nullelement 0 1 und Einselement 1 1 ist.
(iii) Das additive Inverse von a b
−a
ist
b
und das multiplikative Inverse von a b mit
a ≠ 0 ist b a .
Beweis. Idee: Wesentlich ist Teil (i). Für die Transitivität der Relation braucht man
die Nullteilerfreiheit. Der Rest ist eine Routineverifikation.
Wegen der Kommutativität von R ist die Relation ∼ symmetrisch. Die Reflexivität
ist offensichtlich. Sei jetzt (a, b) ∼ (c, d) und (c, d) ∼ (e, f). Dann gilt
adf = bcf = bde
und daher d(af −be) = 0. Weil d ≠ 0, zeigt die Nullteilerfreiheit jetzt, dass af = be,
d.h. (a, b) ∼ (e, f). Damit ist die Transitivität von ∼ gezeigt. Das Argument zeigt
auch, dass
ad
bd = a b
für d ≠ 0. Man kann also in Brüchen von Null verschiedene Element kürzen. Der
Rest des Beweises ist Routine, wobei zuerst der Nachweis der Wohldefiniertheit der
Verknüpfungen geführt werden muss (Übung).
⊓⊔

38 2 Ringe
Der in Satz 2.2.5 konstruierte Körper heißt der Quotientenkörper des Integritätsbereiches
R.
Die Teilbarkeitslehre der ganzen Zahlen lässt sich zum Teil auf allgemeinere
kommutative Ringe übertragen.
Definition 2.2.6. Sei R ein kommutativer Ring und a, b ∈ R. Man sagt a teilt b
und schreibt a | b, wenn es ein r ∈ R mit ra = b gibt. In diesem Fall heißt a auch ein
Teiler von b in R. Ein größter gemeinsamer Teiler (ggT) von a 1 , . . . , a k ∈ R
ist dann ein gemeinsamer Teiler der a j , der von jedem anderen gemeinsamen Teiler
geteilt wird. Zwei Elemente heißen teilerfremd, wenn 1 ein ggT von a und b ist.
Ein Element d ≠ 0 in R \ Unit(R) heißt prim, wenn aus d | ab für a, b ∈ R folgt
d | a oder d | b. Zwei Elemente p, q ∈ R heißen assoziiert, wenn es eine Einheit
u ∈ Unit(R) mit p = uq gibt.
Beachte, dass in dieser Definition jede Einheit Teiler eines beliebigen Ringelementes
ist. Insbesondere ist in Z der ggT nicht eindeutig, sondern nur bis auf das
Vorzeichen bestimmt. Allgemeiner ist in einem Integritätsbereich der ggT nur bis
auf Einheiten eindeutig bestimmt (Übung, vgl. Proposition 2.2.3).
Definition 2.2.7. Ein Ideal I in einem kommutativen Ring R heißt prim, wenn
1 ∉ I und aus xy ∈ I mit x, y ∈ R folgt: x ∈ I oder y ∈ I. Das Ideal I heißt
maximal, wenn 1 ∉ I und für jedes r ∈ R \ I ein s ∈ R mit 1 ∈ sr + I existiert.
Man sieht sofort an der Definition, dass die maximalen Ideale gerade diejenigen
Ideale sind, die in keinem von R und I verschiedenen Ideal enthalten sind (ein Ideal
I ist gleich R genau dann, wenn 1 ∈ I ist).
Beispiel 2.2.8. (i) Jedes n ∈ N \ {1} ist Produkt von Primzahlen.
Wenn nämlich n nicht selbst prim ist, ist es von der Form n = ab mit a, b ∈
N \ {1}. Also ist sind insbesondere a und b kleiner als n und die Behauptung
folgt mit Induktion.
(ii) Seien a, b ∈ Z und 〈a, b〉 := {na + mb: n, m ∈ Z} die von a und b erzeugte
Untergruppe von (Z, +). Nach Proposition 2.1.12 ist 〈a, b〉 nach Proposition
2.1.12 von der Form dZ mit d ≥ 0. Also ist d ein gemeinsamer Teiler von a und
b. Außerdem gibt es n, m ∈ Z mit d = na + mb. Daher ist jeder gemeinsame
Teiler von a und b auch Teiler von d. Insbesondere ist d ein ggT von a und b.
⊓⊔
Beispiel 2.2.9. (i) Sei n ∈ N, dann ist nZ ein Primideal in Z genau dann, wenn n
eine Primzahl ist: Sei zunächst n prim und xy = nm, d.h. n teilt xy. Dann teilt n
entweder x oder y und dementsprechend ist entweder x oder y in nZ enthalten.
Umgekehrt, wenn nZ prim ist und n = xy mit x, y ∈ N \ {1} ist, dann folgt
o.B.d.A. x ∈ nZ, d.h. insbesondere n ≤ x im Widerspruch zu n = xy. Also ist
n prim. Man kann hier auch zeigen, dass nZ genau dann maximal ist, wenn n
prim ist, wir verschieben das aber auf später.
(ii) Sei R = C k (]a, b[) wie in Beispiel 2.1.11 und I = ker (ev x ). Dann ist I maximal
in R, weil man zu jeder Funktion f, die in x nicht verschwindet, Funktionen
g ∈ R und h ∈ I finden kann, für die
1 = g(y)f(y) + h(y) ∀y ∈ ]a, b[
gilt. Zum Beispiel funktioniert g : y ↦→ f(x) −1 und h : y ↦→ 1 − f(y)f(x) −1 .
⊓⊔

2.2 Integritätsbereiche 39
Proposition 2.2.10. Sei R ein kommutativer Ring und I ⊆ R ein Ideal.
(i) R/I ist ein Integritätsbereich genau dann, wenn I prim ist.
(ii) R/I ist ein Körper genau dann, wenn I maximal ist.
(iii) Wenn I maximal ist, dann ist I prim.
Beweis. Idee: Dies sind direkte Konsequenzen der Definitionen.
(i) Sei R/I ein Integritätsbereich. Wenn xy ∈ I für x, y ∈ R, dann gilt
(x + I)(y + I) = xy + I = 0 + I,
also x + I = 0 + I oder y + I = 0 + I, d.h. x ∈ I oder y ∈ I. Also ist I prim.
Sei umgekehrt I prim. Wenn jetzt (x + I)(y + I) = 0 + I, dann heißt das xy ∈ I,
also x ∈ I oder y ∈ I. Damit folgt x + I = 0 + I oder y + I = 0 + I, und R/I
ist nullteilerfrei.
(ii) Sei R/I ein Körper. Wenn r ∈ R \ I, dann gilt r + I ∈ (R/I) \ {0 + I}, also
existiert ein s + I ∈ R/I mit
(s + I)(r + I) = 1 + I.
Dann folgt aber sofort 1 ∈ sr + I, d.h. I ist maximal.
Sei umgekehrt I maximal und r + I ∈ (R/I) \ {0 + I}. Dann ist r ∈ R \ I und
es gibt ein s ∈ R mit sr ∈ 1 + I. Aber das bedeutet (s + I)(r + I) = 1 + I, so
dass r + I ein multiplikatives Inverses in R/I hat. Also ist R/I ein Körper.
(iii) Dies folgt sofort aus (i) und (ii), weil jeder Körper ein Integritätsbereich ist.
⊓⊔
Beispiel 2.2.11. Das Hauptideal (X) in Z[X] ist prim, aber nicht maximal, weil
Z[X]/(X) ∼ = Z ein Integritätsbereich ist, aber kein Körper. Zum Beispiel ist (X) in
dem Ideal
{ ∑
n }
I := a k X k | n ∈ N 0 , a k ∈ Z, a 0 ∈ 2Z
enthalten.
k=0
⊓⊔
Beispiel 2.2.12. Eine Teilmenge I ⊆ Z ist ein Ideal genau dann, wenn I − I ⊆ I
gilt, weil dann automatisch alle Vielfachen von Elementen in I selbst wieder in I
sind. Proposition 2.1.12 sagt dann gerade, dass jedes Ideal I in Z von der Form dZ
mit d ∈ N 0 ist.
Das Ideal dZ in Z ist prim genau dann, wenn es maximal ist. Die eine Richtung
folgt dabei aus Proposition 2.2.10. Um auch die Umkehrung einzusehen, nehmen
wir an, dass dZ ein Primideal ist. Dies ist nach Beispiel 2.2.9 gleichbedeutend damit,
dass d eine Primzahl ist. Sei jetzt a ∈ Z \ dZ. Dann teilt d die Zahl a nicht und
weil d prim ist, sind a und d sogar teilerfremd. Nach Beispiel 2.2.8(ii) ist also jedes
k ∈ Z von der Form k = na + md mit n, m ∈ Z. Wenn wir k = 1 wählen, folgt
insbesondere 1 ∈ na + dZ, also die Maximalität von dZ.
Insbesondere erkennt man, dass Z/dZ genau dann ein Körper ist, wenn d prim
ist.
⊓⊔

40 2 Ringe
Proposition 2.2.13. Sei R ein Integritätsbereich.
(i) Wenn ein Primelement p ∈ R von der Form p = ab mit a, b ∈ R und p | a ist,
dann ist b eine Einheit.
(ii) Wenn p, q ∈ R prim sind mit p | q, dann ist q von der Form up mit u ∈ Unit(R).
(iii) d ∈ R ist prim genau dann, wenn dR ein Primideal ist.
Beweis. Idee: Dies folgt direkt aus den Definitionen.
(i) Aus p = ab und a = pc folgt p = pcb, d.h., 1 = cb.
(ii) Aus pr = q folgt q | p, denn q | r würde nach (i) dazu führen, dass p eine Einheit
ist. Aber (i) zeigt auch, dass wegen q | p das Element r eine Einheit ist.
(iii) Wenn p prim ist und ab ∈ pR gilt, folgt p | ab und daher p | a oder p | b. Dies
heißt aber, es gilt a ∈ pR oder b ∈ pR, d.h. pR ist prim. Umgekehrt, wenn pR
prim ist und p | ab gilt, dann folgt ab ∈ pR, also a ∈ pR oder b ∈ pR, d.h. p | a
oder p | b. Also ist p prim.
In Teil (iii) von Proposition 2.2.13 wurde die Nullteilerfreiheit nicht benutzt.
⊓⊔
Beispiel 2.2.14. Betrachte den Ring R = Z[X] und darin das Ideal
{ ∑ n
I :=
k=0
}
a k X k | n ∈ N 0 , a k ∈ Z, a 0 ∈ 2Z .
Wenn f = ∑ a k X k und g = ∑ b j X j Elemente von R sind und
fg = ∑ ∑
a m b l X k ∈ I
k m+l=k
gilt, dann folgt a 0 b 0 ∈ 2Z, also a 0 ∈ 2Z oder b 0 ∈ 2Z. Also muss f ∈ I oder g ∈ I
gelten, d.h., I ist prim.
⊓⊔
Übung 2.2.1. Seien a, n ∈ Z.
(i) a + nZ ist genau dann eine Einheit in Z/nZ, wenn a und n teilerfremd sind.
(ii) Wenn a prim ist und n = a k , dann gibt es a k−1 (a − 1) Einheiten in Z/nZ.
Übung 2.2.2. (i) Sei ϕ: R → S ein Ringhomomorphismus und R ein Körper. Zeige: Wenn
S ≠ {0}, dann ist ϕ injektiv.
(ii) Zeige: jeder endliche Integritätsbereich ist ein Körper.
(iii) Sei R ein kommutativer Ring und I, J, P Ideale in R. Zeige: wenn P prim ist mit
IJ ⊆ P , dann gilt I ⊆ P oder J ⊆ P .
Übung 2.2.3 (Polynomringe). Sei R ein Ring und X 1 , . . . , X k Symbole. Zeige:
1. R[X 1, . . . , X k−1 ][X k ] ist isomorph zu R[X 1, . . . , X k ].
2. Ist R nullteilerfrei, so gilt R[X 1 , . . . , X k ] × = R × .
Übung 2.2.4 (Ideale).
1. Seien R, S Ringe und ϕ : R → S ein Ringhomomorphismus. Seien I ⊆ R, J ⊆ S
Ideale. Sind ϕ(I) und/oder ϕ −1 (J) Ideale
2. Bestimme alle Ideale von Z/8Z. Welche sind prim Welche sind maximal
Übung 2.2.5 (Komplexe Zahlen). Sei (X 2 + 1) das von X 2 + 1 erzeugte Ideal in R[X].
Zeige:
R[X]/(X 2 + 1) ∼ = C .

2.2 Integritätsbereiche 41
Übung 2.2.6 (Lokalisierung). Diese Aufgabe behandelt folgende Frage: Gegeben ein kommutativer
Ring R und eine geeignete Teilmenge S ⊆ R. Wie findet man einen möglichst
kleinen Ring R ′ , der R enthält und in dem die Elemente aus S Einheiten sind
Sei R ein kommutativer Ring (R ist nicht notwendig nullteilerfrei). Sei S eine nichtleere
Teilmenge von R, so dass
• 1 ∈ S, 0 /∈ S.
• a, b ∈ S impliziert ab ∈ S.
Auf R × S definieren wir die Relation ∼ durch
(r 1 , s 1 ) ∼ (r 2 , s 2 ) ⇐⇒ ∃s ∈ S mit (r 1 s 2 − r 2 s 1 )s = 0.
1. Zeige, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Sei S −1 R die Menge der Äquivalenzklassen der Relation ∼ in R×S. Die Äquivalenzklasse
von (r, s) ∈ R × S sei mit r bezeichnet. Zeige: Durch
s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
r1 r2 r1 s 2 + r 2 s 1
r1 r2 r1 r 2
+ :=
und · :=
s 1 s 2 s 1s 2 s 1 s 2 s 1s 2
werden Verknüpfungen auf S −1 R definiert, so dass S −1 R ein kommutativer Ring ist.
3. Sei
ϕ : R → S −1 R, r ↦→ r 1 .
Zeige: ϕ ist ein Ringhomomorphismus, und ϕ ist genau dann injektiv, wenn S keine
Nullteiler enthält. Die Elemente s 1
s 2
in S −1 R mit s 1, s 2 ∈ S sind Einheiten.
Übung 2.2.7 (Quotientenring). Sei (X 2 −1) das von X 2 −1 erzeugte Ideal in R[X]. Zeige:
R[X]/(X 2 − 1) ∼ = R × R ,
wobei R × R mit komponentenweiser Addition und Multiplikation versehen ist.
Übung 2.2.8 (Modulorechnung). Man finde alle Lösungen der folgende Gleichungen in
Z/7Z, wobei Elemente in Z/7Z durch k := k + 7Z beschrieben werden:
1. 5 · x = 4,
2. y 2 − y + 1 = 0.
Bestimme eine quadratische Gleichung, welche in Z/7Z keine Lösung besitzt.
Übung 2.2.9 (Ideale und Körper). Seien K 1, . . . , K n Körper und R := K 1 ×· · ·×K n mit
komponentenweiser Addition und Multiplikation. Ist R ein Körper Bestimme alle Ideale
in R. Welches sind Primideale, welches sind maximale Ideale
Übung 2.2.10. Sei [a, b] ⊆ R ein kompaktes Intervall und R := C([a, b]) der Ring der
stetigen Funktionen auf [a, b] mit punktweiser Addition und Multiplikation. Zeige: Ein Ideal
I ⊆ R ist maximal genau dann, wenn es ein x ∈ [a, b] gibt, so dass I = {f ∈ R | f(x) = 0}.
Übung 2.2.11. In einem Integritätsbereich R heißt ein Element r ∈ R \ R × irreduzibel,
falls sich r nicht in das Produkt von zwei Nicht-Einheiten zerlegen lässt, d.h. r = ab mit
a, b ∈ R impliziert a ∈ R × oder b ∈ R × . Zeige:
1. Ist p ∈ R prim, so ist p irreduzibel.
2. Ist R faktoriell, so gilt auch die Umkehrung von a).
Übung 2.2.12 (Irreduzibilität).
1. Bestimme alle irreduziblen Polynome in R[X].
2. Zeige, dass f = X 5 + X 2 + 1 irreduzibel ist in (Z/2Z)[X].

42 2 Ringe
2.3 Euklidische Ringe
Satz 2.3.1 (Polynomdivision). Sei R ein kommutativer Ring und f, g ∈ R[X] \
{0}.
(i) Wenn die höchsten (von Null verschiedenen) Koeffizienten von f und g sich
nicht zu Null multiplizieren, dann gilt
deg(fg) = deg(f) + deg(g).
(ii) Wenn der höchste Koeffizient von g eine Einheit ist, dann gibt es eindeutig
bestimmte Polynome q, r ∈ R[X] mit f = qg + r, wobei entweder r = 0 oder
deg(r) < deg(g) gilt.
Beweis. Idee: Setze f und g als Linearkombination der X i an, multipliziere aus, und
berechne den Koeffizienten der höchsten vorkommenden Potenz.
Sei f = ∑ m
i=0 a iX i und g = ∑ n
i=0 b iX i mit a m ≠ 0 ≠ b n . Dann gilt deg(f) = m
und deg(g) = n.
(i) fg = a m b n X m+n + ∑ n+m−1
(∑
i=0 l+m=i a )
lb m X i . Weil aber a m b n ≠ 0 nach
Voraussetzung, folgt deg(fg) = m + n.
(ii) Existenz von q und r: Wenn m < n, dann wähle q = 0 und r = f. Wir können
also n ≤ m annehmen, so dass
f = (a m b −1
n X m−n )g + ˜f,
wobei entweder ˜f = 0 oder deg( ˜f) < m. Wenn ˜f = 0, dann wählen wir r = 0
und q = a m b −1
n X m−n . Andernfalls finden wir mit Induktion über den Grad
Elemente ˜q, ˜r ∈ R[X] wie im Satz angegeben, insbesondere mit ˜f = ˜qg + ˜r. Es
gilt dann
f = (a m b −1
n X m−n + ˜q)g + ˜r,
was die Existenz von q und r beweist.
Für Eindeutigkeit nehmen wir zwei Zerlegungen f = qg + r = ˜qg + ˜r wie
angegeben an. Dann gilt (˜q − q)g = r − ˜r und mit (i)
deg ( (˜q − q)g ) = deg(q − ˜q) + deg(g) > deg(r − ˜r)
falls ˜q ≠ q. Also gilt q = ˜q und dann auch r = ˜r.
⊓⊔
Beispiel 2.3.2. Sei K ein Körper, R = K[X] und p ∈ R vom Grad deg(p) = n.
Weiter sei I = ( p ) das von p erzeugte Ideal in R. Zu f ∈ K[X] existieren dann nach
Satz 2.3.1 q, r ∈ K[X] mit f = qp + r sowie r = 0 oder deg(r) < n. Dies liefert
f + I = r + I, d.h. jede Nebenklasse hat einen Vertreter vom Grad kleiner als n.
Für p = X 2 + 1 und K = R erhält man
(a + bX + I)(c + dX + I) = (a + bX)(c + dX) + I = ac + (bc + ad)X + bd X 2 + I.
Wegen X 2 = −1 + p können wir dies zu
(a + bX + I)(c + dX + I) = (bc + ad)X + (ac − bd) + I

2.3 Euklidische Ringe 43
umschreiben. Wenn jetzt a ≠ 0 oder b ≠ 0, dann ergibt sich mit c =
d = die Gleichung
−b
a 2 +b 2
( )
a
(a + bX + I)
a 2 + b 2 − b
a 2 + b 2 X + I = 1 + I.
a
a 2 +b 2
Damit haben wir gezeigt, dass R[X]/ ( p ) ein Körper ist. Es ist dann leicht zu verifizieren,
dass
R[X]/ ( p ) → C
a + bX + ( p ) ↦→ a + ib
ein Isomorphismus ist. Die diesem Isomorphismus zugrunde liegende Vorstellung ist:
C ist erzeugt von R und einem Element x (nämlich dem Bild von X in R[X]/(X 2 +
1)), das die Gleichung x 2 = −1 erfüllt. ⊓⊔
und
Die folgende Definition abstrahiert zwei für Fragen der Teilbarkeit wesentliche
Eigenschaften der ganzen Zahlen und macht sie so auch für gewisse andere Ringe
(z.B. Polynomringe über einem Körper) verfügbar.
Definition 2.3.3. Sei R ein Integritätsbereich. R heißt ein Hauptidealring, wenn
jedes Ideal I in R von der Form I = xR mit x ∈ R ist. R heißt ein euklidischer
Ring, wenn es eine Funktion g : R \ {0} → N 0 gibt, die folgende Eigenschaften hat:
(a) g(ab) ≥ g(a) für alle a, b ∈ R \ {0}.
(b) Wenn a ∈ R \ {0} und b ∈ R, dann gibt es Elemente q, r ∈ R mit
b = qa + r, wobei r = 0 oder g(r) < g(a) (Division mit Rest).
Die Funktion g mit den Eigenschaften (a) und (b) heißt eine Gradfunktion für R.
Beispiel 2.3.4. (i) Z ist ein euklidischer Ring mit g(n) = |n|.
(ii) Sei K ein Körper. Dann ist K[X] ein euklidischer Ring mit Gradfunktion deg.
Dies folgt sofort aus Satz 2.3.1, weil in einem Körper jedes von Null verschiedene
Element eine Einheit ist.
⊓⊔
Die folgende Proposition steht in engem Zusammenhang mit Beispiel 2.2.8.
Proposition 2.3.5. (i) Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.
(ii) Sei R ein Hauptidealring. Dann haben zwei Elemente a, b ∈ R einen bis auf
Multiplikation mit einer Einheit eindeutigen ggT und dieser ist in der Menge
{ma + nb | n, m ∈ R} enthalten.
Beweis. Idee: Betrachte ein Element minimalen Grades in I.
(i) Sei I ein Ideal in R. Wenn I = {0} ist, dann gilt I = 0 · R. Andernfalls wählen
wir ein Element d ∈ I mit minimalem g(d). Für jedes i ∈ I finden wir dann
q, r ∈ R mit i = qd + r und r = 0 oder g(r) < g(d). Da aber r = i − qd ∈ I ist,
kann der zweite Fall nicht auftreten, so dass i = dq ∈ dR. Umgekehrt ist mit d
auch dR in I, also gilt I = dR.

44 2 Ringe
(ii) Setze
〈a, b〉 := {na + mb | n, m ∈ R}
für a, b ∈ R. Dann rechnet man sofort nach, dass 〈a, b〉 ein Ideal in R ist, also
nach Voraussetzung von der Form dR. Dann ist d ein gemeinsamer Teiler von a
und b. Da aber d ∈ 〈a, b〉 ist, gibt es n, m ∈ R mit d = na + mb. Daher ist jeder
gemeinsame Teiler von a und b auch Teiler von d. Also ist d ein ggT von a und
b.
Um die Eindeutigkeitsaussage zu zeigen, nehmen wir an, dass d und d ′ jeweils
ggTs von a und b sind. Dann gibt es r, r ′ ∈ R mit dr = d ′ und d = d ′ r ′ , also
d = drr ′ . Wegen Proposition 2.2.3 liefert dies 1 = rr ′ (R ist insbesondere eine
Integritätsbereich), d.h. r und r ′ sind Einheiten in R.
Beachte, dass aus der Existenz eines ggT von zwei Elementen sofort auf die
Existenz eines ggT von endlich vielen Elementen geschlossen werden kann.
⊓⊔
Algorithmus 2.3.6 (Euklid). Sei R ein euklidischer Ring mit Gradfunktion
g. Um einen ggT zu berechnen, geht man vor wie für die ganzen Zahlen: Seien
a, b ∈ R \ {0} und o.B.d.A. g(a) ≤ g(b). Schreibe b = qa + r mit r = 0 oder
g(r) < g(a). Wenn r = 0, dann ist a ein ggT von a und b. Wenn r ≠ 0, dann ist
jeder ggT von a und r auch ein ggT von a und b. Also wiederholt man das Verfahren
für r und a. Weil der minimale Grad der beiden Elemente in jedem Schritt echt
abnimmt, terminiert das Verfahren. In Formeln ausgedrückt:
b = q 1 a + r 1 deg(r 1 ) < deg(g)
a = q 2 r 1 + r 2 deg(r 2 ) < deg(r 1 )
.
r j = q j+2 r j+1 + r j+2 deg(r j+2 ) < deg(r j+1 )
.
r n = q n+2 r n+1 + 0
Jetzt kann man überprüfen, dass r n+1 = ggT(a, b) gilt. Wegen r n+1 | r n und
r n−1 = q n+2 r n + r n+1 findet man r n+1 | r n−1 etc., d.h. letztendlich
r n+1 | a, b
und das liefert r n+1 | ggT(a, b). Umgekehrt, wenn d | a, b, so erhält man erst d | r 1 ,
dann d | r 2 etc., also schließlich d | r n+1 und damit ggT(a, b) = r n+1 . Beachte, dass
r n+1 = r n−1 − q n+1 r n
= r n−1 − q n+1 (r n−2 − q n r n−1 )
= (−q n+1 )r n−2 + (1 + q n q n+1 )r n−1
.
= na + mb,
wobei m, n ∈ R durch Division mit Rest bestimmbar sind.
Übung 2.3.1. Sei R ein Hauptidealring. Zeige: k Elemente a 1 , . . . , a k ∈ R haben einen
bis auf Äquivalenz eindeutigen ggT und dieser ist in der Menge { ∑ k
j=1
mjaj | mj ∈ R}
enthalten.

2.3 Euklidische Ringe 45
Übung 2.3.2. Sei R ein euklidischer Ring. Man gebe einen Algorithmus an, der zu
a 1 , . . . , a k ∈ R einen ggT(a 1 , . . . , a k ) bestimmt.
Proposition 2.3.7. Sei R ein Hauptidealring. Wenn ggT(a, b) = 1 und a | bc, dann
gilt a | c.
Beweis. Wegen Proposition 2.3.5 gibt es r, s ∈ R mit 1 = ra+sb, also c = cra+csb.
Mit der Voraussetzung findet man dann ein d ∈ R mit bc = ad. Dies liefert c =
a(cr + sd) und schließlich a | c.
⊓⊔
Lemma 2.3.8. Sei R ein euklidischer Ring mit Gradfunktion g. Seien a, b ∈ R\{0}.
Wenn b | a, aber nicht a | b, dann gilt g(b) < g(a).
Beweis. Idee: Teile mit Rest.
Die Voraussetzungen zeigen: Einerseits gilt b = qa+r mit r ≠ 0 und g(r) < g(a),
andererseits haben wir a = cb. Daher rechnet man
r = b − qa = (1 − qc)b
und findet g(a) > g(r) ≥ g(b).
⊓⊔
Proposition 2.3.9. Sei R ein Hauptidealring. Dann ist jedes Primideal I ≠ {0}
maximal.
Beweis. Idee: Schreibe den Erzeuger von I als Produkt und wende Proposition 2.2.13
an.
Sei I ≠ {0} prim und J ✁ R ein Ideal, das I enthält. Da R ein Hauptidealring
ist, gibt es a, b ∈ R mit I = (a) und J = (b). Nach Proposition 2.2.13(iii) ist a ∈ R
prim. Wegen I ⊂ J gilt a = br mit r ∈ R. Jetzt zeigt Proposition 2.2.13(i), dass
r oder b eine Einheit ist. Im ersten Fall gilt I = J und im zweiten J = R. Dies
beweist die Maximalität von I.
⊓⊔
Übung 2.3.3. Sei R ein euklidischer Ring mit Gradfunktion g. Zeige:
(i) g(1) ≤ g(r) für alle r ∈ R.
(ii) Wenn g(b) = g(1), dann ist b eine Einheit in R.
Übung 2.3.4. Sei n ∈ Z eine quadratfreie Zahl und √ n ∈ C eine Wurzel von n. Zeige:
(i) Q( √ n) := {x+y √ n: x, y ∈ Q} ist ein Körper bzgl. der üblichen Operationen. (Hinweis:
Für u = x + y √ n ∈ Q( √ n) betrachte u = x − y √ n ∈ Q( √ n).)
(ii) Z[ √ n] := {x + y √ n: x, y ∈ Z} ist ein Unterring von Q( √ n).
(iii) Die Funktion g(u) = |uu| ist für n = −1, −2, 2 eine Gradfunktion für R.
(iv) Der Ring Z[ √ −5] ist kein Hauptidealring. (Hinweis: Benütze 9 = 3·3 = (2+ √ −5)(2−
√ −5) um zu zeigen, dass 3Z[
√ −5] zwar maximal in der Menge aller Ideale der Form
xZ[ √ −5], d.h. in der Menge aller Hauptideale ist, aber nicht prim ist.)
Übung 2.3.5.
(i) Man zeige: Z[ √ −3] ist kein Hauptidealring.
(ii) Ist Z[ √ −3] ein euklidischer Ring

46 2 Ringe
(iii) Man zeige, dass die Einheiten von Z[ √ −3] genau die Elemente a + b √ −3 ∈ Z[ √ −3]
sind mit a 2 + 3b 2 = 1.
Übung 2.3.6. Man berechne den ggT von
in Q[X].
f = X 3 + X 2 + X − 3 und g = X 6 − X 5 + 6X 2 − 13X + 7
Übung 2.3.7. (i) Betrachte den Ring R := Z[X]/(X 4 + 1)Z[X] und setze x := X + (X 4 +
1)Z[X] ∈ R. Berechne die ganzen Zahlen c i in
(
3∑
3∑
) ( 3∑
)
c i x i = a i x i b i x i
i=0
i=0
i=0
in Abhängigkeit von den vorgegebenen ganzen Zahlen a i und b i .
(ii) Sei K ein Körper und f ∈ K[X]\{0}. Zeige: Jede Nebenklasse von K[X]/fK[X] enthält
genau ein Element g ∈ K[X] mit g = 0 oder deg(g) < deg(f).
(iii) Sei L ein Körper und K ein Unterkörper von L (man spricht dann von einer
Körpererweiterung K ⊆ L). Seien weiter f, g ∈ K[X]. Zeige: Der ggT von f und
g, betrachtet als Elemente von K[X] ist gleich dem ggT von f und g, betrachtet als
Elemente von L[X].
Übung 2.3.8. Zeige, dass Z[i] := {x + iy | x, y ∈ Z} ein Unterring von C ist, und dass
g : Z[i] → N 0 mit
g(x + iy) = x 2 + y 2 = |x + iy| 2
eine Gradabbildung ist, durch die Z[i] zu einem euklidischen Ring wird.
Übung 2.3.9 (Euklidischer Algorithmus).
1. Es seien die ganzen Zahlen x := 1234 und y := 56789 gegeben. Berechne den größten
gemeinsamen Teiler von x und y, und finde ganze Zahlen a und b mit ggT(x, y) =
a · x + b · y.
2. Es seien die Polynome p := X 6 + 3 X 4 − 2 und q := 2 X 5 + 4 X 3 + 2 X gegeben.
Berechne den größten gemeinsamen Teiler von p und q in R[X], und finde Polynome
g und f aus R[X] mit ggT(p, q) = f · p + g · q.
Übung 2.3.10. Sei R ein Integritätsbereich und a ∈ R \ {0} keine Einheit. Zeige, dass das
von a und X erzeugte Ideal in R[X] kein Hauptideal ist.
Bemerkung: Dies zeigt, dass R[X] nur dann ein Hauptidealring sein kann, wenn R schon
ein Körper ist. In diesem Fall ist R[X] sogar ein euklidischer Ring, also insbesondere ein
Hauptidealring.
2.4 Faktorielle Ringe
Definition 2.4.1. Sei R ein Integritätsbereich. Dann heißt R ein faktorieller
Ring, wenn jede Nicht-Einheit 0 ≠ r ∈ R \ Unit(R) sich als Produkt von Primelementen
schreiben lässt.
Proposition 2.4.2. Sei R faktoriell und r ∈ R \ Unit(R). Wenn r = p 1 · · · p k =
q 1 · · · q l mit p i , q j prim ist, dann gilt k = l und es gibt eine bijektive Zuordung
{p 1 , . . . , p k } → {q 1 , . . . , q l }, p i ↦→ q ji mit q ji assoziiert zu p i .

2.4 Faktorielle Ringe 47
Beweis. Idee: Man zeigt, dass p 1 assoziiert zu einem q j ist und wendet Induktion über
die Anzahl der Primfaktoren an.
Weil p 1 | q 1 (q 2 · · · q l ), gilt p 1 | q 1 oder p 1 | q 2 · · · q l , d.h. letztendlich finden wir
ein q j mit p 1 | q j . Es gibt also ein a ∈ R mit p 1 a = q j . Da aber auch q j prim ist,
folgt aus Proposition 2.2.13, dass a ∈ Unit(R). Also sind p 1 und q j assoziiert. Wir
setzen j 1 := j und können o.B.d.A. annehmen, dass j 1 = 1.
Wenn k = 1, dann ist r = p 1 prim und l = 1, da das Produkt von Nichteinheiten
keine Einheit sein kann.
Wenn k > 1, dann können wir schreiben r = p 1 r ′ mit r ′ = p 2 · · · p k . Dann gibt
es eine Einheit u ∈ R mit up 1 = q 1 , also r ′ = uq 2 · · · q l und die Behauptung folgt
mit Induktion.
⊓⊔
Man sieht sofort, dass man jedes von Null verschiedene Element in einem faktoriellen
Ring in der Form up 1 · · · p k mit u ∈ Unit(R) und p i prim schreiben kann.
Satz 2.4.3. Sei R ein euklidischer Ring. Dann ist R faktoriell.
Beweis. Idee: Induktion über den Grad von r, Teilen mit Rest und Lemma 2.3.8.
Sei r ∈ R. Wir wollen zeigen, dass r entweder eine Einheit ist oder sich als
Produkt r = p 1 · · · p k von Primelementen p 1 , . . . , p k ∈ R schreiben lässt. Dazu
machen wir eine Induktion über den Grad g(r) von r, d.h. wir nehmen an, dass
jedes Element von kleinerem Grad entweder eine Einheit ist oder als Produkt von
Primelementen geschrieben werden kann.
Wenn r eine Einheit oder ein Primelement ist, ist nichts mehr zu zeigen. Daher
können wir annehmen, dass 0 ≠ r ∈ R \ Unit(R) kein Primelement ist. Dann gibt
es a, b ∈ R mit r|ab, nicht aber r|a oder r|b.
Man kann a und b so wählen kann, dass g(a), g(b) < g(r). Um das einzusehen,
teilen wir a und b mit Rest durch r und finden
a = cr + a ′ , b = dr + b ′
mit a ′ ≠ 0 ≠ b ′ sowie g(a ′ ), g(b ′ ) < g(r). Außerdem gilt r|a ′ b ′ , nicht aber r|a ′ oder
r|b ′ . Mit anderen Worten, a ′ und b ′ haben die gewünschten Eigenschaften.
Wir wählen jetzt a und b mit den genannten Eigenschaften so, dass g(a) minimal
ist. Weil a und b keine Einheiten sind (andernfalls hätte man r|b bzw. r|a) folgt aus
g(a), g(b) < g(r), dass sich a und b als Produkte von Primelementen schreiben
lassen:
a = p 1 · · · p k , b = q 1 · · · q l .
Schreibe jetzt ab = rs mit s ∈ R. Weil p 1 prim ist, folgt p 1 |r oder p 1 |s. Wir
zeigen, dass der Fall p 1 |s nicht auftreten kann: Dazu schreibt man a = p 1 a ′ und
s = p 1 s ′ . Dann gilt rp 1 s ′ = rs = ab = p 1 a ′ b, also rs ′ = a ′ b. Beachte, dass a kein
Teiler von a ′ sein kann, weil ar ′ = a ′ die Gleichung p 1 r ′ a ′ = a ′ , also p 1 r ′ = 1 zur
Folge hätte. Dann wäre p 1 eine Einheit im Widerspruch zur Voraussetzung, dass
p 1 prim ist. Also haben wir a ′ |a und a̸ | a ′ , sodass Lemma 2.3.8 die Ungleichung
g(a ′ ) < g(a) liefert. Da aber r|a ′ b sowie r̸ | b und r̸ | a ′ (andernfalls gälte r|a), ist
dies ein Widerspruch zur Minimalität von g(a).
Wir haben also jetzt gezeigt, dass p 1 |r, d.h. es gibt ein r 1 ∈ R mit r = p 1 r 1 .
Dann gilt r 1 |r und wie zuvor sieht man, dass r 1̸ | r, weil p 1 keine Einheit ist. Also
liefert Lemma 2.3.8 diesmal, dass g(r) > g(r ′ ). Also r 1 entweder eine Einheit oder
das Produkt von Primelementen. Aber dann ist r = p 1 r ′ in jedem Falle ein Produkt
von Primelementen.
⊓⊔

48 2 Ringe
Allgemeiner kann man zeigen, dass jeder Hauptidealring faktoriell ist.
Bemerkung 2.4.4. Sei K ein Körper, dann ist K[X] nach Beispiel 2.3.4(ii) euklidisch,
also nach Satz 2.4.3 faktoriell. Ein Polynom vom Grad größer Null in K[X]
ist also genau dann prim, wenn es nicht als Produkt von zwei Polynomen vom Grad
größer Null geschrieben werden kann.
⊓⊔
Definition 2.4.5. Sei K ein Körper. Ein Polynom in K[X 1 , . . . , X k ], das nicht als
Produkt von zwei Polynomen vom Grad größer Null geschrieben werden, kann nennt
man auch irreduzibel.
Im Prinzip ist die Definition auch sinnvoll, wenn man K durch einen Integritätsbereich
ersetzt. Man verallgemeinert den Begriff Irreduzibilität für Elemente
von Integritätsbereichen (insbesondere Polynomringen über Integritätsbereichen)
aber in der folgenden Form: Sei R ein Integritätsbereich und a ∈ R keine Einheit.
Dann heißt a irreduzibel, wenn man a nicht in der Form a = rs schreiben kann,
wobei weder r ∈ R noch s ∈ R eine Einheit von R ist.
Diese Definition ist kompatibel mit der von irreduziblen Polynomen über Körpern,
weil die Einheiten in K[X] genau die von Null verschiedenen Elemente von K sind.
Andererseits ist für R = Z[X] das Element a = 2X reduzibel, weil 2 ∈ Z[X] keine
Einheit ist, obwohl man a nicht als Produkt von zwei Polynomen vom Grad größer
als Null schreiben kann.
Lemma 2.4.6. Sei R kommutativ und p ∈ R prim. Dann ist pR[X] ein Primideal
in R[X].
Beweis. Idee: Betrachte den kanonischen Homomorphismus ϕ: R → R/pR und ∑ a j X j ↦→
∑ ϕ(aj )X j , dann zeige, dass R[X]/pR[X] ein Integritätsbereich ist.
Sei ϕ: R → R/pR der kanonische Homomorphismus und ˜ϕ: R[X] → (R/pR)[X]
definiert durch ∑
aj X j ↦→ ∑ ϕ(a j )X j .
Dann ist ˜ϕ ein surjektiver Homomorphismus mit Kern
{ ∑ ∣ }
ker ˜ϕ = aj X j ∣∣ aj ∈ pR = pR[X].
Also (vgl. Übung 2.1.4) faktorisiert ˜ϕ zu einem Isomorphismus
R[X]/pR[X] ∼ = (R/pR)[X].
Insbesondere ist nach Proposition 2.2.10 und Proposition 2.2.4 (R/pR)[X] ein Integritätsbereich,
weil pR prim ist. Also ist auch R[X]/pR[X] ein Integritätsbereich,
und wieder mit Proposition 2.2.10 schließen wir, dass pR[X] prim in R[X] ist. ⊓⊔
Die Bemerkung nach Proposition 2.2.13 zeigt, dass in der Situation von Lemma
2.4.6 das Primelement p ∈ R, betrachtet als Element von R[X], auch prim
ist.
Definition 2.4.7. Sei R faktoriell. Ein Polynom f ∈ R[X] heißt primitiv, wenn
die Koeffizienten von f teilerfremd sind, d.h. es gibt kein Primelement p ∈ R, das
alle Koeffizienten teilt.

2.4 Faktorielle Ringe 49
Wenn f = ∑ k
j=0 a jX j und g = ∑ m
j=0 b jX j . Für p ∈ R gilt die Gleichheit f = pg
genau dann, wenn k = m und
∀j = 0, . . . , k : a j = pb j .
Dies zeigt, dass p genau dann alle Koeffizienten von f teilt, wenn p|f in R[X] gilt.
Lemma 2.4.8. Sei R faktoriell und f, g ∈ R[X] primitiv. Dann ist auch fg primitiv.
Beweis. Sei p ∈ R prim und p|fg. Da nach Lemma 2.4.6 p auch als Element von
R[X] prim ist, folgt p|f oder p|g im Widerspruch zur Primitivität von f und g. ⊓⊔
Lemma 2.4.9 (Gauß–Lemma).
von R. Weiter sei f ∈ K[X].
Sei R faktoriell und K der Quotientenkörper
(i) f = c(f)f 1 mit c(f) ∈ K und f 1 ∈ R[X] primitiv. Dabei ist c(f) bis auf
Vielfache in Unit(R) eindeutig bestimmt.
(ii) c(fg) ∈ c(f)c(g) Unit(R).
Beweis. Idee: c(f) wird aus Zähler und Nenner der Koeffizienten von f durch eine
passende ggT-Bildung konstruiert.
(i) Sei
f =
k∑
j=0
r j
s j
X j
mit r j , s j ∈ R und d := s 0 · · · s k . Dann gilt df ∈ R[X]. Wenn d ′ ein ggT
von d r 0
s 0
, . . . , d r k
sk
und a := d d
ist, dann ist f ′ 1 = af primitiv. Dies zeigt die
Existenzaussage. Für die Eindeutigkeit nehmen wir an
f = cf 1 = ˜c ˜f 1
mit f 1 , ˜f 1 ∈ R[X] primitiv und c, ˜c ∈ K. Wir schreiben c = a ã
b
und ˜c = mit
˜b
a, b, ã,˜b ∈ R. Dann sind a˜b und ãb ggT’s der Koeffizienten von g := a˜bf 1 = ãb ˜f 1 .
Also gibt es ein u ∈ Unit(R) mit a˜b = uãb, das dann c = u˜c erfüllt.
(ii) Wenn f = c(f)f 1 und g = c(g)g 1 , dann gilt fg = c(f)c(g)f 1 g 1 und f 1 g 1 ist nach
Lemma 2.4.8 primitiv. Damit folgt die Behauptung aus der Eindeutigkeitsaussage
von Teil (i).
Man nennt das Element c(f) ∈ K für f ∈ K[X] den Inhalt von f. Der Inhalt ist
nur bis auf Vielfache in den Einheiten von R bestimmt (ähnlich wie der ggT). Wenn
f ∈ R[X], dann kann man f = rf 1 mit r ∈ R und f 1 ∈ R[X] primitiv schreiben
indem man einen ggT der Koeffizienten von f ausklammert. Insbesondere ist also
der Inhalt eines Polynoms in R[X] ein Element von R.
⊓⊔
Lemma 2.4.10. Sei R faktoriell und K der Quotientenkörper von R. Weiter sei
f ∈ R[X].
(i) Wenn deg(f) = 0, dann ist f genau dann prim, wenn es prim als Element von
R ist.
(ii) Wenn deg(f) > 0, dann ist f genau dann prim, wenn f primitiv ist und irreduzibel
(d.h. prim) in K[X].

50 2 Ringe
Beweis. Idee: Man führt das auf Lemma 2.4.6 und das Gauß–Lemma 2.4.9 zurück.
(i) Wenn f ∈ R[X] Grad Null hat und prim in R[X] ist, ist es automatisch prim
auch in R. Die Umkehrung folgt aus Lemma 2.4.6.
(ii) Wir nehmen an, f ∈ R[X] sei prim und f = rf 1 mit r ∈ R und f 1 ∈ R[X]
primitiv. Dann gilt f|f 1 weil f|r wegen Grad f > 0 nicht möglich ist. Mit
Proposition 2.2.13(i) folgt r ∈ Unit(R), d.h. f ist primitiv.
Wenn f = gh mit g, h ∈ K[X] mit deg(g), deg(h) > 0, dann gilt c(g)c(h) ∈ R,
d.h. es gibt ein r ∈ R und primitive Polynome positiven Grades g 1 , h 1 ∈ R[X]
mit f = rg 1 h 1 im Widerspruch dazu, dass f prim ist. Also ist f irreduzibel in
K[X].
Umgekehrt nehmen wir jetzt an, dass f primitiv ist und irreduzibel in K[X]. Es
gelte f|gh mit g, h ∈ R[X]. Da f als Element von K[X] prim ist (Bemerkung
2.4.4), können wir o.B.d.A. annehmen, dass f|g in K[X]. Also gibt es ein k ∈
K[X] mit fk = g. Da f primitiv ist, gilt c(g) ∈ c(k) Unit(R), also c(k) ∈ R und
schließlich k ∈ R[X]. Damit haben wir f|g auch in R[X].
⊓⊔
Satz 2.4.11 (Gauß). Sei R ein faktorieller Ring. Dann ist auch der Polynomring
R[X] faktoriell.
Beweis. Idee: Kombiniere Lemma 2.4.10 mit dem Gauß–Lemma 2.4.9.
Sei 0 ≠ f ∈ R[X]. Dann haben wir f = f 1 · · · f k mit f j ∈ K[X] irreduzibel (und
wir können die Zerlegung so wählen, dass deg(f j ) > 0 für j > 1). Wir schreiben
f i = c(f i )g i mit g i ∈ R[X] primitiv. Dann sind die g i immer noch irreduzibel
in K[X], also prim in R[X] nach Lemma 2.4.10. Wegen Lemma 2.4.9 gilt c :=
c(f 1 ) · · · c(f k ) ∈ c(f) Unit(R) ⊆ R und wir schreiben c = p 1 · · · p l mit p i prim in R
falls c keine Einheit ist. Wieder mit Lemma 2.4.10 sehen wir, dass die diejenigen p i
mit deg(g i ) > 0 prim in R[X] sind. Falls deg(g 1 ) = 0 gilt g 1 ∈ Unit(R), d.h. wir
können annehmen, dass g 1 = 1. Zusammen haben wir die f = c ∈ Unit(R) falls
k = 1 und c = c(f 1 ) ∈ Unit(R) ist oder Zerlegungen in Primelemente der folgenden
Form ⎧
p 1 · · · p l g 1 · · · g k falls deg(g 1 ) > 0 und c ∉ Unit(R),
⎪⎨
(cg 1 )g 2 · · · g k falls deg(g 1 ) > 0 und c ∈ Unit(R),
f =
p 1 · · · p l g 2 · · · g k falls deg(g 1 ) = 0 und c ∉ Unit(R),
⎪⎩
(cg 2 )g 3 · · · g k falls deg(g 1 ) = 0 und c ∈ Unit(R).
.
⊓⊔
Übung 2.4.1 (Ringtypen). Ordne die Begriffe Ring, kommutativer Ring, Körper, Integritätsbereich,
Hauptidealring, euklidischer Ring, faktorieller Ring in einem Diagramm
an. Bestimme Beispiele für die einzelnen Ringe. Welche Eigenschaften vererben sich von
einem Ring auf den Polynomring in einer/mehreren Veränderlichen
Übung 2.4.2. Sei R faktoriell und K der Quotientenkörper von R, f ∈ R[X] und g ∈
K[X]. Zeige: Wenn die höchsten Koeffizienten von f und g gleich 1 sind und g|f, dann ist
g ∈ R[X].
Übung 2.4.3. Es sei Z[i] := {a + bi | a, b, ∈ Z; i 2
Zahlen).
= −1} (Ring der ganzen Gaußschen

2.4 Faktorielle Ringe 51
(i) Man beweise, dass dieser Ring mit der Norm g(a + bi) := a 2 + b 2 euklidisch ist (Rechnung
ausführen!).
(ii) Ist Z[i] faktoriell
(iii) Man bestimme die Einheitengruppe von Z[i]. (Hinweis: Man überlege, wie Inverse
gebildet werden in Zusammenhang mit der Norm.)
Übung 2.4.4. Sei n ∈ Z mit n /∈ {k 2 |k ∈ Z} und √ n ∈ C eine Wurzel von n. Sei Z[ √ n] =
{a + b √ n | a, b ∈ Z} wie in Übung 2.3.4.
1. Zeige, dass die Normabbildung
N : Z[ √ n] → N, x = a + b √ n → N(x) := |a 2 − nb 2 |
die Eigenschaft N(xy) = N(x)N(y) erfüllt für alle x, y ∈ Z[ √ n].
2. Zeige: x ∈ Z[ √ n] × genau dann, wenn N(x) = 1.
3. Zeige, dass Z[ √ −5] nicht faktoriell ist.
Hinweis: Zeige, dass 3 ∈ Z[ √ −5] irreduzibel aber nicht prim ist, vgl. Übung 2.2.11
Übung 2.4.5 (Teilbarkeit). Sei R faktoriell und K der Quotientenkörper von R, f ∈ R[X]
und g ∈ K[X]. Zeige: Wenn die höchsten Koeffizienten von f und g gleich 1 sind und g|f
in K[X], dann ist g ∈ R[X].
Übung 2.4.6 (Irreduzibilitätkriterium). Sei ϕ : R → S ein Homomorphismus von Integritätsbereichen
R, S. Zeige:
1. Die Abbildung
˜ϕ : R[X] → S[X], f =
n∑
c iX i ↦→ ˜ϕ(f) :=
i=0
n∑
ϕ(c i)X i
ist ein Ringhomomorphismus.
2. Sei f ∈ R[X] primitiv und deg( ˜ϕ(f)) = deg(f) > 0. Ist ˜ϕ(f) irreduzibel, so ist f
irreduzibel.
3. f = X 4 + 3X 3 + X 2 − 2X + 1 ist irreduzibel in Z[X].
Übung 2.4.7 (Primelemente). Sei R ein faktorieller Ring. Zeige, dass es in R[X] unendlich
viele normierte Polynome gibt, die prim sind.
i=0

3
Moduln
In diesem Kapitel werden elementare Strukturaussagen für Moduln bewiesen. Moduln
verallgemeinern sowohl das Konzept des Vektorraums (indem man von den
Skalaren nur verlangt, dass sie aus einem Ring kommen), das Konzept der abelschen
Gruppe (auf denen man automatisch eine skalare Multiplikation mit ganzen
Zahlen hat), als auch das Konzept eines Ideals (mit den Ringelementen als Skalaren).
Kanonisch ergeben sich aus der Definition eines Moduls die Begriffe Untermodul,
Quotientenmodul und Modulhomomorphismus. Weitere Begriffsbildungen wie die
Basen und freie Moduln werden aus den speziellen Beispielen durch Abstraktion gewonnen.
Ein wesentliches Resultat dieses Kapitels ist die kanonische Zerlegung eines
endlich erzeugten Moduls als direkte Summe von zyklischen Moduln, aus der man
diverse Resultate über Normalformen von linearen Abbildungen auf Vektorräumen
ableiten kann.
3.1 Die Modulaxiome
Definition 3.1.1. Sei R ein Ring. Ein Links-R-Modul (oder einfach R-Modul)
M ist eine abelsche Gruppe mit einer Abbildung
die folgenden Bedingungen genügt:
R × M → M, (r, m) ↦→ rm,
(i) (r 1 r 2 )m = r 1 (r 2 m) für alle r 1 , r 2 ∈ R und alle m ∈ M.
(ii) (r 1 + r 2 )m = r 1 m + r 2 m für alle r 1 , r 2 ∈ R und alle m ∈ M.
(iii) r(m 1 + m 2 ) = rm 1 + rm 2 für alle m 1 , m 2 ∈ M und alle r ∈ R.
(iv) 1m = m für alle m ∈ M.
Beispiel 3.1.2. (i) (M, +) abelsche Gruppe. Dann ist M ein Z-Modul via
⎧
⎪⎨
n · a =
⎪⎩
a + . . . + a
} {{ }
n−mal
n ∈ N
0 n = 0
−n ∈ N
− (a + . . . + a)
} {{ }
(−n)−mal
(ii) Jeder K-Vektorraum V ist ein K-Modul bzgl. der Vektorraum-Operationen.

54 3 Moduln
(iii) Sei V ein K-Vektorraum und ϕ ∈ End K (V ) = Hom K (V, V ). Dann ist V ein
K[X]-Modul via ( ∑
aj X j) v := ∑ a j ϕ j (v).
(iv) Sei V ein K-Vektorraum. Dann ist V ein End(V )-Modul bzgl. ϕv := ϕ(v).
(v) Sei R ein Ring, dann macht die Ringmultiplikation R zu einem R-Modul.
(vi) Sei R ein Ring und I ein Ideal in R. Dann ist der Quotientenring R/I bzgl.
r(s+I) := rs+I ein R-Modul. Die R-Moduln von dieser Form heißen zyklisch.
(vii) Sei ψ : R → S ein Ringhomomorphismus und M ein S-Modul. Dann ist M ein
R-Modul via rm := ψ(r)m.
(viii) Sei Ω ⊆ R n eine offene Teilmenge und C ∞ (Ω, R m ) der Vektorraum aller glatten
Abbildungen von Ω nach R m . Dann ist C ∞ (Ω, R) ein Ring bzgl. der punktweisen
Addition und Multiplikation und C ∞ (Ω, R m ) ein C ∞ (Ω, R)-Modul bzgl. der
punktweisen Addition und skalaren Multiplikation. Außerdem ist C ∞ (Ω, R m )
ein R[X 1 , . . . , X n ]-Modul via
X 1 f = ∂f
∂x 1
, . . . , X n f = ∂f
∂x n
.
⊓⊔
Bemerkung 3.1.3. (i) Wenn R ein Körper ist, dann sind die Links-R-Moduln
gerade die R-Vektorräume.
(ii) Ganz analog definiert man Rechts-R-Moduln. Das Assoziativgesetz ist dann
x · (rs) = (x · r) · s und man sieht, dass für kommutative Ringe jeder Links-
Modul ein Rechts-Modul wird, wenn man nur das Ringelement auf die andere
Seite schreibt. Für kommutative Ringe ist die Verkürzung von Links-Moduln zu
Moduln daher ungefährlich. Wenn der Ring nicht-kommutativ ist, sollte man
explizit anmerken, wenn man Rechts-Moduln betrachtet.
⊓⊔
Beispiel 3.1.4. (i) Z n ist ein Z-Modul via z · (Z 1 , . . . , Z n ) = (zZ 1 , . . . , zZ n ).
(ii) Beispiel (i) verallgemeinert sich für jeden Ring R (Links-Modul).
(iii) C(R) ist ein C ∞ (R)-Modul.
(iv) Sei R ein Ring. Dann ist R bzgl. der Multiplikation von rechts auch ein Rechts-
R-Modul.
⊓⊔
Definition 3.1.5. Sei R ein Ring und M, N seien Links-R-Moduln. Eine Abbildung
ϕ: M → N heißt ein R-Modulhomomorphismus, wenn für alle r 1 , r 2 ∈ R und
m 1 , m 2 ∈ M gilt
ϕ(r 1 m 1 + r 2 m 2 ) = r 1 ϕ(m 1 ) + r 2 ϕ(m 2 ).
Die Menge der R-Modulhomomorphismen M → N wird mit Hom R (M, N) bezeichnet.
Eine Teilmenge U ⊆ M heißt ein Untermodul von M, wenn U − U ⊆ U und
RU ⊆ U gilt.
Beispiel 3.1.6. (i) Sei R ein Ring und I ein Ideal in R. Dann ist I ein Untermodul
des R-Moduls R. Umgekehrt ist in einem kommutativen Ring jeder Untermodul
von dieser Form.

3.1 Die Modulaxiome 55
(ii) Seien V und W zwei K-Vektorräume. Dann ist jede K-lineare Abbildung ϕ: V →
W ein K-Modulhomomorphismus.
(iii) Die Verknüpfung von Modulhomomorphismen ist ein Modulhomomorphismus.
(iv) Das Inverse eines bijektiven Modulhomomorphismus ist ein Modulhomomorphismus
(Isomorphismus).
(v) Sei ϕ: M → N ein Modulhomomorphismus sowie M ′ ⊆ M und N ′ ⊆ N Untermoduln.
Dann ist ϕ −1 (N ′ ) ein Untermodul von M und ϕ(M ′ ) ein Untermodul
von N. Insbesondere ist der Kern ker ϕ := ϕ −1 (0) ein Untermodul von M und
das Bild im ϕ := ϕ(M) ein Untermodul von N.
(vi) Betrachte R als Links- oder Rechts-R-Modul. Wenn I ⊆ R ein Untermodul ist,
dann heißt I ein Links- bzw. Rechts-Ideal.
⊓⊔
Bemerkung 3.1.7. (i) Wenn R ein Körper ist, reduzieren sich die Begriffe Untermodul
und Modulhomomorphismus zu ”
Untervektorraum“ und ”
Lineare Abbildung“.
(ii) Wenn R = Z ist, dann ist jede Untergruppe auch Untermodul und jeder Gruppenhomomorphismus
auch Modulhomomorphismus.
⊓⊔
Beispiel 3.1.8. (i) C k (R) ist C ∞ (R)-Untermodul von C(R).
(ii) {(r 1 , . . . , r k , 0, . . . , 0) | r j ∈ R} ist ein Untermodul von R n .
(iii) ρ r : R → R, s ↦→ s · r ist Modulhomomorphismus.
(iv) Die Ableitung
D : C ∞ (R) → C ∞ (R)
f ↦→ df
dt
ist R-Modulhomomorphismus, nicht aber C ∞ (R)-Modulhomomorphismus.
{ ( ) ∣∣∣
a 0
}
(v)
a, c ∈ R ist Links-Ideal in Mat(2 × 2, R), nicht aber Rechts-Ideal.
c 0
⊓⊔
Übung 3.1.1. Sei M ein R-Modul und N ein Untermodul von M. Weiter sei
die Menge aller N-Nebenklassen. Zeige:
(i) M/N ein R-Modul via
M/N := {m + N | m ∈ M}
r(m + N) = rm + N, (m 1 + N) + (m 2 + N) = (m 1 + m 2) + N.
(ii) Die Abbildung π : M → M/N, m ↦→ m + N ist surjektiver R-Modulhomomorphismus
mit Kern N.
(iii) Sei ϕ: M → L ein R-Modulhomomorphismus mit Kern N. Dann ist im ϕ = ϕ(M)
isomorph zu M/N.
Man nennt M/N den Quotientenmodul oder Faktormodul von M nach N.
Übung 3.1.2. Sei M eine R-Modul und I ein Ideal in R. Zeige:
(i) IM = { ∑ endl. r jm j : r j ∈ I, m j ∈ M} ein Untermodul von M.

56 3 Moduln
(ii) M/IM ist ein R/I-Modul via
(r + I)(m + IM) = rm + IM, (m 1 + IM) + (m 2 + IM) = (m 1 + m 2 ) + IM.
Übung 3.1.3. Sei M eine R-Modul und N ⊆ P Untermoduln von M. Zeige:
(i) N ein Untermodul von P .
(ii) P/N ist ein Untermodul von M/N.
(ii) M/P ist isomorph zu (M/N)/(P/N) als R-Modul.
Übung 3.1.4. Ein Modul M über einem Ring R heißt einfach, falls er nicht der Nullmodul
ist und keine echten Untermoduln enthält.
1. Man zeige, dass ein einfacher Modul zu R/I (als R-Modul) isomorph ist, wobei I ein
maximales Links-Ideal ist.
2. Man beweise das Schursche Lemma: Sei ϕ : M → N ein Homomorphismus von einfachen
R-Moduln. Dann ist entweder ϕ gleich Null oder ϕ ist ein Isomorphismus.
3.2 Basen und freie Moduln
Definition 3.2.1. Sei M ein Links-R-Modul und E ⊆ M eine Teilmenge. Dann
heißt
〈E〉 := ⋂ {N ⊆ M | E ⊆ N, N Untermodul}
der von E erzeugte Links-R-Modul.
Endliche Summen der Form ∑ r j m j mit r j ∈ R und m j ∈ M bezeichnen wir
als R-Linearkombinationen.
Proposition 3.2.2. Sei M ein Links-R-Modul. Für E ⊂ M gilt
{ }
∑
〈E〉 = r j e j | r j ∈ R, e j ∈ E .
endl.
Beweis. Die rechte Seite ist offensichtlich ein Untermodul, der E enthält (wegen
1 ∈ R). Aber dann liefert die Definition, dass 〈E〉 in der rechten Seite enthalten ist.
Umgekehrt enthält jeder Untermodul mit E auch alle R-Linearkombinationen von
E. ⊓⊔
Definition 3.2.3. Sei R ein Ring und M ein Links-R-Modul sowie E ⊆ M. Man
sagt, E erzeugt M oder spannt M auf, wenn 〈E〉 = M. Wenn M von einer
endlichen Teilmenge aufgespannt wird, so heißt M endlich erzeugt. Die Menge
E heißt R-unabhängig, wenn (∀n ∈ N)(∀r i ∈ R)(∀m j ∈ E paarweise verschieden)
gilt
r 1 m 1 + . . . + r n m n = 0 ⇒ r 1 = . . . = r n = 0.
Wenn E den Modul M erzeugt und R-unabhängig ist, dann heißt E eine R-Basis
von M. Dies ist äquivalent dazu, dass jedes Element von M auf genau eine Weise
(bis auf die Reihenfolge) als R-Linearkombination der Basiselemente geschrieben
werden kann. Schließlich heißt M heißt ein freier (Links-)R-Modul, wenn es eine
R-Basis für M gibt.

3.2 Basen und freie Moduln 57
Beispiel 3.2.4. (i) Wenn R = K ein Körper ist, dann reduzieren sich die Begriffe
erzeugen“ und R–unabhängig“ auf die Begriffe aufspannen“ und linear
” ” ” ”
unabhängig“ aus der Theorie der Vektorräume. Jeder K-Vektorraum, d.h. K-
Modul, ist frei (das folgt aus dem Lemma von Zorn).
(ii) R n = {(r 1 , . . . , r n ) | r j ∈ R} mit der offensichtlichen R-Modulstruktur ist frei
mit Basis
{(1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, 1)}
{ ( ) ∣∣∣
a 0
}
(iii) R = Mat(2 × 2, R), M =
a, b ∈ R . Gäbe es eine R-Basis E für M,
b 0
so wäre 2 = dim R M ≥ |E| · dim R R = 4|E|. Also ist M nicht frei.
(iv) Ein von Null verschiedener freier R-Modul hat mindestens so viele Elemente
wie R. Also ist z.B. der Z-Modul Z/nZ nicht frei, d.h. er hat keine Basis.
Proposition 3.2.5. In endlich erzeugten freien Moduln über kommutativen Ringen
gilt die Invarianz der Basislänge. Genauer gesagt, je zwei endliche Basen haben
gleich viele Elemente. Insbesondere ist n durch M = R n festgelegt.
Beweis. Idee: Faktorisiere ein maximales Ideal von R und führe so die Proposition auf
den entsprechenden Satz für Vektorräume zurück.
Wenn {m 1 , . . . , m k } eine Basis für M ist, dann ist
η : R k → M, (r 1 , . . . , r k ) ↦→
k∑
r j m j
ein Modulisomorphismus. Nach dem Lemma von Zorn 1 gibt es ein maximales Ideal
I ✂ R (die Vereinigung einer Kette von echten Idealen ist ein echtes Ideal). Die
Menge IM := { ∑ endl. i αm α | i α ∈ I, m α ∈ M} ist ein R-Untermodul von M und
die induzierte Abbildung
j=1
¯η : M/IM → R k /IR k , m + IM ↦→ η(m) + IR k
ist ein bijektiver R-Modulhomomorphismus. Da Multiplikation mit Elementen aus I
auf beiden Seiten immer Null liefert, kann man ¯η auch als R/I-Modulhomomorphismus
interpretieren. Die Maximalität von I zeigt nach Proposition 2.2.10, dass R/I ein
Körper ist, d.h. ¯η ist ein Vektorraumisomorphismus. Aber auch
ψ k : R k /IR n → (R/I) k , (r 1 , . . . , r k ) + IR k ↦→ (r 1 + I, . . . , r n + I)
ist ein R/I-Modulisomorphismus ist, d.h. ein Vektorraumisomorphismus. Damit
erhält man dim R/I (M/IM) = k und k ist durch M und I festgelegt. Also stimmen
die Längen zweier endlicher Basen überein.
⊓⊔
Man nennt n den Rang des Moduls. Man kann Beispiele für nichtkommutative
Ringe R finden, über denen alle freien Moduln R n mit n ≥ 1 isomorph sind.
Satz 3.2.6. Sei M ein Links-R-Modul und E ⊂ M. Dann sind folgende Aussagen
äquivalent:
1 Lemma (Zorn). Sei (M, ≤) eine partiell geordnete Menge, für die jede nichtleere total
geordnete Teilmenge (Kette) eine obere Schranke hat. Dann gibt es ein maximales
Element in M.

58 3 Moduln
(1) M ist frei mit Basis E.
(2) Zu jedem Links-R-Modul V und zu jeder Abbildung ϕ : E → V gibt es genau
einen R-Modulhomomorphismus ϕ : M → V mit ϕ| E = ϕ, d.h.
E
∀ϕ
V
M
∃!ϕ
Beweis. Idee: Die Richtung ”
(1) ⇒ (2)“ erhält man durch R-lineare Fortsetzung. Für
die Umkehrung liefern spezielle Abbildungen E → V die lineare Unabhängigkeit von E.
Dass der von E aufgespannte Modul N gleich M ist sieht man, wenn man die Nullabbildung
E → M/N mit (2) nach M anhebt.
” (1) ⇒ (2)“: ϕ(Σr jm j ) := Σr j ϕ(m j ) für m j ∈ E.
” (2) ⇒ (1)“: Wir zeigen zunächst die R–Unabhängigkeit von E: Zu m 1, . . . , m n ∈
E, r 1 , . . . , r n ∈ R mit Σr j m j = 0 wähle V = R und ϕ j : E → V mit
{
1 m = mj
ϕ j (m) =
0 sonst.
Dann rechnet man ϕ i (Σr j m j ) = Σr j ϕ i (m j ) = r i und dies liefert mit ϕ i (0) = 0
die R-Unabhängigkeit von E. Um 〈E〉 = M zu zeigen, setze N := 〈E〉 und
betrachte den Faktormodul M/N = {m + N | m ∈ M}. Die R-Modulstruktur
von M/N ist durch r · (m + N) = (r · m) + N gegeben. Wende (2) auf
ϕ : E → M/N, m ↦→ [0] = 0 + N
an. Die Abbildungen
ϕ 1 : M → M/N
m ↦→ [0]
}
und
}
ϕ 2 : M → M/N
m ↦→ m + N
sind beides R-Modulhomomorphismen, die ϕ fortsetzen (weil E ⊆ N). Also
liefert (2), dass ϕ 1 = ϕ 2 und das zeigt M = N.
Bemerkung 3.2.7. Die Bedingung (2) aus Satz 3.2.6 wird als universelle Eigenschaft
der freien Moduln bezeichnet. Universelle Eigenschaften lassen sich oft
sehr übersichtlich durch kommutative Diagramme darstellen. Dabei bedeutet
“kommutativ”, dass die Abbildungen, die man aus dem Diagramm durch Komposition
von Pfeilen zusammensetzen kann, übereinstimmen, wenn nur Anfangs– und
Endpunkt übereinstimmen.
⊓⊔
⊓⊔
Proposition 3.2.8. Sei M λ , mit λ ∈ Λ eine Familie von Links-R-Moduln. Dann
ist
{
∏
M λ := f : Λ → ⋃ ∣ }
∣∣∣
M λ f(λ) ∈ M λ
λ∈Λ
λ∈Λ
ein Links-R-Modul bzgl.

}
(r · f)(λ) = r · f(λ)
(f + f ′ )(λ) = f(λ) + f ′ (λ)
3.2 Basen und freie Moduln 59
r ∈ R, f, f ′ ∈ ∏ λ∈Λ
M λ , λ ∈ Λ,
und
{
⊕
M λ := f ∈ ∏ ∣ }
∣∣∣
M λ f(λ) = 0 für alle bis auf endlich viele λ
λ∈Λ
λ∈Λ
ist ein Untermodul von ∏ λ∈Λ
M λ .
Beweis. Routine.
Bemerkung 3.2.9. ∏ M λ heißt das direkte Produkt der M λ und ⊕ λ die
λ∈Λ
λ∈ΛM
direkte Summe der M λ . Beachte, dass die Projektionen
π λ0 : ∏ ⎫
M λ → M λ0
⎬
λ∈Λ
⎭
f ↦→ f(λ 0 )
und die Inklusionen
ι λ0 : M λ0 −→
λ∈ΛM ⊕ ⎫
λ
⎪⎬
( { )
0 ∈ Mλ λ ≠ λ
m ↦−→ λ ↦→
0 ⎪⎭
m λ = λ 0
⊓⊔
für jedes λ 0 ∈ Λ R-Modulhomomorphismen sind.
⊓⊔
Proposition 3.2.10. Seien M λ für λ ∈ Λ, M und N Links-R-Moduln.
(i) ϕ : M → ∏ λ∈Λ
M λ ist genau dann ein R-Modulhomomorphismus, wenn π λ ◦ ϕ :
M → M λ für jedes λ ∈ Λ ein R-Modulhomomorphismus ist.
(ii) Seien ψ λ : M λ → N R-Modulhomomorphismen. Dann gibt es genau einen R-
Modulhomomorphismus ψ : ⊕ λ∈ΛM λ → N mit ψ ◦ ι λ = ψ λ für alle λ ∈ Λ.
Beweis. Idee: (i) ist eine Routineverifikation. Für (ii) kann man sich zuerst die Eindeutigkeit
überlegen und findet dabei, wie ψ zu definieren ist.
(i)
ϕ(m + m ′ )(λ) = (π λ ◦ ϕ)(m + m ′ )
= (π λ ◦ ϕ)(m) + (π λ ◦ ϕ)(m ′ )
= ϕ(m)(λ) + ϕ(m ′ )(λ)
= ( ϕ(m) + ϕ(m ′ ) ) (λ)
ϕ(rm)(λ) = (π λ ◦ ϕ)(rm)
= r · ((π
λ ◦ ϕ)(m) )
( )
= r ϕ(m)(λ)
= ( r · ϕ(m) ) (λ).

60 3 Moduln
( ⊕
)
(ii) Eindeutigkeit: Wenn ψ ∈ Hom R λ , N mit ψ ◦ ι λ = ψ λ für alle λ ∈ Λ,
λ∈ΛM
dann gilt
(∑
( ) ∑ ( )
ψ(f) = ψ
ψ ◦ ι λ f(λ) = ψ λ f(λ) .
λ∈Λ
ι λ
(
f(λ)
) ) = ∑ λ∈Λ
λ∈Λ
Existenz: Setze
ψ(f) := ∑ λ∈Λ
ψ λ
(
f(λ)
)
für f ∈ ⊕ λ∈ΛM λ .
Dann gilt
ψ ◦ ι λ0 = ∑ ( (ιλ0
ψ λ (m) ) )
(λ) = ψ λ0 (m) für m ∈ M λ0
λ∈Λ
und
ψ(rf + r ′ f ′ ) = ∑ λ∈Λ
ψ λ
(
r · f(λ) + r′ · f ′ (λ) )
( ⊕
)
Korollar 3.2.11. Hom R λ , N
λ∈ΛM
∼= ∏ λ∈Λ
Hom R (M λ , N) (isomorph als abelsche
Gruppen).
= ∑ ( )
r ψ Λ f(λ) + r ′ (
ψ λ f ′ (λ) )
λ∈Λ
= r ∑ ( )
ψ ∑ (
λ f(λ) + r
′
ψ λ f ′ (λ) )
λ∈Λ
λ∈Λ
= r ψ(f) + r ′ ψ(f ′ ).
⊓⊔
Übung 3.2.1. Seien M λ für λ ∈ Λ, sowie S und P Links-R-Moduln. Zeige:
(i) Wenn es R-Modulhomomorphismen p λ : P → M λ gibt, bzgl. derer P die folgende
universelle Eigenschaft hat (für alle λ),
∃!ϕ
N
P
∀ϕ λ
M λ
p λ
dann ist P isomorph zum direkten Produkt der M λ .
(ii) Wenn es R-Modulhomomorphismen j λ : M λ → S gibt, bzgl. derer S die folgende
universelle Eigenschaft hat (für alle λ),
∃!ϕ
N
S
∀ϕ λ
j
λ
M λ
dann ist S isomorph zur direkten Summe der M λ .

3.2 Basen und freie Moduln 61
Bemerkung 3.2.12. Sei M ein Links-R-Modul und M λ , λ ∈ Λ, eine Familie von
Untermoduln. Dann heißt M die (innere) direkte Summe der M λ , wenn die von
den Inklusionen M λ ↩→ M via Proposition 3.2.10 induzierte Abbildung
ϕ : ⊕ λ∈ΛM λ −→ M
bijektiv ist. Beachte, dass das Bild von ϕ gerade
∑
{ ∑
∣ }
∣∣∣ 〈 ⋃ 〉
M λ = m λ endliche Summen, m λ ∈ M λ = M λ
λ∈Λ
λ∈Λ
ist. Die Abbildung ϕ ist genau dann bijektiv, wenn jedes Element m von M auf
genau eine Weise als (endliche) Summe
∑
m λ mit m λ ∈ M λ
λ∈Λ
geschrieben werden kann. Also ist M genau dann die (innere) direkte Summe der
M λ , wenn es R-Modulhomomorphismen
λ∈Λ
p λ : M −→ M λ
λ ∈ Λ
gibt mit
(a) m = ∑ λ∈Λ
p λ (m) für alle m ∈ M
(alle bis auf endlich viele Summanden sind Null).
(b) p λ (m) = m für alle m ∈ M λ .
Die p λ heißen kanonische Projektionen.
⊓⊔
Konstruktion 3.2.13. Sei R ein Ring und E eine Menge. Setze
M E := { f : E → R | f(e) ≠ 0 nur für endlich viele e ∈ E } = ⊕ E
R.
{
1 e = e
Die Abbildung E → M E , e ↦→ f e mit f e (e ′ ′
) :=
0 sonst
ist injektiv und wir betrachten E als Teilmenge von M E . Es ist M E ein R-Modul
bzgl.
(f 1 + f 2 )(e) := f 1 (e) + f 2 (e)
(r f)(e) := r f(e).
Sei jetzt V ein (Links-)R-Modul und ϕ : E → V eine Abbildung. Setze
ϕ(f) := ∑ e∈E
f(e)ϕ(e)
(nur endlich viele Summanden sind ungleich Null), dann ergibt sich ϕ(f e ) = ϕ(e)
und

ϕ(r 1 f 1 + r 2 f 2 ) = ∑ e∈E
62 3 Moduln
(
r1 f 1 + r 2 f 2
)
(e)ϕ(e)
= ∑ e∈E
r 1 f 1 (e)ϕ(e) + r 2 f 2 (e)ϕ(e)
= r 1 ϕ(f 1 ) + r 2 ϕ(f 2 ).
Die Eindeutigkeit von ϕ ist klar, weil sich jedes f ∈ M E als Linearkombinationen
der f e schreiben lässt. Also ist M E nach Satz 3.2.6 frei mit Basis E.
⊓⊔
Satz 3.2.14. Sei M ein freier Links-R-Modul mit Basis E. Dann gilt M ∼ = M E .
Beweis. Aus den drei kommutativen Diagrammen
E
M E
∃!ψ
∃!ϕ
M
E
M
M
∃! id
M
E
M E
M E
∃! id
ME
folgt ψ ◦ ϕ = id M und ϕ ◦ ψ = id ME .
⊓⊔
Konstruktion 3.2.13 und Satz 3.2.14 erlauben es uns, von dem freien (Links-)R-
Modul über E zu sprechen.
Lemma 3.2.15. Sei ϕ: M → M ′ ein surjektiver R-Modulhomomorphismus und
ψ : M ′ → M ein R-Modulhomomorphismus mit ϕ ◦ ψ = id M ′. Dann gilt M ∼ =
ker (ϕ) ⊕ M ′ .
Beweis. Idee: Zeige, dass M die direkte Summe von ker (ϕ) und im (ψ) ist.
Da id M ′ injektiv ist, müssen auch ψ und ϕ| im (ψ) injektiv sein. Insbesondere
ist ψ : M ′ → im (ψ) ein Isomorphismus. Es reicht jetzt zu zeigen, dass sich jedes
m ∈ M in eindeutiger Weise als m = m 1 + m 2 mit m 1 ∈ ker (ϕ) und m 2 ∈ im (ψ)
schreiben lässt (vgl. Bemerkung 3.2.12). Zunächst zeigen wir die Eindeutigkeit: Sei
also m 1 + m 2 = m ′ 1 + m ′ 2 mit m 1 , m ′ 1 ∈ ker (ϕ) und m 2 , m ′ 2 ∈ im (ψ). Wendet man
darauf ϕ an, erhält man ϕ(m 2 ) = ϕ(m ′ 2), also m 2 = m ′ 2, weil ϕ| im (ψ) injektiv ist.
Um die Existenz zu zeigen, schreiben wir m = ψ ◦ ϕ(m) + l für ein l ∈ M. Es gilt
dann
ϕ(m) = ϕ ◦ ψ ◦ ϕ(m) + ϕ(l) = ϕ(m) + ϕ(l),
also l ∈ ker (ϕ). Dies zeigt die Behauptung.
⊓⊔
Man kodiert die Voraussetzungen von Lemma 3.2.15 oft in der Form einer kurzen
exakten Sequenz
0 ker (ϕ) M ϕ M ′ 0,
∃ψ
wobei man mit exakt meint, dass an jeder Stelle der Kern des auslaufenden Homomorphismus
gleich dem Bild des einlaufenden Homomorphismus ist. Die Nullen
stellen den 0-Modul dar.

3.3 Moduln über euklidischen Ringen 63
Korollar 3.2.16. Sei ϕ: M → M ′ ein surjektiver R-Modulhomomorphismus und
M ′ frei. Dann gilt M ∼ = ker (ϕ) ⊕ M ′ .
Beweis. Dies folgt durch eine Kombination von Satz 3.2.6 und Lemma 3.2.15. Genauer
gesagt, man wählt zu jedem element e ′ einer Basis E ′ von M ′ ein Urbild
ϕ(e ′ ) ∈ ϕ −1 (e ′ ) und setzt die so konstruierte Abbildung ψ : E ′ → M zu einem
Modulhomomorphismus ϕ: M ′ → M fort.
⊓⊔
Übung 3.2.2. Sei R ein kommutativer Ring und f = ∑ n
j=0 aiXj ∈ R[X] mit a n ∈
Unit(R). Zeige:
(i) S := R[X]/fR[X] ist ein R-Modul.
(ii) Sei x = X + fR[X] ∈ S. Dann ist {x j ∈ S | j = 0, . . . , n} eine Basis für S.
Übung 3.2.3. Sei ϕ: M ′ → M ein injektiver R-Modulhomomorphismus und und ψ : M →
M ′ ein R-Modulhomomorphismus mit ψ ◦ ϕ = id M ′.
0 M ′ ϕ
M M/ im (ϕ) 0
Dann gilt M ∼ = M ′ ⊕ ( M/ im (ϕ) ) .
∃ψ
Übung 3.2.4. (Z 2 × Z 3, +) ist ein Z-Modul bzgl. z · (ẑ 1, ẑ 2) := (ẑ · z 1, ẑ · z 2), wobei ̂x
die Restklasse von x in der jeweiligen Koordinate bedeutet (das muss nicht mehr gezeigt
werden).
Man zeige, dass E := {(̂1, ̂1)} ein Erzeugendensystem dieses Moduls ist.
Übung 3.2.5. Sei R ein Ring, und sei M ein freier R-Modul von endlichem Rang. Man
beweise oder widerlege:
1. Jedes Erzeugendensystem E ⊆ M enthält eine Basis.
2. Jede R-unabhängige Menge lässt sich zu einer Basis ergänzen.
Übung 3.2.6 (Erzeugendensystem). Seien m, n ∈ Z und betrachte M m,n := Z/nZ ×
Z/mZ als Z-Modul bzgl.
k · (a + nZ, b + mZ) := (k · a + nZ, k · b + mZ) .
Ist M m,n ein freier Z-Modul Bestimme ein minimales Erzeugendensystem. Zeige, dass
{(1, 1)} genau dann ein Erzeugendensystem ist, wenn m, n teilerfremd sind.
Übung 3.2.7 (Freie Moduln). Sei R ein Ring und I ✂ R ein Ideal. Zeige, dass R/I genau
dann ein freier R-Modul ist, wenn I = (0).
3.3 Moduln über euklidischen Ringen
Sei R ein euklidischer Ring. Nach den Propositionen 2.3.5, 2.3.9 und 2.2.10
bedeutet das insbesondere, dass R/pR für jedes Primelement in R ein Körper ist.
Lemma 3.3.1. Sei M ein Untermodul von R n . Dann gibt es ein d ≤ n so, dass M
isomorph zu R d ist.

64 3 Moduln
Beweis. Idee: Projiziere auf die letzte Komponente und wende Induktion über n an.
Sei π : R n → R, (r 1 , . . . , r n ) ↦→ r n die Projektion auf die letzte Komponente.
Dann ist π ein R-Modulhomomorphismus und daher (vgl. Beispiel 3.1.6) I := π(M)
ein Untermodul von R, d.h. ein Ideal in R. Da R insbesondere ein Hauptidealring
ist, gibt es ein x ∈ I mit I = xR. Weiter ist {x} eine Basis für I, d.h. I ∼ = R ist frei.
Nach Korollar 3.2.16 gilt also M ∼ = ker (π| M ) ⊕ I. Da ker (π| M ) ⊆ R n−1 , folgt mit
Induktion über n, dass ker (π| M ) ∼ = R d′ mit d ′ ≤ n − 1. Damit gilt
M ∼ = ker (π| M ) ⊕ I ∼ = R d′ ⊕ R ∼ = R d′ +1
mit d ′ + 1 ≤ n.
⊓⊔
Lemma 3.3.2. Sei R ein euklidischer Ring und p ∈ R prim, 0 ≠ r ∈ R und
M = R/rR. Weiter sei M p = {m ∈ M | pm = 0}. Dann ist M p ein Untermodul
von M und:
(i) Wenn 0 ≠ r = px ∈ R, dann gilt
M p = xR/rR ∼ = R/pR.
Insbesondere ist M p ein R/pR-Vektorraum der Dimension 1.
(ii) Wenn p kein Teiler von r ist, gilt M p = {0}, d.h. M p ein R/pR-Vektorraum
der Dimension 0.
Beweis. Idee: Benütze die Eindeutigkeit der Primzerlegung in R und die Abbildung
R → xR/rR, a ↦→ xa + rR.
(i) Die Gleichheit M p = xR/rR folgt aus der Eindeutigkeit der Primzerlegung
(vgl. Satz 2.4.3): m = s + rR ist genau dann in M p , wenn ps ∈ rR. Wegen
r = pxR ist das gleichbedeutend mit s ∈ xR. Die Isomorphie erhält man aus
dem R-Modulhomomorphismus
R → xR/rR,
a ↦→ xa + rR,
dessen Kern gerade pR ist, und dem 1. Isomorphiesatz für Moduln (vgl. Übung
3.1.1).
(ii) Dies folgt wieder aus der Eindeutigkeit der Primzerlegung: ps = rr ′ zeigt, dass
p|r ′ und damit ist s ∈ rR.
⊓⊔
Satz 3.3.3. Sei R ein euklidischer Ring und M ein endlich erzeugter R-Modul.
Dann gibt es eindeutig bestimmte Ideale R ≠ I 1 ⊇ I 2 ⊇ . . . ⊇ I l in R so, dass
M ∼ =
l⊕
R/I j .
j=1
Beweis. Idee: Wähle Erzeuger m 1 , . . . , m n von M und wende Lemma 3.3.1 auf den
Kern der Abbildung ψ : R n → M, (r 1 , . . . , r n ) ↦→ ∑ n
i=1 r im i an, der sich so als Bild eines
Homomorphismus ϕ: R d → R n schreibenlässt. Über geeignete darstellende Matrizen“
”
von ϕ findet man die Ideale I j. Für die Eindeutigkeit benützt man Lemma 3.3.2.

3.3 Moduln über euklidischen Ringen 65
Existenz der Ideale: Seien m 1 , . . . , m n
surjektiven R-Modulhomomorphismus
∈ M Erzeuger von M. Betrachte den
ψ : R n → M, (r 1 , . . . , r n ) ↦→
n∑
r i m i .
Nach Lemma 3.3.1 gilt ker ψ ∼ = R d für ein d ≤ n. Insbesondere gibt es einen R-
Modulhomomorphismus ϕ: R d → R n , dessen Bild gerade ker ψ ist. Wir haben dann
eine exakte Sequenz
i=1
R d ϕ R n ψ M 0.
Mit dem 1. Isomorphissatz für Moduln (vgl. Übung 3.1.1) gilt
M ∼ = R n / ker ψ ∼ = R n / im ϕ.
Seien {v 1 , . . . , v d } und {w 1 , . . . , w n } Basen von R d und R n (vgl. Beispiel 3.2.4).
Weiter sei A ∈ Mat(n × d, R) die darstellende Matrix von ϕ bzgl. dieser Basen, d.h.
A = (a ij ) i=1,...,n mit
j=1,...,d
ϕ(v j ) =
n∑
a ij w i , j = 1, . . . , d.
i=1
Beh.: Man kann die Basen so wählen, dass A eine Diagonalmatrix“ (a ” ij
i ≠ j) wird und außerdem a 11 | a 22 | . . . | a dd gilt.
= 0 für
Mit dieser Behauptung erhalten wir dann im (ϕ) = { ∑ d
i=1 a iir i w i | r i ∈ R} und
daraus
( d⊕
) ( n⊕
)
M ∼ = R n / im ϕ ∼ = R/a ii R ⊕ R .
i=1
i=d+1
Indem man jetzt diejenigen Summanden streicht, für die a ii ∈ Unit(R), d.h. für die
a ii R = R (das passiert für die ersten k Elemente mit k ≤ d, dann nicht mehr), und
(n − d)-mal das Nullideal anhängt, findet man eine Idealfolge der gesuchten Art.
Wir beweisen jetzt die Behauptung mit Induktion über n: Zunächst wählen wir
die Basis so, dass ˜g(A) mit
˜g(A) := min{g(a ij ) | a ij ≠ 0; i = 1, . . . , d; j = 1, . . . , n}
minimal ist, wobei g : R \ {0} → N 0 die Gradfunktion von R ist. Beachte, dass der
Fall A = 0 ohnehin klar ist.
Die Basiswechsel werden durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen bewirkt.
Dabei benützen wir nur Vertauschungen und Additionen von Vielfachen einer
Zeile (Spalte) zu einer anderen, weil man nur von diesen allgemein die Invertierbarkeit
garantieren kann. Ansonsten besteht der Beweis in einer Adaption des
Gauß-Algorithmus: Durch Zeilen- und Spaltentausch können wir erreichen, dass
˜g(A) = g(a 11 ). Beachte, dass wegen der Minimalität von ˜g(A) das Element a 11 alle
Koeffizienten in der ersten Reihe und der ersten Spalte der Matrix A teilen muß,
weil wir sonst durch Addition von geeigneten Vielfachen der ersten Zeile (Spalte)
via Teilen mit Rest Elemente mit kleinerem Grad erzeugen könnten. Jetzt teilen
wir die Elemente a i1 (ohne) Rest durch a 11 und subtrahieren das entsprechende
Vielfache der ersten Zeile von der i-ten Zeile. Damit können wir a i1 = 0 für i > 1
annehmen. Ganz analog erhalten wir a 1j = 0 für j > 1. Damit hat A die Gestalt

66 3 Moduln
A =
( )
a11 0
0 A ′
mit A ′ ∈ Mat ( (d − 1) × (n − 1), R ) . Wenn a 11 alle Koeffizienten von A ′ teilt, sind
wir nach Induktion fertig. Wenn nicht, d.h., wenn es ein a ij gibt, das von a 11 nicht
geteilt wird, dann addiert man die j-te Zeile zur ersten, teilt a ij mit Rest r durch
a 11 und subtrahiert dann das entsprechende Vielfache der ersten Spalte von der
j-ten Spalte. Dies erzeugt dann den Eintrag r in der Position 1j und das steht im
Widerspruch zur Minimalität von g(a 11 ). Also kann dieser Fall gar nicht auftreten
und wir sind fertig.
Eindeutigkeit der Ideale: Wir nehmen also an:
M =
l⊕
R/I j
j=1
mit den genannten Eigenschaften und wollen die I j mithilfe von M beschreiben.
Dazu sei I j = r j R so, dass
r 1 | r 2 | . . . | r l .
1. Schritt ( ”
Streichen“): Zunächst ermitteln wir, wie oft das Nullideal vorkommt:
Setze dazu
M ′ := {m ∈ M | (∃r ∈ R \ {0}) rm = 0}.
Dann ist M ′ ein Untermodul von M. Genauer sieht man, dass
mit ˜l := max{j | I j ≠ 0} und
M ′ =
˜l⊕
j=1
R/I j
M/M ′ ∼ = R
l−˜l.
Damit ist durch M festgelegt (vgl. Proposition 3.2.5), wieviele Summanden R
in M vorkommen und wir können annehmen, dass keines der r j Null ist.
2.Schritt ( Kürzen“): Für p ∈ R prim setze jetzt M ” p := {m ∈ M | pm = 0}.
Dann ist M p ein R/pR-Vektorraum und nach Lemma 3.3.2 zählt die Dimension
von M p gerade die Anzahl der r j , in denen p als Primfaktor vorkommt. Sei
jetzt p ein Primteiler von r 1 und damit von allen anderen r j . Dann gilt also
dim R/pR M p = l. Wenn
⊕l ′
M = R/s j R
j=1
eine weitere Summenzerlegung der geforderten Art ist, dann teilt also p mindestens
l der Elemente s 1 , . . . , s l ′. Insbesondere gilt l ≤ l ′ . Aus Symmetriegründen
folgt damit l = l ′ und p teilt alle s j .
Betrachte den Modul pM: Wieder mit Lemma 3.3.2 sieht man
pM ∼ =
mit px j = r j und py j = s j .
l⊕
R/x j R ∼ =
j=1
l⊕
R/y j R
Jetzt wiederholt man das bisherige Verfahren für pM statt M (dabei werden
allerdings keine freien R-Summanden mehr auftauchen), d.h. man kürzt ein gemeinsames
Primelement aller Summanden. Sukzessive stellt man fest, dass die r j
und die s j bis auf Einheiten übereinstimmen.
⊓⊔
j=1

3.3 Moduln über euklidischen Ringen 67
Lemma 3.3.4 (Chinesischer Restsatz).
in R mit I + J = R. Dann gilt
Sei R ein Ring sowie I und J Ideale
(i) R/(I ∩ J) ∼ = R/I ⊕ R/J.
(ii) Sei R kommutativ. Dann gilt
{ ∑
∣ }
∣∣∣
I ∩ J = IJ := i k j k i k ∈ I, j k ∈ J .
endl.
Beweis. Idee: Betrachte den Homomorphismus ϕ: R → R/I ⊕ R/J, r ↦→ (r + I, r + J).
Der Homomorphismus
ϕ: R → R/I ⊕ R/J, r ↦→ (r + I, r + J)
hat den Kern ker ϕ = I ∩ J. Für (i) genügt es also zu zeigen, dass ϕ surjektiv ist.
Sei (x 1 + I, x 2 + J) ∈ R/I ⊕ R/J. Da aber 1 = y 1 + y 2 für geeignete y 1 ∈ I und
y 2 ∈ J, können wir mit z = x 1 y 2 + x 2 y 1 schreiben
z + I = x 1 y 2 + I = x 1 (y 2 + y 1 ) + I = x 1 + I,
z + J = x 2 y 1 + J = x 2 (y 1 + y 2 ) + J = x 2 + J,
also ϕ(z) = (x 1 + I, x 2 + J).
Sei jetzt R kommutativ und z ∈ I ∩ J. Wir schreiben wieder 1 = y 1 + y 2 für
geeignete y 1 ∈ I und y 2 ∈ J. Dann gilt
z = zy 1 + zy 2 = y 1 z + zy 2 ∈ IJ.
Umgekehrt folgt IJ ⊆ I ∩ J sofort aus der Definition.
⊓⊔
Übung 3.3.1. Sei R ein kommutativer Ring sowie I 1 , . . . , I n Ideale in R mit I i + I j = R
für i ≠ j. Sei
{ ∣ }
n∏ ∑ ∣∣∣
I i := r 1 . . . r n r i ∈ I i .
endl.
Dann gilt
i=1
(i) (∏ n−1
i=1 I i)
+ In = R.
(ii) R/ (⋂ n
i=1 I ) (
i ∼=
(⋂ R/ n−1
i=1 I i))
⊕ R/In .
(iii) R/ (⋂ n
i=1 I )
i ∼=
⊕ n−1
i=1 R/I i.
(iv) ∏ n
i=1 I i = ⋂ n
i=1 I i.
Übung 3.3.2. Sei n 1 , . . . , n k ∈ Z paarweise teilerfremd und a 1 , . . . , a k ∈ Z. Zeige, dass es
für das folgende System von Kongruenzgleichungen eine Lösung x ∈ Z gibt:
x ≡ a 1 mod n 1
.
x ≡ a k mod n k .
Mit dem Chinesischen Restsatz 3.3.4 kann man die Summenzerlegung aus Satz
3.3.3 noch weiter aufspalten:

68 3 Moduln
Proposition 3.3.5. Sei R euklidisch und r ∈ R habe die Faktorzerlegung r =
up n1
1 · · · pn k
k
mit p j ∈ R nichtassoziierte Primelemente und u ∈ Unit(R). Dann
gilt
R/rR ∼ k⊕
= R/p n i
i R.
i=1
Beweis. Induktion über k: Schreibe r = r ′ p n k
k
. Dann sind r′ und p n k
k
teilerfremd, d.h.
wir haben mit Proposition 2.3.5 R = r ′ R + p n k
k
R. Mit dem Chinesischen Restsatz
(d.h. Lemma 3.3.4) und Induktion folgt
( k−1
)
⊕
R/rR ∼ = R/r ′ R ⊕ R/p n k
k R ∼ = R/p ni
i R ⊕ R/p n k
k R ∼ k⊕
= R/p ni
i R.
i=1
i=1
⊓⊔
Übung 3.3.3 (Chinesischer Restsatz).
1. Seien m, n ∈ Z teilerfremd, und seien a, b ∈ Z. Zeige, dass es für das System von
Kongruenzengleichungen
x ≡ a mod m,
x ≡ b
mod n
eine Lösung x ∈ Z gibt. Bestimme alle Lösungen.
2. Löse folgendes System von Kongruenzgleichungen
x ≡ 3 mod 5,
x ≡ 5 mod 8,
x ≡ 2 mod 7.
Übung 3.3.4. Als eine Bande von 17 Piraten ihre Beute bestend aus n Talern gleichmäßig
unter sich aufteilen wollte, blieben 3 Taler übrig, und die Piraten beschlossen, diese ihrem
chinesichen Koch Wun Tu als Dank für die gute Verpflegung zukommen zu lassen. Doch
6 Piraten starben bei einem Gefecht, und als die übrigen die Beute erneut unter sich
aufteilen wollten, blieben 4 Taler übrig, und wieder beschlossen sie, diese ihrem Koch zu
geben. Schließlich ging ihr Schiff unter, und nur 6 Piraten, der Koch und die Beute wurden
gerettet. Als nun die überlebenden 6 Piraten die Beute unter sich aufteilen wollten, blieben
für den Koch 5 taler übrig. Nun aber hatte der Koch genug von seinen ach so gütigen herren.
Er zauberte ihnen eine wohlschmeckende Pilzsuppe, die keiner der Piraten überlebte. So
konnte er alle n Taler für sich behalten. Welches sind die zwei kleinstmöglichen Werte für
n
Übung 3.3.5 (Ostern). Der Ostertermin wurde auf den ersten Sonntag nach dem Frühlingsvollmond
festgelegt. Um diesem Datum eine mathematische Grundlage zu geben, hat Carl Friedrich
Gauß folgende Berechnungsmethode ersonnen:
Für unseren Gregorianischen Kalender seien M, N ∈ N 0 für das Jahrhundert von 100·k
bis 100 · k + 99 wie folgt gegeben: Es seien p := [ ] [
k
3 und q := k
]
4 , wobei [x] die Abrundung
der Zahl x ist. Dann ist M der Rest der Division von 15 + k − p − q durch 30, und N der
Rest der Division von 4 + k − q durch 7.
Außerdem ergebe die Division
der Jahreszahl durch 19 den Rest a ,
der Jahreszahl durch 4 den Rest b ,
der Jahreszahl durch 7 den Rest c ,
der Zahl 19a + M durch 30 den Rest d ,
der Zahl 2b + 4c + 6d + N durch 7 den Rest e .
Dann fällt der Ostersonntag auf den (22 + d + e)-ten März oder den (d + e − 9)-ten
April. Dabei gibt es die zwei Ausnahmen:

3.4 Anwendung auf lineare Abbildungen 69
1. Ergibt die Rechnung den 26. April, so fällt der Ostersonntag auf den 19. April;
2. Ergibt die Rechnung d = 28, e = 6 und ist der Rest der Division von 11M + 11 durch
30 kleiner als 19, so fällt dieser Ostersonntag nicht wie nach der Rechnung auf den
25., sondern auf den 18. April.
In welchen Jahren des 20. Jahrhunderts fiel der Ostersonntag auf den 1. April
Übung 3.3.6 (Jacobsen Radikal). Sei R ein Ring und M ein R-Modul. Der Durchschnitt
aller maximalen Untermoduln heißt Jacobsen Radikal und wird mit Rad(M) bezeichnet.
Falls M keine maximalen Untermoduln hat, so setzt man Rad(M) := M. Zeige: Ist M
endlich erzeugt und M ≠ {0}, so gilt Rad(M) ≠ M.
Hinweis: Lemma von Zorn.
3.4 Anwendung auf lineare Abbildungen
Sei K ein Körper und V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Jedes ϕ ∈
End K (V ) induziert nach Beispiel 3.1.2(iii) eine K[X]-Modulstruktur auf V :
(∑
aj X j) v := ∑ a j ϕ j (v).
Umgekehrt erhält man aus einer K[X]-Modulstruktur auf V einen Endomorphismus
ϕ ∈ End K (V ) via
ϕ(v) = Xv.
Auf diese Weise findet man eine Bijektion zwischen End K (V ) und der Menge der
K[X]-Modulstrukturen auf V . Man kann also davon ausgehen, dass die Strukturtheorie
von K[X]-Moduln auch Ergebnisse über Endomorphismen liefert.
Sei ϕ ∈ End K (V ) und K[ϕ] der von Kϕ erzeugte Unterring von End K (V ). Der
Ringhomomorphismus
ev ϕ : K[X] → K[ϕ],
∑
aj X j ↦→ ∑ a i ϕ j
heißt die Auswertung in ϕ. Die Auswertung hat einen nicht-trivialen Kern, weil
K[ϕ] ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum ist, aber K[X] nicht (und die Auswertung
ist offensichtlich K-linear). Der Kern der Auswertung ist von der Form q ϕ K[X],
wobei q ϕ den Leitkoeffizienten 1 hat und dadurch eindeutig bestimmt wird. Dabei
benützen wir, dass K[X] euklidisch ist (vgl. Beispiel 2.3.4) und daher ein Hauptidealring
(vgl. Proposition 2.3.5) sowie den Umstand, dass die von Null verschiedenen
konstanten Polynome gerade die Einheiten in K[X] sind. Das Polynom q ϕ ∈ K[X]
heißt das Minimalpolynom von ϕ.
Proposition 3.4.1. Sei ϕ ∈ End K (V ) und
V ∼ =
l⊕
K[X]/q j K[X]
j=1
die Summenzerlegung aus Satz 3.3.3, angewandt auf die von ϕ induzierte K[X]-
Modulstruktur auf V . Wenn die q j normiert sind (d.h. Leitkoeffizient 1), dann ist
q l = q ϕ das Minimalpolynom von ϕ.
Beweis. Die Modulstruktur auf V ist gerade so gemacht, dass ein f ∈ K[X] genau
dann im Kern von ev ϕ liegt, wenn fV = {0}. Dies ist aber genau dann der Fall,
wenn f von allen q j geteilt wird. Wegen q 1 | q 2 | . . . | q l folgt ker ev ϕ = q l K[X],
also die Behauptung.
⊓⊔

70 3 Moduln
Definition 3.4.2. Sei ϕ ∈ End K (V ) eine lineare Selbstabbildung des K–Vektorraums
V . Wir sagen, dass v ∈ V ein ϕ-zyklischer Vektor ist, wenn V von den ϕ j (v) mit
j ∈ N 0 aufgespannt wird. Dies bedeutet, dass
K[X]/q ϕ K[X] → V,
f + q ϕ K[X] ↦→ fv
ein Vektorraum-Isomorphismus ist (vgl. Übung 3.1.1).
Lemma 3.4.3. Sei 0 ≠ q ∈ K[X]. Dann ist K[X]/qK[X] ein K-Vektorraum der
Dimension deg(q). Genauer, die Nebenklassen x j := X j + qK[X] mit 0 ≤ j ≤
deg(q) − 1 bilden eine Basis für diesen Raum.
Beweis. Nachzuprüfen, dass K[X]/qK[X] ein K-Vektorraum ist, ist reine Routine.
Die x j mit 0 ≤ j ≤ deg(q) − 1 sind linear unabhängig, da jede nicht-triviale lineare
Relation ein Polynom liefert, das von q geteilt wird. Umgekehrt liefert Division
durch q mit Rest, dass jedes Polynom modulo qK[X] gleich einem Polynom vom
Grad kleiner deg(q) ist.
⊓⊔
Satz 3.4.4 (Rationale Normalform). Sei ϕ ∈ End K (V ) und
q ϕ = X d + a d−1 X d−1 + . . . + a 0
das Minimalpolynom von ϕ. Wenn es einen ϕ-zyklischen Vektor v 1 ∈ V gibt, dann
hat V eine Basis v 1 , . . . , v d , bzgl. der die darstellende Matrix von ϕ die Gestalt
hat.
⎛
⎞
0 · · · 0 −a 0
1 0
. −a 1
. 0 1 .. . −a2
. . 0 ..
0 . . ⎜
⎝
. . . ⎟
..
1 0 −a d−2
⎠
0 0 · · · 0 1 −a d−1
Beweis. Setze v j := ϕ j−1 (v 1 ) = X j−1 v 1 mit j = 2, . . . , d. Nach Lemma 3.4.3 bilden
jetzt die v 1 , . . . , v d eine Basis für V . Die Behauptung über die darstellende Matrix
ist jetzt einfach zu verifizieren.
⊓⊔
Übung 3.4.1. Sei K ein Körper, V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und ϕ ∈
End K (V ). Zeige, dass V die endliche direkte Summe von Unterräumen V j ist, die alle
eine ϕ-zyklische Vektor haben.
Als nächstes betrachten wir das charakteristische Polynom χ ϕ eines Endomorphismus
ϕ ∈ End K (V ).

3.4 Anwendung auf lineare Abbildungen 71
Lemma 3.4.5 (Jordan–Block). Sei ϕ ∈ End K (V ) und V ∼ = K[X]/(X − λ) k K[X]
mit λ ∈ K. Dann gibt es eine Basis {v 1 , . . . , v k } von V bzgl. der die darstellende
Matrix von ϕ die Gestalt ⎛
⎞
λ 1 0
0 λ 1 0
. .. . .. . .. . ..
⎜ 0 λ 1 0
⎟
⎝ 0 λ 1⎠
0 λ
hat. Insbesondere ist (X − λ) k das charakteristische Polynom χ ϕ von ϕ.
Beweis. Idee: Die gesuchten Basisvektoren v j entsprechen den (X − λ) k−j + (X −
λ) k K[X].
Sei v j das Bild von (X−λ) k−j +(X−λ) k K[X] unter dem K[X]-Modulisomorphismus
K[X]/(X − λ) k K[X] → V.
Dann sieht man wie im Beweis von Lemma 3.4.3, dass dies eine Basis wird (Übung).
Schließlich rechnet man
und
Dies zeigt die Behauptung.
Xv j = (X − λ)v j + λv j = v j−1 + λv j , j ≥ 2
Xv 1 = (X − λ)v 1 + λv 1 = λv 1 .
⊓⊔
Der Einfachheit halber nehmen wir ab jetzt an, dass der Körper K algebraisch
abgeschlossen ist, d.h. jedes Polynom ist von der Form
f = c(X − λ 1 ) · · · (X − λ n ),
wobei die λ j ∈ K nicht notwendigerweise verschieden sind. Insbesondere haben die
Primelemente von K[X] alle Grad 1. Diese Bedingung ist nach dem Fundamentalsatz
der Algebra für C erfüllt. Man kann zeigen, dass jeder Körper als Teilkörper eines
algebraisch abgeschlossenen Körpers betrachtet werden kann. Damit läßt sich dann
ein Teil der folgenden Resultate auf beliebige Körper übertragen.
Proposition 3.4.6. Sei ϕ ∈ End K (V ) und
V ∼ =
l⊕
K[X]/q j K[X]
j=1
die Summenzerlegung aus Satz 3.3.3, angewandt auf die von ϕ induzierte K[X]-
Modulstruktur auf V . Wenn die q j normiert sind (d.h. Leitkoeffizient 1), dann ist
q 1 · · · q l = χ ϕ das charakteristische Polynom von ϕ.
Beweis. Idee: Man reduziert das Problem sofort auf den Fall l = 1 und kombiniert
dann Proposition 3.3.5 mit Lemma 3.4.5.
Jeder direkte Summand in V ist ein ϕ-invarianter Unterraum und die charakteristischen
Polynome der Einschränkungen multiplizieren sich auf zum charakteristischen
Polynom von ϕ. Also können wir l = 1 annehmen. Dann liefert
Proposition 3.3.5 eine weitere Summenzerlegung, so dass wir annehmen dürfen:
V ∼ = K[X]/q k K[X] mit q ∈ K[X] prim. Da wir K algebraisch abgeschlossen angenommen
haben, ist q = X − λ mit λ ∈ K. Jetzt zeigt Lemma 3.4.5 die Behauptung.
⊓⊔

72 3 Moduln
Satz 3.4.7 (Jordan–Normalform). Wenn K algebraisch abgeschlossen ist, dann
gibt es zu jedem ϕ ∈ End K (V ) eine Basis für V , bzgl. der die darstellende Matrix
von ϕ in Jordan-Normalform ist.
Beweis. Kombiniere Proposition 3.4.6 mit Lemma 3.4.5.
⊓⊔
Korollar 3.4.8. Sei K algebraisch abgeschlossen. Ein Endomorphismus ϕ ∈ End K (V )
ist diagonalisierbar genau dann, wenn das Minimalpolynom q ϕ von ϕ keine mehrfachen
Nullstellen hat.
Beweis. ϕ ist genau dann diagonalisierbar, wenn alle Jordanblöcke trivial sind (d.h.
1 × 1-Matrizen). Nach Proposition 3.4.6 und Lemma 3.4.5 bedeutet das gerade,
dass jedes q j nur einfache Nullstellen hat. Jetzt zeigt Proposition 3.4.1, dass q ϕ
nur einfache Nullstellen hat. Umgekehrt sind aber alle q j Teiler von q ϕ , haben
also nur einfache Nullstellen, wenn q ϕ nur einfache Nullstellen hat. Damit folgt die
Behauptung.
⊓⊔
Satz 3.4.9 (Jordan–Chevalley–Zerlegung). Sei K algebraisch abgeschlossen
und ϕ ∈ End K (V ). Dann gibt es eindeutig bestimmte Elemente ϕ d , ϕ n ∈ End K (V )
mit folgenden Eigenschaften:
(i) ϕ = ϕ d + ϕ n .
(ii) ϕ d ist diagonalisierbar.
(iii) ϕ n ist nilpotent.
(iv) ϕ d ◦ ϕ n = ϕ n ◦ ϕ d .
Es gibt ein Polynom f d ∈ K[X] ohne konstanten Term mit f d (ϕ) = ϕ d . Insbesondere
gilt ϕ d (U 2 ) ⊆ U 1 , wenn U 1 ⊆ U 2 Unterräume von V mit ϕ(U 2 ) ⊆ U 1 sind.
Beweis. Idee:
3.3.1.
Benütze die Jordan-Normalform 3.4.7 und den Chinesischen Restsatz
Die Existenz von ϕ d , ϕ n ∈ End K (V ) mit den Eigenschaften (i)-(iv) erhält man
aus der Jordan-Normalform (d.h. Satz 3.4.7) und die Eindeutigkeit aus dem Umstand,
dass nur die Nullabbildung diagonalisierbar und nilpotent ist (Übung).
Der Beweis der Existenz von f d liefert einen unabhängigen Beweis der Existenz
von ϕ d und ϕ n : Sei χ ϕ = ∏ k
i=1 (X − λ i) m i
das charakteristische Polynom von ϕ.
Nach dem Chinesischen Restsatz in der Version von Übung 3.3.1 finden wir ein
Polynom f d ∈ K[X] mit
f d ∈ λ i + (X − λ i ) mi K[X]
i = 1, . . . , k
und (falls alle λ i ≠ 0)
f d ∈ XK[X].
Betrachte die ϕ-invarianten Unterräume V i := ker (ϕ − λ i id) m i
. Es folgt, dass
f d (ϕ)| Vi = λ i id | Vi und ( ) mi
(ϕ − fd (ϕ))| Vi = 0.
Da V = ⊕ k
i=1 V i eine ϕ-invariante direkte Summenzerlegung ist, folgt, dass f d (ϕ)
diagonalisierbar ist und ϕ − f d (ϕ) nilpotent. Damit folgt die Behauptung. ⊓⊔

3.4 Anwendung auf lineare Abbildungen 73
Übung 3.4.2 (Minimalpolynom). Sei V = R 3 und ϕ ∈ End R (R 3 ) gegeben durch ϕ(x) =
Ax mit
⎛ ⎞
1 1 0
A := ⎝0 1 0⎠ .
0 0 2
Betrachte V mit der von ϕ induzierten R[X]-Modulstruktur, p · x := p(ϕ)x für p ∈ R[X]
und x ∈ V . Bestimme einen ϕ-zyklischen Vektor von V und das Minimalpolynom von ϕ.

4
Körpererweiterungen
4.1 Nullstellen von Polynomen
Definition 4.1.1. Sei R ein kommutativer Ring und F ∈ R[X]. Dann heißt r ∈ R
eine Wurzel oder Nullstelle von F , wenn die Auswertung von F in r Null ergibt,
d.h. wenn F (r) = 0 (vgl. Bemerkung 2.1.13).
Lemma 4.1.2. Sei R ein kommutativer Ring, F ≠ 0 ∈ R[X] und r ∈ R. Dann gibt
es ein G ∈ R[X] mit
F = (X − r)G + F (r) und deg F = 1 + deg G.
Also ist r genau dann eine Nullstelle von F , wenn F = (X − r)G mit deg G =
deg F − 1.
Beweis. Sei m = deg F und F = a 0 + a 1 X + . . . + a m X m , dann gilt
F − F (r) = a 1 (X − r) + a 2 (X 2 − r 2 ) + . . . + a m (X m − r m ).
Wegen
gilt
X k − r k = (X − r) ( X k−1 + rX k−2 + . . . + r k−2 X + r
} {{ k−1 )
}
=:G k
F = (X − r) ( )
a 1 G 1 + a 2 G 2 + . . . + a m G
} {{ m + F (r)
}
=:G
und dies liefert deg(G) = deg(G m ) = m − 1.
⊓⊔
Satz 4.1.3. Sei R ein Integritätsbereich und λ 1 , . . . , λ k ∈ R verschiedene Wurzeln
von F ≠ 0 ∈ R[X]. Dann gibt es ein H ∈ R[X] mit
F = (X − λ 1 ) · · · (X − λ k )H.
Beweis. Wir führen eine Induktion nach k durch:
k = 1: Dies ist gerade Lemma 4.1.2.

76 4 Körpererweiterungen
k ≥ 1: Wende Lemma 4.1.2 auf λ 1 an. Dies liefert ein G ≠ 0 mit F = (X − λ 1 )G
und deg(G) = deg(F ) − 1. Wegen 0 = F (λ j ) = (λ j − λ 1 )G(λ j ) für j = 1, . . . , k
gilt G(λ j ) = 0 für j = 2, . . . , k und Induktion zeigt G = (X −λ 2 ) · · · (X −λ k )H,
also die Behauptung.
⊓⊔
Korollar 4.1.4. Sei R ein Integritätsbereich und F ∈ R[X] mit deg(F ) = m ≥ 0.
Dann hat F höchstens m Wurzeln in R.
Beweis. Seien r 1 ∈ R eine Wurzel von F . Dann gilt nach Satz 4.1.3
mit H ∈ R[X] und Satz 2.3.1(i) zeigt
F = (X − r 1 )H
deg(F ) = deg(X − r 1 ) + deg(H) ≥ 1.
} {{ }
=1
Jede Wurzel von F ist dann r 1 oder eine Wurzel von H. Damit folgt die Behauptung
durch Induktion.
⊓⊔
Proposition 4.1.5. Sei R ein Integritätsbereich und M ⊆ R. Dann gilt
(i) A = {f : M → R} ist bzgl. der punktweisen Operationen ein Ring.
(ii) Der Ringhomomorphismus
Φ : R[X] → A, F ↦→ ( m ↦→ F (m) )
ist injektiv, falls M unendlich viele Elemente enthält.
Beweis. Φ ist genau dann injektiv, wenn ker Φ := Φ −1 (0) = {0} (wie bei Vektorräumen).
Sei also F ∈ ker Φ, d.h. F (m) = 0 für alle m ∈ M. Dann sind alle
Elemente von M Wurzeln von F . Nach Korollar 4.1.4 muss dann F = 0 gelten. ⊓⊔
Bemerkung 4.1.6. Insbesondere sieht man, dass die Auswertung von Polynomen
zu Polynomfunktionen für unendliches R ein Isomorphismus ist.
⊓⊔
Bemerkung 4.1.7. Sei f = n ∑
dann findet man mit Induktion
j=0
r j X j normiert, d.h. r n = 1. Wenn
f = (X − α 1 ) · · · (X − α n ) =
r n−1 = − ∑ α i
n∏
(X − α j ),
j=1
r n−2 = ∑ α i α j
i

4.1 Nullstellen von Polynomen 77
Bemerkung 4.1.8 (Klassische Lösungsformeln).
(i) (Quadratische Gleichungen)
X 2 + bX + c = 0 ⇐⇒ ˜X 2 + c − b2 4 = 0 mit ˜X = X + b 2 ,
was auf X = ± 1 2
√
b2 − 4c, also auf
X = − b 2 ± 1 2√
b2 − 4c
führt.
(ii) (Kubische Gleichungen)
X 3 + aX 2 + bX + c = 0 ⇐⇒ ˜X 3 + q ˜X + r = 0 mit ˜X = X + a 3 .
Man macht den Ansatz: ˜X = Ỹ + ˜Z mit Ỹ ˜Z = − q 3
und rechnet:
˜X 3 = (Ỹ + ˜Z) 3
= Ỹ 3 + 3(Ỹ 2 ˜Z + Ỹ ˜Z 2 ) + ˜Z 3
= Ỹ 3 + ˜Z 3 + 3 ˜XỸ ˜Z
= Ỹ 3 + ˜Z 3 − ˜Xq.
Dann löst man Ỹ 3 + ˜Z 3 = −r mithilfe von ˜Z 3 = − q3
via Ỹ 3 − q3
27Ỹ was sich als
3 Ỹ 6 + rỸ 3 − q3
27 = 0
27Ỹ 3
= −r,
schreiben lässt. Mit (i) führt das auf (zuerst für Ỹ , aber dann analog auch für
˜Z)
(
Ỹ 3 = 1 √ )
−r + r
2
2 + 4q3
27
(
˜Z 3 = 1 √ )
−r − r
2
2 + 4q3 .
27
Mit w := e 2 3 πi (3. Einheitswurzel) sind dann die Lösungen durch Ỹ + ˜Z, wỸ +
w 2 ˜Z, w 2 Ỹ + w ˜Z gegeben.
(iii) (Gleichungen 4. Grades)
X 4 + aX 3 + bX 2 + cX + d = 0 ⇐⇒ ˜X 4 + q ˜X 2 + r ˜X + s = 0 mit ˜X = X − a 4 .
Man macht den Ansatz: ˜X4 + q ˜X 2 + r ˜X + s = ( ˜X 2 + k ˜X + l)( ˜X 2 − k ˜X + m),
was auf
}
l − m − k 2 = q 2m = k 2 + q + r k
k(m − l) = r 2l = k 2 + q − r k
lm = s
führt. Dann bleibt noch k 6 + 2qk 4 + (q 2 − 4s)k 2 − r 2 = 0 mithilfe von (ii) zu
lösen.
(iv) Es stellt sich jetzt natürlich die Frage, wieso so ein Ansatz nicht für Polynome
vom Grad 5 funktionieren soll

78 4 Körpererweiterungen
⊓⊔
Übung 4.1.1. Für α ∈ C sei Q(α) der von Q und α erzeugte Unterkörper von C. Bestimme
den Grad [Q(α) : Q] für
3√ √ √
α = i, 2, 2 + 3 .
Wie lassen sich die Elemente von Q(α) beschreiben Was ist mit α = π
Übung 4.1.2 (Inverse). Sei α ∈ C eine Nullstelle des irreduziblen Polynoms X 3 −3 X +4.
Man gebe das Inverse von α 2 +α+1 in Q(α) explizit in der Form aα 2 +bα+c mit a, b, c ∈ Q
an.
Übung 4.1.3 (Kubische Gleichungen). Bestimme die Lösungen der Gleichung
X 3 − X 2 − X − 2 = 0
einerseits mit Hilfe des Verfahrens aus Bemerkung 4.1.8 und andererseits durch Erraten
einer Lösung, Polynomdivision und Anwendung der p-q-Formel. Vergleiche die Ergebnisse.
4.2 Zerfällungskörper
Definition 4.2.1. Sei L Körper und K ein Unterkörper von L, dann sagt man,
L ist eine Körpererweiterung von K und schreibt L/K und nennt L Erweiterungskörper
von K. Wenn L/K eine Körpererweiterung ist, ist L insbesondere ein
K-Vektorraum. Die Dimension [L : K] := dim K L (endlich oder unendlich) heißt der
Grad der Erweiterung. Die Erweiterung L/K heißt endlich, wenn [L : K] < ∞.
Proposition 4.2.2. Sei K ein Körper und p ∈ K[X] irreduzibel. Dann ist K[X]/(p)
ist ein Körper. Weiter gilt
(i) j : K → K[X]/(p)
}
ist ein (injektiver) Körperhomomorphismus.
a ↦→ a + (p)
(ii) Es gibt ein r ∈ K[X]/(p) mit p(r) = 0.
Beweis. Nach Bemerkung 2.4.4 ist p prim, also ist nach Proposition 2.2.13 das
Hauptideal (p) = pK[X] prim. Aber dann folgt mit Proposition 2.3.9 die Maximalität
von (p) und Proposition 2.2.10 zeigt, dass L := K[X]/(p) ein Körper ist.
Die Abbildung j ist als Verknüpfung der natürlichen Abbildungen K ↩→ K[X] →
L ein Ringhomomorphismus und damit ein Körperhomomorphismus, der automatisch
injektiv ist, weil ein Körper keine nicht-trivialen Ideale hat.
2.1.13)
Für r := X + (p) ∈ L gilt mit p =
p(r) =
n∑
a k r k =
k=0
n ∑
k=0
a k X k und a k ∈ K ⊆ L (vgl. Beispiel
n∑
a k X k + (p) = p + (p) = (p) = 0 ∈ L.
k=0
⊓⊔
Definition 4.2.3. Sei R ein Ring und f ∈ R[X]. Man sagt, f zerfällt über R,
wenn es ein Produkt von Linearfaktoren (X − r) mit r ∈ R und einem Element
a ∈ R ist: f = a(X − r 1 ) · · · (X − r n ).

4.2 Zerfällungskörper 79
Satz 4.2.4. Sei K ein Körper und f ∈ K[X]. Dann gibt es eine Körpererweiterung
L/K so, dass f, betrachtet als Element von L[X], über L zerfällt.
Beweis. Induktion über deg(f) = n.
n = 1: Dann ist f = a 0 + a 1 X mit a j ∈ K und wir können L := K wählen.
n > 1: In diesem Fall kann man f = pq mit p ∈ K[X] irreduzibel schreiben
(evtl. ist dabei p = f).
1. Fall: Wenn deg(p) = 1, dann gibt es nach Induktion eine Körpererweiterung
L/K so, dass q über L zerfällt. Aber dann zerfällt auch f über L.
2. Fall: Wenn deg(p) > 1, dann liefert Proposition 4.2.2 eine Körpererweiterung
L 1 /K und ein r ∈ L 1 mit p(r) = 0. Nach Satz 4.1.3 können wir also
schreiben p = (X − r)h mit h ∈ L 1 [X] und Induktion liefert eine
Körpererweiterung L 2 /L 1 für die h über L 2 zerfällt. Aber dann zerfällt
p ebenfalls über L 2 und wir können, wieder mit Induktion, schließen,
dass es eine Körpererweiterung L/L 2 gibt, für die f über L zerfällt.
⊓⊔
Satz 4.2.5. Sei K ein Körper und p ∈ K[X] irreduzibel vom Grad deg(p) = d. Dann
ist L = K[X]/(p) ein Erweiterungskörper von K mit [L : K] = d.
Beweis. Nach Proposition 4.2.2 muss nur noch [L : K] = d gezeigt werden. Setze
α := X + (p) ∈ L. Dann gilt p(α) = 0.
Behauptung: {1, α, α 2 , . . . , α d−1 } ist eine K-Basis für L.
Wenn d−1 ∑
i=0
a i α i = 0 für a j in K gilt, dann ist α eine Nullstelle von f = d−1 ∑
j=0
a j X j .
Wäre f ≠ 0, so hätte man wegen deg(f) < deg(p), dass f /∈ (p), also f+(p) ∈ L\{0}.
Aber dann könnte man ein g ∈ K[X] mit fg ∈ 1+(p) finden und erhielte f(α)g(α) =
1. Daher haben wir f = 0, d.h. die lineare Unabhängigkeit von {1, α, α 2 , . . . , α d−1 }
über K.
Schreibe ein beliebiges f ∈ K[X] in der Form f = qp + r mit deg(r) < deg(p).
Dann gilt f + (p) = r + (p) ∈ span{1, α, . . . , α d−1 } ⊆ L und die Behauptung ist
bewiesen.
⊓⊔
Definition 4.2.6. L/K sei eine Körpererweiterung und α 1 , . . . , α n ∈ L. Dann
bezeichnet man den von K und {α 1 , . . . , α n } erzeugten Unterkörper von L mit
K(α 1 , . . . , α n ). Man sagt, K(α 1 , . . . , α n ) ist der durch Adjungieren von α 1 , . . . , α n
aus K gewonnene Körper. Die Körpererweiterung L/K heißt einfach, wenn es ein
α ∈ L mit L = K(α) gibt. Weiter heißt α ∈ L algebraisch über K, wenn es ein normiertes
Polynom f ∈ K[X] mit f(α) = 0 gibt. Andernfalls heißt α transzendent.
Die Körpererweiterung L/K heißt algebraisch, wenn jedes α ∈ L algebraisch
über K ist.
Bemerkung 4.2.7. Sei L/K eine Körpererweiterung.
(i) Wenn L = K(α) mit α ∈ L gilt, dann findet man
{ }
f(α)
L =
g(α) ∣ f, g ∈ K[X], g(α) ≠ 0 .

80 4 Körpererweiterungen
(ii) Sei K(X) der Quotientenkörper von K[X] (vgl. Proposition 2.2.4). Dann wird
K(X) in der Tat von den Teilmengen K und {X} erzeugt.
(iii) Jede endliche Körpererweiterung ist algebraisch, denn aus [L : K] = n folgt für
α ∈ L, dass {1, α, α 2 , . . . , α n } linear abhängig ist, d.h. man findet a 0 , . . . , a n ∈ K
(nicht alle 0) mit ∑ n
j=0 a jα j = 0. Dann ist α eine Nullstelle des von 0 verschiedenen
Polynoms ∑ n
j=0 a jX j .
⊓⊔
Proposition 4.2.8. Sei L/K eine Körpererweiterung mit L = K(α 1 , . . . , α n ) und
τ, σ ∈ Aut(L) Körperautomorphismen. Dann gilt
(i) Aus σ| K = id K und σ(α i ) = α i für alle i ∈ {1, . . . , n} folgt σ = id L .
(ii) Aus σ| K = τ| K und σ(α i ) = τ(α i ) für alle i ∈ {1, . . . , n} folgt σ = τ.
Beweis. (ii) folgt aus (i), angewendet auf στ −1 . Um (i) zu zeigen, verifiziert man,
dass {e ∈ L | σ(e) = e} ⊆ L ein Körper ist, der K und {α 1 , . . . , α n } enthält, also
gleich L sein muss.
⊓⊔
Satz 4.2.9. L/K Körpererweiterung, α ∈ L algebraisch über K und ev α : K[X] → L
der Einsetzhomomorphismus in α. Dann gilt
(i) Es gibt genau ein p ∈ K[X] mit
(a) p normiert,
(b) p ∈ ker (ev α ),
(c) p hat minimalen Grad in ker (ev α ).
(ii) ker (ev α ) = ( p ) .
(iii) p ist irreduzibel.
(iv) K(α) ∼ = K[X]/ ( p ) und der Körperisomorphismus hält K punktweise fest.
(v) [K(α) : K] = deg(p).
Beweis. (i) Die Existenz von p folgt, weil K[X] ein Hauptidealring ist (Proposition
2.3.5 und Beispiel 2.3.4) und man durch den Leitkoeffizienten teilen kann (wende
dies auf das Ideal ker (ev α ) an). Um die Eindeutigkeit zu sehen, nehmen wir an,
p und q seien beide von der geforderten Art. Dann gilt deg(p − q) < deg(p) und
p − q ∈ ker (ev α ), was sofort p − q = 0 impliziert.
(ii) Dies ist klar mit (i).
(iii) Wenn gh = p, dann gilt g(α) = 0 oder h(α) = 0. Wir nehmen o.B.d.A. an, dass
g ∈ ker (ev α ) und damit p | g gilt. Es folgt deg(p) = deg(g), also muss h ∈ K
sein, was die Behauptung beweist.
(iv) Der Auswertungshomomorphismus induziert einen Ringhomomorphismus
ev α : K[X]/ker (ev α ) −→ K(α),
der automatisch injektiv ist, weil K[X]/ ker (ev α ) ein Körper ist (p ist irreduzibel,
vgl. Proposition 4.2.2). Außerdem ist im (ev α ) dann ein Körper, der α
enthält. Wegen ev α
(a + ( p )) = a für a ∈ K ist ev α aber dann auch surjektiv
und die Behauptung ist bewiesen.
(v) Dies folgt aus (iv) und Satz 4.2.5.
⊓⊔
Das Polynom p aus Satz 4.2.9 heißt das Minimalpolynom des algebraischen Elementes
α über K.

4.2 Zerfällungskörper 81
Proposition 4.2.10. Sei ϕ : R → S ein Ringhomomorphismus und p ∈ R[X].
Dann ist
ϕ ∗ : R[X] → S[X]
∑
rk X k ↦→ ∑ ϕ(r k )X k
ein Ringhomomorphismus. Sind speziell R und S Integritätsbereiche und ist ϕ ∗ (p)
irreduzibel mit deg(p) = deg ( ϕ ∗ (p) ) , so ist auch p irreduzibel.
Beweis. Die erste Behauptung folgt aus einer Routineverifikation. Für die zweite
nehmen wir an, dass p = fh mit deg(f), deg(h) < deg(p). Dann folgt ϕ ∗ (p) =
ϕ ∗ (f)ϕ ∗ (h) und wir finden
deg ( ϕ ∗ (f) ) ≤ deg(f) < deg(p) = deg ( ϕ ∗ (p) ) ,
deg ( ϕ ∗ (h) ) ≤ deg(h) < deg(p) = deg ( ϕ ∗ (p) ) .
Dies liefert einen Widerspruch und beweist so die Behauptung.
⊓⊔
Korollar 4.2.11. Sei σ : K → K ′ ein Körperisomorphismus und σ ∗ : K[X] →
K ′ [X] der zugehörige Ringisomorphismus, Weiter sei p ∈ K[X] irreduzibel und p ′ :=
σ ∗ (p) ∈ K ′ [X]. Wenn L/K sowie L ′ /K ′ Körpererweiterungen und β ∈ L, β ′ ∈ L ′
Nullstellen von p bzw. p ′ sind, dann gibt es genau einen Körperisomorphismus ˇσ :
K(β) → K ′ (β ′ ), der σ fortsetzt und ˇσ(β) = β ′ erfüllt. Dies liefert das folgende
kommutative Diagramm:
K(β)
ˇσ K ′ (β ′ )
K
σ
K ′
Beweis. Die Irreduzibilität von p und p ′ zeigt, dass diese Polynome skalare Vielfache
der Minimalpolynome von β bzw. β ′ sind. Wegen σ ∗
( (p ) ) = ( p ′) ist
K[X]/ ( p ) −→ K ′ [X]/ ( p ′)
f + ( p ) ↦−→ σ ∗ (f) + ( p ′)
ein Körperisomorphismus. Dann zeigt Satz 4.2.9(iv) die Existenz von ˇσ. Die Eindeutigkeit
folgt dagegen aus Proposition 4.2.8.
⊓⊔
Definition 4.2.12. Ein Zerfällungskörper von f ∈ K[X] ist eine Körpererweiterung
L/K, für die f über L zerfällt, nicht aber über einem echten Teilkörper von L.
Beispiel 4.2.13. Das Polynom f = X 3 −1 ∈ Q[X] hat den Zerfällungskörper Q(α),
wobei α = e 2 3 πi ∈ C.
⊓⊔
Satz 4.2.14. Jedes f ∈ K[X] hat einen Zerfällungskörper und dieser hat endlichen
Grad über K.

82 4 Körpererweiterungen
Beweis. Nach Satz 4.2.4 gibt es eine Körpererweiterung L/K so, dass f über L
zerfällt, d.h. es gibt α 1 , . . . , α n ∈ L mit
f =
n∏
(X − α j ) rj .
j=1
Aber dann ist K(α 1 , . . . , α n ) ein Zerfällungskörper von f. Die zweite Behauptung
folgt sofort aus Satz 4.2.9, weil die α j alle algebraisch über K sind.
⊓⊔
Lemma 4.2.15. Seien K ⊆ B ⊆ L Körper mit [L : B], [B : K] < ∞. Dann ist L/K
endlich und es gilt
[L : K] = [L : B][B : K].
Beweis. Sei {α 1 , . . . , α m } eine B-Basis für L und {β 1 , . . . , β n } eine K-Basis für B.
Behauptung: {β j α i | i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n} ist eine K-Basis für L.
Die Menge ist erzeugend, denn für γ ∈ L findet man eine Darstellung γ = ∑ b i α i
i
mit b i ∈ B und für die b i ’s findet man Darstellungen ∑ c ij β j mit c ij ∈ K. Zusammen
j
ergibt sich γ = ∑ c ij β j α i .
i,j
Wenn ∑ c ij β j α i = 0 und c ij ∈ K, so folgt zunächst aus ∑ ( ∑ )
c ij β j αi = 0,
i,j
i j
dass ∑ c ij β j = 0 für alle i und daraus dann c ij = 0 für alle i, j. Also ist die Menge
j
auch linear unabhängig.
⊓⊔
Satz 4.2.16. Sei σ : K → K ′ ein Körperisomorphismus und f ∈ K[X]. Weiter
seien L und L ′ Zerfällungskörper von f bzw. f ′ := σ ∗ (f). Dann gibt es einen
Körperisomorphismus ˜σ : L → L ′ mit ˜σ| K = σ.
Beweis. Wir verwenden Induktion über [L : K]. Wenn [L : K] = 1, dann gilt L = K,
d.h. f zerfällt über K und dementsprechend zerfällt f ′ über K ′ . Also muss auch
L ′ = K ′ gelten und man kann (und muss) ˜σ := σ wählen.
Im Falle [L : K] > 1 zerfällt f nicht über K. Daher gibt es ein irreduzibles
Polynom p ∈ K[X] mit deg(p) ≥ 2 und p | f. Sei β ∈ L eine Nullstelle von p (und
damit auch von f). Wenn β ′ ∈ L ′ eine Nullstelle von p ′ := σ ∗ (p) ist, dann gibt es
nach Korollar 4.2.11 einen Körperisomorphismus ˇσ : K(β) → K ′ (β ′ ) mit ˇσ(β) = β ′ .
Beachte, dass L automatisch ein Zerfällungskörper von f über K(β) ist, so wie auch
L ′ Zerfällungskörper von f ′ über K ′ (β ′ ) ist. Nach Lemma 4.2.15 gilt
[L : K(β)] =
[L : K]
< [L : K],
[K(β) : K]
also zeigt Induktion, dass es einen Körperisomorphismus ˜σ : L → L ′ mit ˜σ| K(β) = ˇσ
gibt. Zusammen erhalten wir ˜σ| K = ˇσ| K = σ und das zeigt die Behauptung. ⊓⊔
Korollar 4.2.17. Seien L, L ′ Zerfällungskörper von f ∈ K[X]. Dann gibt es einen
Körperisomorphismus σ : L → L ′ mit σ| K = id K .
Mit diesem Korollar können wir also von dem Zerfällungskörper eines Polynoms
sprechen.
Übung 4.2.1 (Minimalpolynom). Man bestimme das Minimalpolynom von √ 2+ √ 7 zum
einen über Q und zum anderen über Q( √ 2).

4.3 Primkörper und Charakteristik
4.3 Primkörper und Charakteristik 83
Definition 4.3.1. Sei K ein Körper, dann heißt der Schnitt über alle Unterkörper
von K der Primkörper von K.
Proposition 4.3.2. Sei K ein Körper. Dann ist der Primkörper von K isomorph
zu F p := Z/pZ mit p ∈ Z prim oder zu Q.
Beweis. Betrachte den Ringhomomorphismus
χ : Z → K
n ↦→ n · 1
und setze I := ker (χ). Dann ist die induzierte Abbildung Z/I → K injektiv, also
ist Z/I ein Integritätsbereich. Nach Proposition 2.2.10 ist also I prim und das zeigt
(vgl. Beispiel 2.2.12), dass entweder I = {0} oder I = (p) mit p ∈ Z prim gilt. Wenn
I = {0} gilt, dann ist χ injektiv und jeder Unterkörper von K (muss 1 enthalten)
enthält Z und damit Q (ist selbst Unterkörper). Also ist Q der Primkörper. Wenn
dagegen I = (p), dann ist Z/I = F p selbst ein Körper, der außerdem in jedem
Unterkörper enthalten und daher der Primkörper ist.
⊓⊔
Definition 4.3.3. Ein Körper K hat die Charakteristik 0 bzw. p, wenn der
Primkörper von K gleich Q bzw. F p ist. Die Charakteristik von K wird mit char(K)
bezeichnet.
Proposition 4.3.4. Sei K ein Körper der Charakteristik char(K) = p. Dann definiert
a ↦→ a p einen Körperautomorphismus von K, den man den Frobeniusautomorphismus
nennt.
Beweis. Die Binomialformel liefert
∑p−1
( p
(a + b) p − (a p + b p ) = a
k)
k b p−k = 0,
k=1
denn ( )
p
k =
p!
k!(p−k)!
ist durch p teilbar. Die Identität (ab) p = a p b p ist klar.
⊓⊔
Bemerkung 4.3.5. Sei L/K eine Körpererweiterung. Dann ist L ein K-Vektorraum.
Insbesondere gilt für endliches L und seinen Primkörper K = F p , dass |L| = p n mit
n = dim Fp L.
Definition 4.3.6. Wenn ein Polynom f ∈ K[X] über einem Körper L ⊇ K zerfällt,
dann sagt man f, hat keine mehrfachen Wurzeln, wenn (X − a) 2 das Polynom f
für kein a ∈ L teilt.

84 4 Körpererweiterungen
Proposition 4.3.7. Zu einem Polynom f =
k=1
n ∏
j=1
∑
(X − a j ) = n r k X k ∈ K[X]
betrachte die formale Ableitung f ′ ∑
= n k r k X k−1 ∈ K[X]. Dann sind folgende
Aussagen äquivalent
(1) Die a j sind paarweise verschieden.
(2) ggT(f, f ′ ) = 1.
Beweis. ”
(2)⇒(1)“: Man verifiziert zunächst, dass die formale Ableitung
′ : K[X] → K[X], f ↦→ f ′
eine Derivation ist, d.h. eine K-lineare Abbildung, die für alle f, g ∈ K[X] die
Identität
(fg) ′ = f ′ g + fg ′
erfüllt. Wenn jetzt f = (X − a j ) 2 g, dann gilt f ′ = 2(X − a j )g + (X − a j ) 2 g ′
und dies zeigt (X − a j ) | f, f ′ .
(1)⇒(2)“: Da K[X] faktoriell ist (vgl. Beispiel 2.3.4 und Satz 2.4.3), ist wegen (i)
”
jeder Teiler h von f von der Form h = ∏ (X − a j ) mit J ⊆ {0, . . . , n}. Wenn
also f und f ′ nicht teilerfremd sind, gibt es ein a j mit (X − a j ) | f ′ , d.h.,
f ′ (a j ) = 0. Wir schreiben f = (X − a j )g und erhalten f ′ = g + (X − a j )g ′ , was
im Widerspruch zu g(a j ) ≠ 0 steht. Damit ist die Behauptung bewiesen.
⊓⊔
j∈J
k=0
Satz 4.3.8. Sei p ∈ N prim und n ∈ N. Dann gibt es einen Körper K mit |K| = p n .
Beweis. Wenn K ein Körper mit p n = q Elementen ist, dann ist K ∗ = K \ {0} eine
(multiplikative) Gruppe mit q − 1 Elementen. Nach Bemerkung 1.4.20 gilt dann
a q−1 = 1 für jedes a ∈ K ∗ . Damit ist also jedes a ∈ K Nullstelle des Polynoms
g := X q − X.
Sei jetzt L ⊇ F p ein Körper, über dem g zerfällt (vgl. Satz 4.2.4). Dann gilt wegen
char(L) = p (vgl. Proposition 4.3.2) q = p n = 0 in L und daher g ′ = q X q−1 − 1 =
−1. Es folgt ggT(g, g ′ ) = 1 und Proposition 4.3.7 zeigt, dass g keine mehrfachen
Wurzeln hat. Also hat
K := {α ∈ L | g(α) = 0} = {α ∈ L | α ist Fixpunkt des Frobeniusautomorphismus}
genau q Elemente. Als Fixpunktmenge eines Körperautomorphismus ist damit K
ein Unterkörper von L und das beweist die Behauptung.
⊓⊔
Korollar 4.3.9. Seien K und K ′ Körper mit q = p n Elementen. Dann sind K und
K ′ isomorph.
Beweis. Wegen |K| = p n ist gilt a q − a = 0 für alle a ∈ K (vgl. den Beweis von Satz
4.3.8), d.h. X q − X zerfällt über K. Ein Zerfällungskörper muss mindestens die q
Nullstellen enthalten, also ist K Zerfällungskörper von X q − X. Dasselbe Argument
kann man für K ′ machen und darum zeigt Korollar 4.2.17 die Behauptung. ⊓⊔
Die durch Korollar 4.3.9 als eindeutig bestimmt erkannten Körper mit q = p n
Elementen nennt man Galoisfelder. Wir bezeichnen sie mit F q .

4.4 Irreduzibilitätskriterien 85
4.4 Irreduzibilitätskriterien
Beispiel 4.4.1. (i) Sei ϕ : Z → F p = Z/pZ der kanonische Homomorphismus und
f = X 3 − 10X 2 + 1 ∈ Z[X]. Wende Proposition 4.2.10 mit Z und Z/3Z an. Das
bedeutet, für p = 3 wertet man ϕ ∗ (f) = X 3 − X 2 + 1 ∈ F 3 [X] an allen drei
Stellen aus (0 ↦→ 1, 1 ↦→ 1, 2 ↦→ 2) und stellt so fest, dass ϕ ∗ (f) keine Nullstelle
hat (und daher wegen deg ( ϕ ∗ (f) ) = 3 irreduzibel sein muss).
(ii) Für f = X 3 − 6X 2 + 5X + 25 ergibt die Reduktion modulo 3 wie in (i) das
irreduzible Polynom X 3 + 2X + 1 ∈ F 3 [X] und damit die Irreduzibilität von f.
Reduktion modulo 5 dagegen führt auf X 3 − X 2 = X 2 (X − 1) ∈ F 5 [X], was
keine Rückschlüsse auf f erlaubt.
⊓⊔
Beispiel 4.4.2. Betrachte L = Q (√ 2, √ 3 ) und K = Q (√ 2 ) . Da √ 3 algebraisch
über Q mit Minimalpolynom X 2 − 3 ist, ist √ 3 auch algebraisch über K. Das
Minimalpolynom p von √ 3 über K muss X 2 − 3 ∈ K[X] teilen (vgl. Satz 4.2.9).
Daher gilt deg ( p ) ≤ 2 und ( wegen L = K( √ 3) ) auch [L : K] ≤ 2. Da es keine
a, b ∈ Q mit √ 3 = a + b √ 2 gibt, gilt √ 3 /∈ K und wir finden [L : K] = 2 und
p = X 2 − 3. Das Element α = √ 2 + √ 3 ist algebraisch über Q, weil [L : Q] = [L :
K][K : Q] = 2 · 2 = 4 < ∞ (vgl. Bemerkung 4.2.7). Mit α 2 = (√ 2 + √ 3 ) 2
= 5 + 2
√
6
sieht man α 2 − 5 = 2 √ 6 und α 4 − 10α 2 + 1 = 0. Wenn man zeigen kann, dass
f = X 4 − 10X 2 + 1 über Q irreduzibel, d.h. das Minimalpolynom von α über Q ist,
hat man L = Q (√ 2, √ 3 ) = Q (√ 2 + √ 3 ) = Q(α) bewiesen. In Lemma 4.4.4 werden
wir zeigen, dass es genügt die Irreduzibilität von f über Z zu zeigen. Indem man
die Koeffizienten modulo 5 nimmt, erkennt man wie in Beispiel 4.4.1, dass f keine
ganzzahligen Nullstellen hat, sich also in Z[X] keine lineare Terme abspalten lassen.
Wenn
f = X 4 − 10X 2 + 1 = (X 2 + aX + b)(X 2 + a ′ X + b ′ )
mit a, a ′ , b, b ′ ∈ Z, dann gilt a + a ′ = 0, b + aa ′ + b ′ = −10, ba ′ + ab ′ = 0 und bb ′ = 1.
Es folgt a ′ = −a, b ′ = b = ±1. Wenn b = 1, findet man −a 2 = −12, was nicht
möglich ist, und b = −1 führt auf −a 2 = −8, was ebenso unmöglich ist. Also ist f
in der Tat irreduzibel über Z und die Körpererweiterung L/Q ist einfach. ⊓⊔
Proposition 4.4.3. Sei f = a 0 + a 1 X + · · · + a n X n ∈ Z[X].
(i) Wenn f ( r
s
)
= 0 mit teilerfremden r, s ∈ Z, dann gilt r | a0 und s | a n .
(ii) Wenn a n = 1, dann gilt s = ±1.
Beweis. Da (ii) eine unmittelbare Konsequenz von (i) ist, reicht es, (i) zu beweisen.
r
Dazu setze 0 = a 0 + a 1 s + · · · + a n rn
s
und beachte
n
von s geteilt
{ }} {
0 = s n a 0 + s n−1 a 1 r + . . . + a n r
} {{ n .
}
von r geteilt
Dies liefert sowohl r | a 0 also auch s | a n .
⊓⊔
Lemma 4.4.4. Sei f ∈ Z[X] und f = gh mit g, h ∈ Q[X]. Dann gibt es Polynome
˜g, ˜h ∈ Z[X] mit f = ˜g˜h und deg(g) = deg(˜g) sowie deg(h) = deg(˜h). Insbesondere
ist f ∈ Z[X] irreduzibel über Z genau dann, wenn f irreduzibel über Q ist.

̸
̸
̸
̸
86 4 Körpererweiterungen
Beweis. In der Notation des Gauß–Lemmas 2.4.9, angewandt auf Z, bemerken wir
zunächst, dass für f ∈ Z[X] gilt c(f) ∈ Z (= ggT der Koeffizienten). Dann sehen
wir c(g)c(h) = c(f) ∈ Z (bei passend gewählten Vorzeichen). Also gilt auch
f = c(f)g 1 h 1 .
} {{ } }{{}
∈Z[X] ∈Z[X]
⊓⊔
Satz 4.4.5 (Eisenstein-Kriterium). Sei f = a 0 + a 1 X + · · · + a n X n ∈ Z[X].
Wenn p | a i für i < n und p prim, aber p ̸ | a n und p 2 | a 0 , dann ist f irreduzibel
über Q.
Beweis. Gegeben sei die Zerlegung
f = ( ∑
m b i X i
i=0
} {{ }
g
) ( n−m ∑
j=0
c j X j )
.
} {{ }
h
Mit Lemma 4.4.4 können wir o.B.d.A. g, h ∈ Z[X] annehmen. Wegen p | a 0 = b 0 c 0
folgt p | b 0 oder p | c 0 , aber p 2 | a 0 zeigt, dass nur eine der beiden Möglichkeiten
auftreten kann. Wir nehmen o.B.d.A. p | c 0 und p ̸ | b 0 an. Wegen p | a n = b m c n−m
folgt jetzt p ̸ | b m und p | c n−m . Sei c r der erste nicht durch p teilbare Koeffizient
von h. Wenn r < n, dann gilt p | a r und
p ̸ | b 0 c r = a r − (b 1 c r−1 + · · · + b r c 0 ).
Dieser Widerspruch zeigt r = n und daher m = 0. Damit ist g konstant und die
Behauptung folgt.
⊓⊔
Beispiel 4.4.6. X 5 − 4X + 2 ∈ Z[X] ist nach dem Eisensteinkriterium 4.4.5, angewendet
auf p = 2, irreduzibel.
⊓⊔
Definition 4.4.7. Sei p prim. Dann heißt
das p-te Kreisteilungspolynom.
Φ p := Xp − 1
X − 1 = Xp−1 + X p−2 + · · · + X + 1
Korollar 4.4.8. Das Kreisteilungspolynom Φ p ist irreduzibel über Q.
Beweis. Die Abbildung
ϱ : Q[X] → Q[X],
n∑
n∑
a j X j ↦→ a j (X + 1) j
j=0
j=0
ist ein Ringisomorphismus, also ist Φ p genau dann irreduzibel, wenn ϱ(Φ p ) irreduzibel
ist. Mit
ϱ(Φ p ) = (X + ( 1)p − 1
p
= X p−1 + p X p−2 + X
X
2)
p−3 + · · · + p
liefert also das Eisensteinkriterium aus Satz 4.4.5 die Behauptung.
⊓⊔

4.5 Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal 87
Korollar 4.4.9. Wenn a ∈ Z \ {±1} quadratfrei ist, dann ist X n − a für alle n > 2
irreduzibel über Q.
Beweis. Wähle p | a und wende das Eisensteinkriterium 4.4.5 an.
⊓⊔
Bemerkung 4.4.10. Es gibt irreduzible Polynome beliebig hohen Grades über Q,
nicht aber über R oder C.
⊓⊔
Beispiel 4.4.11. Betrachte den Quotientenkörper K := F p (t) von F p [t], d.h. den
Körper der ”
rationalen Funktionen in einer Variablen t“. Sei L der Zerfällungskörper
von q := X p − t und q(α) = 0 für α ∈ L. Dann gilt
(X − α) p = X p − α p = X p − t
und wir sehen, dass α die einzige Nullstelle von q ist. Die Irreduzibilität von q lässt
sich aus einem Analogon des Eisensteinkriteriums folgern. Dabei nimmt man F p [t]
statt Z, F p (t) statt Q und t als Primelement in F p [t].
⊓⊔
Übung 4.4.1. Formuliere und beweise das in Beispiel 4.4.11 angedeutete Eisensteinkriterium.
4.5 Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal
In diesem Abschnitt beschreiben wir die Konstruierbarkeit von Punkten in der
Ebene mithilfe von Zirkel und Lineal durch algebraische Operationen. Aufgrund
dieser Beschreibung können wir dann die Unmöglichkeit gewisser Konstruktionen
zeigen. Beispiele dafür sind die Kreisquadrierung und die Winkeldreiteilung.
Definition 4.5.1. Wir betrachten die euklidische Ebene R 2 und betrachten einen
Punkt (x, y) ∈ R 2 als konstruierbar, wenn er durch eine endliche Abfolge von
Operationen der Typen (A), (B) und (C) aus den Punkten (0, 0) und (1, 0) zu
erhalten ist:
(A) Man legt eine Gerade durch zwei konstruierbare Punkte.
(B) Man schlägt einen Kreis um einen konstruierbaren Punkt mit einem Radius,
der gleich dem Abstand zweier konstruierbarer Punkte ist.
(C) Man schneidet Geraden/Kreise mit Geraden/Kreisen und nimmt die Schnittpunkte
in die Menge der konstruierbaren Punkte auf.
Eine reelle Zahl r ∈ R heißt konstruierbar, wenn der Punkt (r, 0) konstruierbar
ist.
Proposition 4.5.2. Die Menge K der konstruierbaren reellen Zahlen ist ein Unterkörper
von R, für den gilt
(∀a, b, c ∈ K, c ≥ 0) : a + b √ c ∈ K.

88 4 Körpererweiterungen
Beweis. Die Summe a + b zweier konstruierbarer Zahlen a und b erhält man, indem
man einen Kreis um (a, 0) mit Radius b schlägt und mit der x-Achse schneidet.
Das Produkt ab zweier konstruierbarer Zahlen a und b erhält man, indem man
durch (0, b) eine Parallele zu der Geraden durch (a, 0) und (0, 1) legt und diese mit
der x-Achse schneidet. Beachte dabei, dass sich Parallelen mit Zirkel und Lineal
über eine zweifache Konstruktion von Mittelsenkrechten konstruieren lassen.
In ähnlicher Weise erhält man den Quotienten a b
zweier konstruierbarer Zahlen
a und b ≠ 0, indem man durch (0, a) eine Parallele zu der Geraden durch (0, b)
und (1, 0) legt und diese mit der x-Achse schneidet.c Um die letzte Aussage zu
bekommen, reicht es zu zeigen, dass die Wurzel einer positiven konstruierbaren
Zahl a konstruierbar ist. Dazu schlägt man einen Kreis mit Radius c+1
2
um ( )
0, c−1
2
und schneidet ihn mit der x-Achse. Nach dem Höhensatz ist der rechte Schnittpunkt
gerade ( 0, √ c ) .
⊓⊔
b
1
0
a
b
a+b
a
ab
a
c
b
(c+1)/2
1
a/b
c
Man beachte, dass die Koordinaten eines konstruierbaren Punktes (x, y) konstruierbare
Zahlen sind. Zunächst liefert eine Mittelsenkrechtenkonstruktion aus
der Geraden durch (0, 0) und (1, 0), d.h. der x-Achse, die Gerade durch (0, 0) und
(0, 1), d.h. die y-Achse. Die Parallelen durch (x, y) zu den beiden Achsen liefern die
Punkte (x, 0) und (0, y). Schließlich liefert der Schnitt des Kreises um (0, 0) durch
(0, y) mit der x-Achse auch den Punkt (y, 0).
Satz 4.5.3. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn es einen Körperturm
Q = L 0 ⊆ L 1 ⊆ . . . ⊆ L n ⊆ R gibt, für den gilt
(a) a ∈ L n .
(b) Für j = 0, . . . n 1 ist L j+1 = L j ( √ α j ) für ein α j ∈ L j .
Beweis. ”
⇒“: Wir führen eine Induktion nach der Anzahl k der benötigten Konstruktionsschritte
für (a, 0) durch. Wenn k = 0, ist a ∈ Q und es ist nichts zu
zeigen. Für k > 0 erhält man a aus in höchstens k − 1 Schritten konstruierbaren
Punkten, in dem man man zwei Geraden/Kreise miteinander schneidet.
Wenn die in k − 1 Schritten konstruierbaren Punkte alle Koordinaten in einer
Körpererweiterung L von Q haben, dann führt das schlimmstenfalls auf eine

4.5 Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal 89
quadratische Gleichung mit Koeffizienten in L und somit zu Punkten mit Koordinaten
in L( √ α), wobei α ∈ L sich aus den Koeffizienten der quadratischen
Gleichung ergibt.
⇐“: Diese Richtung beweist man mit Induktion über die Höhe n des Körperturms.
”
Für n = 0 ist nichts zu zeigen und für n > 0 ist jede Zahl der Form α + β √ γ
mit α, β, γ ∈ L n−1 Lösung einer quadratischen Gleichung mit Koeffizienten in
L n−1 . Damit ist sie durch eine passende Schnittkonstruktion aus Punkten mit
Koeffizienten in L n−1 konstruierbar. Mit Induktion folgt dann die Behauptung.
⊓⊔
Korollar 4.5.4. Wenn a ∈ R konstruierbar ist, dann gibt es eine Körpererweiterung
L/Q mit a ∈ L und [L : Q] = 2 k .
Beweis. Dies folgt sofort aus Satz 4.5.3 und Lemma 4.2.15.
⊓⊔
Korollar 4.5.5. (i) Wenn a ∈ R algebraisch (über Q) ist und der Grad des Minimalpolynoms
von a keine Zweierpotenz ist, dann ist a nicht konstruierbar.
(ii) Wenn a ∈ R transzendent (über Q) ist, dann ist a nicht konstruierbar.
Beweis. Wegen [Q(a) : Q] = ∞ für jede transzendente Zahl a ∈ R und [Q(a) : Q] =
deg(p) für das Minimalpolynom p einer algebraischen Zahl a ∈ R, folgt dies sofort
aus Korollar 4.5.4.
⊓⊔
Beispiel 4.5.6. (i) Eine Zahl a ∈ R mit a 3 = 2 ist nicht konstruierbar, weil das
Minimalpolynom X 3 − 2 ∈ Q[X] eines solchen Elements keine Zweierpotenz
als Grad hat. Damit ist das sogenannte Delische Problem, einen Würfel mit
dem doppelten Volumen eines vorgegebenen Würfels zu konstruieren, nicht mit
Zirkel und Lineal lösbar.
(ii) Die Zahl √ π ∈ R ist nicht konstruierbar, weil π transzendent ist (das wurde
1882 von F. Lindemann (1852–1939) bewiesen und erfordert andere Methoden
als sie in dieser Vorlesung vorgeführt wurden). Damit ist es nicht möglich, zu
einem Kreis mit Radius 1 (d.h. Fläche π) ein Quadrat derselben Fläche mit
Zirkel und Lineal zu konstruieren (Kreisquadrierung). Ganz analog seht man,
dass es auch nicht möglich ist, ein Quadrat zu konstruieren, dessen Umfang
gleich dem Umfang 2π des Kreis mit Radius 1 ist.
(iii) Im Allgemeinen ist es nicht möglich, einen Winkel mit Zirkel und Lineal in drei
gleiche Teile zu teilen. So ist zum Beispiel der Winkel 20 ◦ nicht konstruierbar,
weil die Zahl a = cos(20 ◦ ) die Gleichung a 3 − 6a − 1 = 0 erfüllt, also ein
Minimalpolynom vom Grad 3 hat.
⊓⊔
Beispiel 4.5.7 (Regelmäßige n-Ecke). Ein regelmäßiges n-Eck ist genau dann
mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn der Punkt ζ = e 2πi
n ∈ C ∼ = R 2 konstruierbar
ist. Wenn ζ m und ζ k für teilerfremde m und k konstruierbar sind, dann ist
auch ζ mk konstruierbar. Um das einzusehen, wählt man s, t ∈ Z mit sm + tk = 1
und findet für n = mk
ζ n = e 2πi
mk
2πis
= e k + 2πit
m = (ζk ) s (ζ m ) t .
damit reduziert sich die Frage nach der Konstruierbarkeit regulärer n-Ecke auf
solche n, die Primzahlpotenzen sind.
Die Einheitswurzeln ζ n sind gerade die Nullstellen des Polynoms X n − 1 in C.
Für n = p prim ist das Minimalpolynom von ζ p das p-te Kreisteilungspolynom Φ p
(siehe Korollar 4.4.8). Mit Korollar 4.5.5 sieht an also, dass ζ p nur konstruierbar

90 4 Körpererweiterungen
sein kann, wenn p von der Form p = 2 m + 1 ist. Das geht aber nur, wenn m selbst
keine ungeraden Primteiler hat. Wenn nämlich b ∈ N ungerade ist, dann zeigt
(X b + 1) = (X + 1)(X b−1 − X b−2 + · · · + X 3 − X 2 + 1),
dass 2 a + 1 ein Teiler von 2 ab + 1 ist. Damit ist p eine Fermatsche Primzahl ist,
d.h. eine von der Form p = 2 2l + 1.
Eine p 2 -te Einheitswurzel, die keine p-te Einheitswurzel ist, ist eine Nullstelle
von f = Xp2 −1
X p −1
= (Xp ) p−1 + (X p ) p−2 + . . . + (X p ) + 1. Wie in Korollar 4.4.8 für
das Kreisteilungspolynom zeigt man, dass f irreduzibel über Q ist. Damit ist f das
Minimalpolynom der p 2 -ten Einheitswurzel in Frage, und Korollar 4.5.5 zeigt, dass
das reguläre p 2 -Eck nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Da mit ζ mk = ζ n
auch ζ m = (ζ n ) k und ζ k = (ζ n ) m konstruierbar ist, folgt insbesondere, dass die Konstruierbarkeit
von p k = p 2 p k−2 mit k ≥ 3 die Konstruierbarkeit von p 2 impliziert.
Also findet man die folgende Aussage:
Das regelmäßige n-Eck kann nur konstruierbar sein, wenn für die Primzahlzerlegung
n = 2 k p k 1
1 · · · pk m m gilt: k j = 1 und p j ist eine Fermatsche Primzahl.
Die Umkehrung dieser Aussage ist ebenfalls richtig, wie in Beispiel 5.4.22 gezeigt
wird.
⊓⊔

5
Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale
5.1 Separabilität
Definition 5.1.1. Sei K ein Körper und f = p 1 · · · p m die Faktorisierung eines
Polynoms f ∈ K[X] in irreduzible Polynome. Dann heißt f separabel, wenn kein p j
mehrfache Nullstellen hat. Der Körper K heißt perfekt, wenn jedes f ∈ K[X]\{0}
separabel ist. Eine Körpererweiterung L/K heißt separabel, wenn für jedes α ∈ L
gilt: α ist transzendent oder das Minimal–Polynom von α ist separabel.
Beispiel 5.1.2. Sei K ein Körper der Charakteristik char(K) = 0. Dann ist K ist
perfekt. Um das einzusehen, betrachte ein irreduzibles Polynom p ∈ K[X] vom Grad
deg(p) > 0. Dann gilt p ′ ≠ 0 und deg(p ′ ) < deg(p). Dies liefert ggT(p, p ′ ) = 1 und
daher hat nach Proposition 4.3.7 p keine mehrfachen Nullstellen.
Bemerkung 5.1.3. Sei L/K eine Körpererweiterung und f ∈ K[X] separabel.
Dann ist f auch als Element von L[X] separabel, denn wenn f = p 1 · · · p n eine
Zerlegung in irreduzible Polynome ist, dann kann man p j = q (j)
1 · · · q n (j)
j
mit irreduziblen
q l ∈ L[X] schreiben und die q (j)
l
sind die (bis auf multiplikative Konstanten)
eindeutig bestimmten irreduziblen Faktoren von f ∈ L[X]. Diese können dann auch
keine mehrfachen Nullstellen haben.
⊓⊔
Satz 5.1.4. Sei σ : K → K ′ ein Körperisomorphismus und f ∈ K[X] separabel.
Seien L und L ′ Zerfällungskörper von f bzw. σ ∗ (f). Dann gibt genau [L : K]
Körperisomorphismen ˜σ : L → L ′ mit ˜σ| K = σ.
Beweis. Wir greifen den Beweis von Satz 4.2.16 auf und sehen, dass für [L : K] = 1
nichts mehr zu zeigen ist. Wenn f von einem irreduziblen Polynom p ∈ K[X] vom
Grad größer 1 geteilt wird, dann liefert die Separabilität von f, dass p genau deg(p)
Nullstellen hat.
Sei jetzt ˜σ : L → L ′ ein Körperisomorphismus mit ˜σ| K = σ und β ∈ L Nullstelle
von p. Dann ist ˜σ(β) =: β ′ eine Nullstelle von σ ∗ (p).
Umgekehrt gibt es nach Korollar 4.2.11 zu jeder der deg(p) = [K(β) : K] =
deg ( σ ∗ (p) ) (vgl. Satz 4.2.9(v)) Nullstellen β ′ von σ ∗ (p) in L ′ genau einen Körperisomorphismus
ˇσ β ′ : K(β) → K ′ (β ′ ) mit ˇσ β ′(β) = β ′ . Mit Induktion folgt wegen
Bemerkung 5.1.3, dass jedes der ˇσ β ′ auf [L : K(β)] verschiedene Weisen fortgesetzt
werden kann. Zusammen erhält man also
Fortsetzungsmöglichkeiten.
[L : K(β)][K(β) : K] = [L : K]
⊓⊔

92 5 Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale
5.2 Die Galoisgruppe
Definition 5.2.1. Eine Körpererweiterung L/K heißt rein, wenn L = K(α) mit
α m ∈ K für ein m ∈ N. Wenn
K = L 0 ⊆ . . . ⊆ L k = L
mit L j /L j−1 rein, dann heißt L/K eine Radikalerweiterung. Eine durch ein Polynom
f ∈ K[X] gegebene Gleichung
f(x) = 0
heißt auflösbar durch Radikale über K, wenn es eine Radikalerweiterung L/K
gibt, für die L einen Zerfällungskörper von f enthält.
Lemma 5.2.2. Sei p ∈ N prim und K enthalte alle p-ten Einheitswurzeln. Dann
gibt es für f = X p − a mit a ∈ K nur zwei Möglichkeiten:
(a) f ist irreduzibel.
(b) f zerfällt über K.
Beweis. Sei L Zerfällungskörper von f über K und α ∈ L eine Wurzel von f, d.h.
f(α) = 0. Dann gilt α p = a ∈ K und für jede p-te Einheitswurzel ζ ∈ K gilt
(ζα) p = 1 · α p = a. Also ist {ζα | ζ p-te Einheitswurzel} die Menge aller Nullstellen
von f und f zerfällt über K sofern eine dieser Nullstellen in K liegt.
Wenn nun α /∈ K gilt, dann ist keine der Nullstellen ζα in K. Wir nehmen an,
dass es h, g ∈ K[X] mit f = gh und deg(g) < deg(f) gibt. Dann findet man p-te
Einheitswurzeln ζ 1 , . . . , ζ q mit q < p und
g =
q∏
(ζ j α − X) = ( ∏
q )
ζ j α q + höhere Terme in X.
j=1
j=1
Insbesondere gilt α q ∈ K. Da p und q teilerfremd sind findet man r, s ∈ Z mit
rp + sq = 1. Es folgt
α = (α p ) r (α q ) s ∈ K
und dieser Widerspruch beweist die Behauptung.
⊓⊔
Proposition 5.2.3. Sei p prim und K enthalte alle p-ten Einheitswurzeln. Wenn
L = K(α) mit α p ∈ K, dann gilt entweder L = K oder [L : K] = p.
Beweis. Wenn L ≠ K ist, d.h., α /∈ K, dann zeigt Lemma 5.2.2, dass X p − α p
irreduzibel ist. Aber dann ist X p − α p ist das Minimalpolynom von α und Satz
4.2.9 liefert [L : K] = p. ⊓⊔
Proposition 5.2.4. Sei K = L 0 ⊆ L 1 ⊆ . . . ⊆ L k eine Radikalerweiterung, d.h.
L j = L j−1 (α j ) mit α k j
j ∈ L j−1 . Wenn K alle p-ten Einheitswurzeln mit p Primteiler
eines k j enthält, dann läßt sich der Körperturm zu einem Turm
mit [B j : B j−1 ] prim verfeinern.
K = B 0 ⊆ B 1 ⊆ . . . ⊆ B l = L k

5.2 Die Galoisgruppe 93
Beweis. Zu zeigen ist wegen Proposition 5.2.3) nur, dass man zu einer einfachen
Körpererweiterung E = F(β), β k ∈ F Zwischenkörper F = F 0 ⊆ F 1 ⊆ . . . ⊆ F r = E
mit F j = F j−1 (β j ), β p j
j ∈ F j−1 und p j | k prim finden kann. Dazu schreibe
k = p 1 · · · p r (mit Wiederholung) und setze β r = β, β j−1 = β pj
j . ⊓⊔
Proposition 5.2.5. Sei B/K eine endliche Körpererweiterung. Dann gibt es eine
Körpererweiterung L/B so, dass L der Zerfällungskörper eines Polynoms f ∈ K[X]
ist.
Beweis. Sei {β 1 , . . . , β n } eine K-Basis für B und f 1 , . . . , f n ∈ K[X] seien die zugehörigen
Minimalpolynome (vgl. Bemerkung 4.2.7). Mit dem Zerfällungskörper L
von f := f 1 · · · f n gilt dann B ⊆ K(β 1 , . . . , β n ) ⊆ L.
⊓⊔
Lemma 5.2.6. Sei f ∈ K[X] und L der Zerfällungskörper von f über K. Wenn
σ ∈ Aut K (L) := {ϕ : L → L | Automorphismus mit σ| K = id K } und f(α) = 0 für
α ∈ L. Dann ist auch σ(α) Nullstelle von f.
Beweis. Mit f = ∑ a j X j finden wir ∑ a j α j = 0 und daher
0 = ∑ σ(a j )σ(α) j = ∑ a j σ(α) j = f ( σ(α) ) .
⊓⊔
Definition 5.2.7. Die Gruppe Aut K (L) zu einer Erweiterung L/K heißt die Galoisgruppe
von L/K und wird mit Gal(L/K) bezeichnet. Wenn f ∈ K[X] und L der
Zerfällungskörper von f über K, dann heißt Gal K (f) := Gal(L/K) die Galoisgruppe
von f über K.
Satz 5.2.8. Wenn f ∈ K[X] n = deg(f) verschiedene Nullstellen in seinem
Zerfällungskörper L hat, dann ist Gal K (f) isomorph zu einer Untergruppe von S n .
Beweis. Sei M = {α 1 , . . . , α n } die Menge der Nullstellen von f in L. Dann zeigt
Lemma 5.2.6, dass σ(M) ⊆ M für alle σ ∈ Gal K (f). Aber damit ist σ : M → M
automatisch bijektiv, weil M endlich ist. Mit Proposition 4.2.8 findet man L =
K(α 1 , . . . , α n ) und erkennt, dass
Gal f (f) −→ S n
σ ↦−→ σ| M
ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.
⊓⊔
Proposition 5.2.9. Wenn f ∈ K[X] separabel ist und L der Zerfällungskörper von
f über K, dann gilt | Gal K (f)| = [L : K].
Beweis. Dies erhält man aus Satz 4.2.16 (ii), angewandt auf id K : K → K.
⊓⊔
Beispiel 5.2.10. (i) Das Polynom f = X 2 + 1 ∈ R[X] hat den Zerfällungskörper
C, also gilt | Gal R (f)| ≤ 2 und das liefert Gal R (f) ∼ = {±1}, weil die komplexe
Konjugation σ : C → C, z ↦→ z in Gal R (f) ist.

94 5 Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale
(ii) Das Polynom f = X 3 −1 ∈ Q[x] ist nach Beispiel 5.1.2 separabel, weil char(Q) =
0. Also ist f = (X−1)(X 2 +X+1) ist die Faktorisierung in irreduzible Polynome
und der Zerfällungskörper von f ist L = Q(w) mit w = e 2 3 πi . Es gilt [L : Q] =
Gr(x 2 + x + 1) = 2, was zu Gal Q (f) ∼ = {±1} zu führt. Wegen σ(w) = w 2 = w
gilt aber σ(α) = α für alle α ∈ L. Also ist σ das von id Q verschiedene Element
von Gal Q (f).
(iii) Das Polynom f = X 3 − 2 ∈ Q[X] ist nach dem Eisensteinkriterium 4.4.5 irreduzibel
mit den Nullstellen 3√ 2, w 3√ 2 und w √ 2 3
2 mit w = e 2 3 πi . Dies liefert
L = Q ( w, 3√ 2 ) , weil w ∉ Q ( √ 3
2 ) ⊆ R. Die Irreduzibilität von X 3 − 2 zeigt, dass
X 3 − 2 das Minimalpolynom von 3√ 2 ist, also haben wir [Q ( √ 3
2 ) : Q] = 3. Mit
Proposition 5.2.9 erhalten wir
| Gal Q (f)| = [L : Q] = [ L : Q( 3√ ][
2)
√ ]
3
Q( 2) : Q > 3
} {{ } } {{ }
>1
=3
und da Gal Q (f) isomorph zu einer Untergruppe von S 3 ist (vgl. Satz 5.2.8), gilt
sogar Gal Q (f) ∼ = S 3 .
Proposition 5.2.11. Sei p ∈ N prim und K sei eine Körper der Charakteristik
char(K) ≠ p, der alle p-ten Einheitswurzeln enthält. Wenn L/K rein ist und [L :
K] = p, dann gilt Gal(L/K) ∼ = Z/pZ.
Beweis. Sei L = K(α) mit α p ∈ K, aber α /∈ K (vgl. Proposition 5.2.3). Dann zeigt
der Beweis von Lemma 5.2.2, dass X p − α p irreduzibel über K ist. Die Nullstellen
dieses Polynoms sind {ζα | ζ p-te Einheitswurzel} (davon gibt es wegen char(K) ≠
p genau p Stück). Also ist X p − α p separabel. Jetzt zeigt Proposition 5.2.9 die
Identität | Gal(L/K)| = p somit hat jedes von der Eins verschiedene Element in
Gal(L/K) die Ordnung p, ist also ein Erzeuger (vgl. Bemerkung 1.4.20). Dies liefert
Gal(L/K) ∼ = Z/pZ.
⊓⊔
Proposition 5.2.12. Sei K ein Körper, f ∈ K[X] und L der Zerfällungskörper von
f über K.
(i) Wenn f irreduzibel ist, dann wirkt die Galoisgruppe Gal K (f) transitiv auf der
Menge M := {α ∈ L | f(α) = 0}.
(ii) Wenn f keine mehrfachen Nullstellen hat und Gal K (f) transitiv auf M wirkt,
dann ist f ist irreduzibel.
Beweis. (i) Wende Korollar 4.2.11 auf id K mit σ(α 1 ) = α 2 für α 1 , α 2 ∈ M an.
(ii) Wenn f = gh mit deg(g), deg(h) > 0 und g(α 1 ) = 0 = h(α 2 ) gilt, dann gibt es
ein σ ∈ Gal K (f) mit σ(α 1 ) = α 2 . Nach Lemma 5.2.6 haben wir dann g(α 2 ) = 0
und α 2 ist doppelte Nullstelle.
⊓⊔
Lemma 5.2.13. Seien K ⊆ B ⊆ L Körper, und sei B der Zerfällungskörper von
f ∈ K[X] über K. Wenn σ ∈ Gal(L/K), dann gilt σ| B ∈ Gal K (f).
Beweis. Zu zeigen ist, dass σ(B) = B. Sei
M := {α ∈ B | f(α) = 0} = {α 1 , . . . , α n } = {α ∈ L | f(α) = 0}.
Dann gilt B = K(α 1 , . . . , α n ) und Lemma 5.2.6 liefert σ(M) = M, was die Behauptung
beweist.
⊓⊔

5.2 Die Galoisgruppe 95
Satz 5.2.14. Seien K ⊆ B ⊆ L Körper, wobei B der Zerfällungskörper von f ∈
K[X]. Dann gilt:
(i) Gal(L/B) ✂ Gal(L/K).
(ii) Es gibt eine natürliche Einbettung Gal(L/K)/Gal(L/B) ↩→ Gal(B/K) = Gal K (f),
die surjektiv ist, wenn L selbst Zerfällungskörper eines Polynoms g ∈ K[X] über
K ist.
Beweis. Die Abbilddung
ψ : Gal(L/K) → Gal(B/K)
σ ↦→ σ| B
ist ein Gruppenhomomorphismus (vgl. Lemma 5.2.13) mit Kern
ker (ψ) = {σ ∈ Gal(L/K) | σ| B = id B } = Gal(L/B)
und das beweist (i). Weiter sieht man, dass ψ zu einem injektiven Gruppenhomomorphismus
ψ : Gal(L/K)/Gal(L/B) −→ Gal(B/K)
faktorisiert.
Zu zeigen bleibt noch, dass ψ surjektiv ist, falls L selbst ein Zerfällungskörper
ist: Dazu sei τ ∈ Gal(B/K). Nach Satz 4.2.16 gibt es ein ˜τ ∈ Aut(L) mit ˜τ| B = τ.
Aber dann ist ˜τ| K = id K und daher ˜τ ∈ Gal(L/K). Also ergibt sich ψ(˜τ) = ˜τ| B = τ
und damit die Behauptung.
⊓⊔
Lemma 5.2.15. Sei L/K eine Körpererweiterung und A, B Zwischenkörper. Sei AB
der von A und B erzeugte Unterkörper von L (genannt das Kompositum von A
und B).
(i) Wenn A/K eine Radikalerweiterung ist, dann ist auch AB/B eine Radikalerweiterung.
(ii) Wenn AB/B und B/K Radikalerweiterungen sind, dann ist auch AB/K eine
Radikalerweiterung.
Beweis. (i) Seien A j /A j−1 reine Körpererweiterungen mit A j = A j−1 (α j ), wobei
α n j
j ∈ A j−1 gelten soll. Dann gilt A j B = A j−1 B(α j ) und α n j
j ∈ A j−1 B. Also ist
A j B/A j−1 B eine reine Körpererweiterung und die Behauptung folgt.
(ii) Dieser Teil ist klar.
⊓⊔
Bemerkung 5.2.16. Sei L/K eine Körpererweiterung und σ ∈ Gal(L/K). Wenn
B/K eine Radikalerweiterung ist und B ⊆ L, dann ist auch σ(B)/K eine Radikalerweiterung.
Lemma 5.2.17. Sei f ∈ K[X] durch Radikale auflösbar, dann existiert eine Radikalerweiterung
E/K mit folgender Eigenschaft:
E enthält den Zerfällungskörper L von f und ist selbst Zerfällungskörper eines
Polynoms g ∈ K[X].

96 5 Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale
Beweis. Sei K = L 0 ⊆ L 1 ⊆ . . . ⊆ L l eine Radikalerweiterung mit L ⊆ L l . Wenn
L j = L j−1 (α j ), dann gilt L l = K(α 1 , . . . , α l ). Sei jetzt m j ∈ K[X] das Minimalpolynom
von α j über K. Wir listen die Nullstellen der m j auf:
m 1 : α 1 = α (1)
1 , . . . , α(r 1)
1 ❀ M 1
.
.
m l : α l = α (1)
l
, . . . , α (r l)
l
❀ M l
.
Sei E der Zerfällungskörper von ∏ l
j=1 m j, d.h. E = K ( {α (i)
j | i, j} ) , wobei E j =
K({α (i)
j | i}) der Zerfällungskörper von m j ist. Für σ ∈ Gal(C/K) betrachte den
Körperturm
K ⊆ σ(L 1 ) ⊆ . . . ⊆ σ(L l ).
σ(L l )/K ist eine Radikalerweiterung, also liefert Lemma 5.2.15, dass σ 1 (L l ) · . . . ·
σ s (L l )/K eine Radikalerweiterung ist, wobei wir Gal(C/K) = {σ 1 , . . . , σ s } schreiben.
Da α 1 , . . . , α l ∈ L l und Gal(E/K) transitiv auf den Mengen M j wirkt, finden
wir σ 1 (L l ) · . . . · σ s (L l ) = E. Dabei ist zu beachten, dass nach Proposition 5.2.12 die
Gruppe Gal(E j /K) transitiv auf M j wirkt. Dann sagt Satz 4.2.16, dass die Elemente
von Gal(E j /K) sich zu Elementen von Gal(C/K) fortsetzen lassen. Zusammen findet
man, dass E/K eine Radikalerweiterung ist, die L als Zwischenkörper enthält. ⊓⊔
Definition 5.2.18. Sei G eine Gruppe und G ′ = [G, G] die Kommutatorgruppe
von G. Wir setzen G (0) := G sowie G (1) := G ′ und dann induktiv G (i+1) := ( G (i)) ′
für i ∈ N. Es gilt dann
G ⊇ G (1) ⊇ G (2) ⊇ . . .
und wir nennen G auflösbar, wenn es ein j ∈ N 0 mit G (j) = {1} gibt.
Satz 5.2.19. Sei G eine Gruppe. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent:
(1) G ist auflösbar.
(2) Es gibt eine Kette G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ . . . ⊃ G n = {1} von Untergruppen von G
mit G j ✂ G j−1 und G j−1 /G j abelsch.
(3) (Dieser Teil hat nur für endliche G Gültigkeit.) Es gibt eine Kette G = G 0 ⊃
. . . ⊃ G l = {1} von Untergruppen von G mit G j ✂ G j−1 und |G j−1 /G j | prim.
Beweis. ”
(1)⇒(2)“: Wähle G j = G (j) .
” (2)⇒(1)“: Wenn G j−1/G j abelsch ist, dann gilt G ′ j−1 ⊆ G j und dies liefert G (j) ⊆
G j , also die Behauptung.
” (3)⇒(2)“: Wenn |G j−1/G j | = p, dann gilt G j−1 /G j = Z/pZ, weil jedes von Eins
verschiedene Element die Gruppe zyklisch erzeugt. Insbesondere ist die Gruppe
abelsch.
(2)⇒(3)“: Wir beweisen zunächst mit Induktion über die Ordnung, dass jede endliche
abelsche Gruppe A eine Untergruppe mit Primzahlindex hat: Beachte dazu
”
zunächst, dass jedes Element g von G endliche Ordnung hat. Zerlegt man die
Ordnung in ihre Primfaktoren und ersetzt g durch eine passende Potenz, so findet
man ein Element mit Primzahlordnung p. Dieses Element erzeugt dann eine
Untergruppe B, die isomorph zu Z/pZ ist und insbesondere p Elemente hat.
Wenn B = G, ist die Behauptung bewiesen. Wenn nicht, dann findet man mit
Induktion eine Untergruppe C ⊆ A, die B enthält, mit [A : C] = [A/B : C/B]
prim.
Jetzt beweisen wir (3) durch Induktion über |G|. Dazu genügt es einen Normalteiler
H ✂ G mit G 1 ≤ H und [G : H] prim zu finden (dann wendet man
Induktion auf H an). Aber dazu brauchen wir nur eine Untergruppe von G/G 1
mit Primzahlindex zu finden, was wir oben schon erledigt haben.
⊓⊔

5.3 Primitive Einheitswurzeln 97
Lemma 5.2.20. Sei G eine Gruppe und H ✂ G ein Normalteiler. Wenn H und
G/H auflösbar sind, dann ist auch G auflösbar.
Beweis. Sei H ⊃ H 1 ⊃ . . . ⊃ H n = {1} eine Kette von Untergruppen mit H j−1 /H j
abelsch. Daraus konstruiert man die Kette G/H ⊃ G 1 /H ⊃ . . . ⊃ G l /H = H/H =
{1} von Untergruppen mit (G k−1 /H)/(G k /H) ∼ = G k−1 /G k abelsch und setzt das
Ganze zusammen zu
G ⊃ G 1 ⊃ . . . ⊃ G l = H ⊃ H 1 ⊃ . . . ⊃ H n = {1}.
Jetzt folgt die Behauptung aus Satz 5.2.19.
⊓⊔
Lemma 5.2.21. Sei G eine auflösbare Gruppe und H ✂ G ein Normalteiler. Dann
sind H und G/H auflösbar.
Beweis. Dies folgt aus H (j) ⊆ G (j) und ( G/H ) (j)
= G (j) H/H.
⊓⊔
Satz 5.2.22. Sei K ein Körper der Charakteristik char(K) = 0 und f ∈ K[X] durch
Radikale auflösbar. Weiter sei K = B 0 ⊆ B 1 ⊆ . . . ⊆ B r ein Körperturm mit
(a) B j = B j−1 (α j ) mit α nj
j ∈ B j−1 .
(b) B r enthält den Zerfällungskörper L von f und ist selbst ein Zerfällungskörper.
Wenn K alle p-ten Einheitswurzeln für alle Primteiler der n 1 , . . . , n r enthält,
dann ist Gal K (f) auflösbar.
Beweis. Nach Lemma 5.2.17 können wir annehmen, dass B r selbst Zerfällungskörper
eines Polynoms g ∈ K[X] ist. Nach Proposition 5.2.4 können wir weiter annehmen,
dass alle n j prim sind und nach Proposition 5.2.3 schließlich auch noch, dass
[B j : B j−1 ] = n j .
Setze G j := Gal(B r /B j ). Wegen Lemma 5.2.2 ist X n j
− α n j
j irreduzibel und
B j = B j−1 (α 1 ) der Zerfällungskörper von X nj − α n j
j über B j−1 . Mit Satz 5.2.14
finden wir
G j = Gal(B r /B j ) ✂ Gal(B r /B j−1 ) = G j−1
und mit Proposition 5.2.11
G j−1 /G j
∼ = Gal(Bj /B j−1 ) ∼ = Z/n j Z.
Aber dann sagt Lemma 5.2.20, dass G 0 = Gal(B r /K) auflösbar ist und Satz 5.2.14
liefert die Isomorphie Gal K (f) = Gal(L/K) ∼ = Gal(B r /K)/Gal(B r /L). Schließlich
zeigt Lemma 5.2.21 die Auflösbarkeit von Gal(B r /K)/Gal(B r /L), was dann die
Behauptung beweist.
⊓⊔
5.3 Primitive Einheitswurzeln
Satz 5.3.1. Sei K ein Körper und G eine endliche Untergruppe der multiplikativen
Gruppe des Körpers. Dann ist G zyklisch.
Beweis. Sei |G| = n und d | n. Wir behaupten, dass höchstens eine zyklische Untergruppe
C von G mit |C| = d gibt. Sei dazu g ∈ G mit ord(g) = d. Dann gilt y d = 1
für alle y in der von g erzeugten zyklischen Gruppe 〈g〉 (das sind d Stück). Wenn 〈g〉
nicht die einzige zyklische Gruppe mit d Elementen ist, dann gibt es d + 1 Elemente
z ∈ G mit z d = 1, was dazu führt, dass X d − 1 mindestens d + 1 Nullstellen hat.
Dieser Widerspruch beweist die Behauptung.

98 5 Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale
Nach dem Hauptsatz 3.3.3 über endlich erzeugte Moduln (hier angewendet
auf Z-Moduln) ist G isomorph zu einer direkten Summe von zyklischen Gruppen
⊕ j Z/n j Z. Da es zu jedem Teiler d von n j ein Element der Ordnung d in Z/n j Z
gibt, müssen nach obiger Behauptung die n j teilerfremd sein. Aber dann sagt der
Chinesische Restsatz 3.3.4, dass G ∼ = Z/( ∏ j n j)Z zyklisch ist.
⊓⊔
Korollar 5.3.2. Sei n ∈ N und K ein Körper. Dann gilt
(i) {ζ ∈ K | ζ n = 1} ist eine zyklische Gruppe bzgl. der Multiplikation im Körper.
(ii) Wenn K endlich ist, dann ist K × := K \ {0} bzgl. der Multiplikation eine zyklische
Gruppe.
Definition 5.3.3. Ist K ein endlicher Körper, so heißt jeder Erzeuger der zyklischen
Gruppe K × ein primitives Element von K.
Lemma 5.3.4. Sei α ∈ F p n primitiv. Dann gibt es ein irreduzibles Polynom f ∈
F p [X] mit deg(f) = n und f(α) = 0.
Beweis. Sei h ∈ F p [X] irreduzibel vom Grad d. Dann gilt (vgl. Satz 4.2.9) [F p (α) :
F p ] = d und h(α) = 0. Es folgt |F p (α)| = p d . Andererseits ist α primitiv in F p n, also
gilt auch F p (α) = F p n. Damit folgt die Behauptung.
⊓⊔
Satz 5.3.5. Es gilt Gal ( F p n/F p
) ∼= Z/nZ und der Erzeuger dieser zyklischen Gruppe
ist der Frobenius-Automorphismus σ 0 .
Beweis. Sei G := Gal(F p n/F p ) und α ∈ F p n primitiv mit Minimalpolynom f ∈
F p [X]. Dann gilt deg(f) = n nach Lemma 5.3.4 und σ ∈ G ist durch σ(α) vollständig
bestimmt. Da aber σ(α) Nullstelle von f sein muss, finden wir |G| ≤ n. Andererseits
ist der Frobenius-Automorphismus σ 0 ∈ G, weil β ∈ F p nach Korollar 4.3.9 genau
dann gilt, wenn β p = β. Wegen σ j 0 (α) = αpj haben wir σ j 0 = id genau dann, wenn
j ∈ Z/nZ und das zeigt G = {σ j 0 | j = 0, . . . , n − 1} ∼ = Z/nZ.
⊓⊔
Lemma 5.3.6. Sei n ∈ N und K Körper mit char(K) = 0 oder char(K) = p,
wobei p die Zahl n nicht teilt. Dann hat f = X n − 1 n verschiedene Nullstellen im
Zerfällungskörper L von f.
Beweis. Da die formale Ableitung f ′ = n X n−1 teilerfremd zu f ist, folgt dies aus
Proposition 4.3.7.
⊓⊔
Sei n ∈ N und K ein Körper sowie L n der Zerfällungskörper von X n − 1 über K.
Ein Erzeuger ζ der Gruppe {ξ ∈ L n | ξ n = 1} heißt primitive n-te Einheitswurzel
über K, wenn char K = 0 oder char(K) = p mit p ̸ | n.
Satz 5.3.7. Sei K ein Körper und α eine primitive n-te Einheitswurzel über K.
Dann ist Gal(K(α)/K) abelsch.

5.3 Primitive Einheitswurzeln 99
Beweis. Da α primitiv ist, folgt {ξ ∈ L n | ξ n = 1} ⊆ K(α) und X n − 1 zerfällt über
K(α). Es folgt L n ⊂ K(α). Umgekehrt K(α) ⊆ L n , weil α ∈ L n . Wir haben also
K(α) = L n . Außerdem sehen wir, dass für jedes σ ∈ Gal(K(α)/K) gilt σ(α) = α j(σ)
(mit passendem j(σ) ∈ Z). Da aber α, und somit auch σ(α), ein Erzeuger von
{ξ ∈ L n | ξ n = 1} ist, sehen wir ggT(j(σ), n) = 1 und dies zeigt, dass
Gal(K(α)/K) → Z/nZ
σ ↦→ j(σ) + nZ
ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. Daraus folgt aber direkt die Behauptung.
⊓⊔
Beispiel 5.3.8. Sei p ∈ N prim. Dann ist ζ = e 2πi
p
eine primitive p-te Einheitswurzel
über Q und X p −1 hat den Zerfällungskörper Q(ζ). Schreibe X p −1 = (x−1)Φ p
mit dem irreduziblen Kreisteilungspolynom Φ p (vgl. Korollar 4.4.8). Dann gilt
[Q(ζ) : Q] = p − 1 und nach Satz 5.3.7 und seinem Beweis ist Gal(Q(ζ)/Q) isomorph
zu einer Untergruppe von F × p . Mit F × ∼ p = Z/(p − 1)Z
Gal(Q(ζ)/Q) ∼ = (F p \ {0}, ·) ∼ = (Z/(p − 1)Z, +).
Satz 5.3.9. Sei K ein Körper der Charakteristik char(K) = 0 und ζ ∈ K eine n-te
primitive Einheitswurzel. Weiter sei L der Zerfällungskörper von f = X n −a ∈ K[X]
über K. Dann induziert die Einschränkung auf M = {α ∈ L | f(α) = 0} einen
injektiven Homomorphismus
ϕ : Gal(L/K) → Z/nZ.
Dieser ist surjektiv genau dann, wenn f irreduzibel über K ist.
Beweis. Sei α ∈ M. Dann gilt M = {α, ζα, . . . , ζ n−1 α} und für σ ∈ Gal(L/K)
haben wir σ(α) = ζ j α mit einem passenden j ∈ {0, . . . , n−1}. Durch ϕ(σ) := j+nZ
wird dann der gesuchte injektive Gruppenhomomorphismus ϕ : Gal(L/K) → Z/nZ
definiert. Er ist genau dann surjektiv, wenn Gal(L/K) transitiv auf M operiert und
das ist nach Proposition 5.2.12 genau dann der Fall, wenn f irreduzibel über K
ist.
⊓⊔
Satz 5.3.10. Sei K ein Körper der Charakteristik char(K) = 0 und f ∈ K[X]
auflösbar durch Radikale. Dann ist Gal K (f) ist auflösbar.
Beweis. Sei L der Zerfällungskörper von f über K. Dann gilt Gal K (f) = Gal(L/K).
Sei K = B 0 ⊆ B 1 ⊆ . . . ⊆ B t eine Radikalerweiterung mit B t ⊇ L. Nach Lemma
5.2.17 können wir annehmen, dass B t Zerfällungskörper von g ∈ K[X] ist. Sei
deg(f) = n und ζ eine primitive n!-te Einheitswurzel. Dann enthält K(ζ) alle p-
ten Einheitswurzeln für p | n! prim (vgl. Satz 5.2.22) und außerdem ist K(ζ) der
Zerfällungskörper von X n! − 1 über K. Betrachte die Kette von Erweiterungen
K ⊆ K(ζ) ⊆ B 1 (ζ) ⊆ . . . ⊆ B t (ζ).
Dann ist B t (ζ)/K eine Radikalerweiterung und Satz 5.2.14 liefert einen injektiven
Gruppenhomomorphismus
Gal ( B t (ζ)/K ) /Gal ( B t (ζ)/K(ζ) ) ↩→ Gal ( K(ζ)/K ) .

100 5 Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale
Aber Gal ( K(ζ)/K ) ist nach Satz 5.3.7 abelsch. Also ist Gal ( B t (ζ)/K(ζ) ) nach Satz
5.2.22 auflösbar. Aber dann ist nach Lemma 5.2.20 auch Gal ( B t (ζ)/K ) auflösbar.
Beachte, dass (nach obiger Annahme) B t (ζ) der Zerfällungskörper von (X n! −
1)g ∈ K[X] über K ist. Insbesondere haben wir K ⊆ L ⊆ B t (ζ). Mit Satz 5.2.14
finden wir die Isomorphie
Gal ( B t (ζ)/K ) /Gal ( B t (ζ)/L ) ∼ = Gal(L/K)
und Lemma 5.2.21 liefert schließlich die Auflösbarkeit dieser Gruppe.
⊓⊔
Satz 5.3.11 (Abel-Ruffini). Es gibt ein Polynom f ∈ Q[X] vom Grad deg(f) =
5, das nicht durch Radikale auflösbar ist.
Beweis. Das Polynom f = X 5 − 4X + 2 ∈ Q[X] ist nach dem Eisensteinkriterium
4.4.5 irreduzibel. Sei L ⊆ C der Zerfällungskörper von f. Aus der Analysis weiß
man, dass f als reelle Polynomfunktion drei reelle Nullstellen hat.
Beachte, dass Gal Q (f) die komplexe Konjugation enthält und außerdem gilt für
eine Nullstelle α von f:
|G| = [L : Q(α)] [Q(α) : Q] .
} {{ }
=5
Wir betrachten G als Untergruppe von S 5 und finden ein σ ∈ G der Ordnung
ord(σ) = 5. Damit enthält G ≤ S n enthält eine Transposition und einen 5-Zykel,
ist also (vgl. Übung 1.4.3) gleich S 5 . Aber dann ist G wegen G ′ = A 5 und A ′ 5 = A 5
nicht auflösbar (vgl. Übung 1.4.2).
⊓⊔
5.4 Der Hauptsatz der Galoistheorie
Definition 5.4.1. Sei G eine Gruppe. Ein Charakter von G in einem Körper
L ist ein Homomorphismus σ : G → L × = L \ {0}. Eine Menge {σ 1 , . . . , σ n }
von Charakteren σ j : G → L × heißt unabhängig, wenn sie als Teilmenge von
L G = {f : G → L} linear unabhängig ist.
Lemma 5.4.2 (Dedekind). Jede endliche Menge M von Charakteren G → L ×
ist unabhängig.
Beweis. Wir beweisen dies mit Induktion über |M|. Schreibe M = {σ 1 , . . . , σ n }.
n = 1: Wegen σ 1 ≠ 0 ist {σ 1 } linear unabhängig.
n∑
n > 1: Sei a j σ j = 0. Wenn es ein j mit mit a j = 0 gibt, dann zeigt Induktion,
j=1
dass alle anderen Koeffizienten auch gleich 0 sein müssen. Wir nehmen daher
an, dass a j ≠ 0 für alle j. Es gilt dann 0 = ∑ a j σ j (xy) = ∑ j
a jσ j (x)σ j (y)
j
und daher auch 0 = ∑ j
a j σ n (y) −1 σ 1 (x)σ j (y) für alle x, y ∈ G. Es ergibt sich
0 = ∑ j
a j
(
σn (y) −1 σ j (x)σ j (y) − σ j (x) ) =
n−1
∑
j=1
a j
(
σn (y) −1 σ j (y) − 1 ) σ j (x)
und jetzt zeigt Induktion, dass a j
(
σn (y) −1 σ j (y)−1 ) = 0 für j = 1, . . . , n−1.Dies
liefert σ n (y) = σ j (y) für j = 1, . . . , n − 1 und y ∈ G, also σ n = σ j und damit
einen Widerspruch.

5.4 Der Hauptsatz der Galoistheorie 101
⊓⊔
Korollar 5.4.3. Jede endliche Teilmenge {σ 1 , . . . , σ n } von Aut(L) ist, betrachtet
als Teilmenge von Aut(L × ) (hier Gruppenautomorphismen), linear unabhängig in
(L) L× .
Definition 5.4.4. Sei L ein Körper und G ⊆ Aut(L). Dann heißt
L G := {α ∈ L | σ(α) = α (∀ σ ∈ G)}
der Fixkörper von G in L (man verifiziert sofort, dass dies tatsächlich ein Unterkörper
ist).
Beispiel 5.4.5. (i) Sei L/K eine Körpererweiterung und G := Gal(L/K). Dann
gilt K ⊆ L G ⊆ L.
(ii) Sei L = K(X 1 , . . . , X n ) der Körper der rationalen Funktionen in den Variablen
X 1 , . . . , X n , d.h. der Quotientenkörper von K[X 1 , . . . , X n ]. Dann wirkt G := S n
auf L durch Permutation der Variablen, und L G ist der Körpter der symmetrischen
rationalen Funktionen, der von
erzeugt wird.
x 1 + . . . + x n ,
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + . . . + x n−1 x n ,
.
x 1 · · · x n
Lemma 5.4.6. Sei G = {σ 1 , . . . , σ n } ⊆ Aut(L). Dann gilt [L : L G ] ≥ n.
Beweis. Wir nehmen an, dass [L : L G ] = r < n und wählen eine L G -Basis
{α 1 , . . . , α r } für L. Das durch die Matrix ( σ j (α i ) ) i=1...r gegebene, homogene lineare
j=1...n
Gleichungssystem hat eine Lösung (x 1 , . . . , x n ) ≠ 0 (mehr Variablen als Gleichungen).
Wenn jetzt β ∈ L, dann läßt sich β als β =
r ∑
i=1
b i α i mit b i ∈ L G schreiben.
Multipliziert man die i-te Zeile des obigen Gleichungssystems mit σ 1 (b i ) = σ 2 (b i ) =
. . . = σ n (b i ), so findet man die Gleichung
0 = σ 1 (b i )σ 1 (α i )x 1 + . . . + σ n (b i )σ n (α i )x n = σ 1 (b i α i )x 1 + . . . + σ n (b i α i )x n .
Addiert man diese Gleichungen, ergibt sich σ 1 (β)x 1 + . . . + σ n (β)x n = 0 für alle
β ∈ L und somit ein Widerspruch zu Lemma 5.4.2.
⊓⊔
Satz 5.4.7. Für eine Untergruppe G = {σ 1 , . . . , σ n } ≤ Aut(L) gilt [L : L G ] = |G|.
Beweis. Wegen Lemma 5.4.6 bleibt nur zu zeigen, dass [L : L G ] ≤ |G|. Dazu nehmen
wir [L : L G ] > n an und wählen über L G linear unabhängige Elemente w 1 , . . . , w n+1
von L. Das durch die Matrix ( σ i (w j ) ) i=1...n gegebene lineare Gleichungssystem
j=1...n+1
hat wieder eine Lösung (x 1 , . . . , x n+1 ) ≠ 0 und wir wählen eine Lösung mit minimaler
Anzahl von Komponenten ungleich Null. Nach einer Umnumerierung haben wir
dann (x 1 , . . . , x r , 0, . . . , 0) mit x j ≠ 0 für j = 1, . . . , r und wir können auch x r = 1
annehmen. Beachte, dass r > 1, weil sonst σ 1 (w 1 )x 1 = 0, was auf σ 1 (w 1 ) = 0 führen
würde. Außerdem können nicht alle x j ∈ L G sein, weil für σ i = id die i-te Gleichung

102 5 Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale
∑
xj w j = 0 liefern würde, was im Widerspruch zur Wahl der w j steht. Wir können
o.B.d.A. annehmen, dass x 1 /∈ L G gilt und daher finden wir ein σ k mit σ k (x 1 ) ≠ x 1 .
Jetzt liefert die i-te Gleichung (i beliebig) σ i (w 1 )x 1 +. . .+σ i (w r−1 )x r−1 +σ i (w r ) = 0
und damit
( ) ( ) (
0 = σ k σi (w 1 )x 1 + . . . + σk σi (w r−1 )x r−1 + σk σi (w r ) )
} {{ }
} {{ }
} {{ }
σ l
σ l
σ l
= σ l (w 1 )σ k (x 1 ) + . . . + σ l (w r−1 )σ k (x r−1 ) + σ l (w r ).
Subtrahiert man jetzt die l-te Gleichung, findet man
σ l (w 1 ) ( )
σ k (x 1 ) − x 1 + . . . + σl (w r−1 ) ( )
σ k (x r−1 ) − x r−1 = 0,
} {{ }
≠0
d.h. die Lösung ( σ k (x 1 ) − x 1 , . . . , σ k (x r−1 ) − x r−1 , 0, . . . , 0 ) ≠ 0 liefert einen Widerspruch
zur Minimalität.
⊓⊔
Korollar 5.4.8. Sei L ein Körper und G und H endliche Untergruppen von Aut(L)
mit L G = L H . Dann gilt G = H.
Beweis. Behauptung: Für alle σ ∈ Aut L gilt: σ ∈ G ⇐⇒ σ| L G = id.
Um das zu zeigen, wähle zunächst σ ∈ G. Dann gilt σ(α) = α für alle α ∈ L G
und daher σ| L G = id. Umgekehrt, wenn für σ ∈ Aut(L) gilt σ| L G = id und σ nicht
in G ist, dann hat die von G und σ erzeugte Untergruppe 〈G ∪ {σ}〉 von Aut(L)
mehr als |G| Elemente. Wegen L G ⊆ L 〈G∪{σ}〉 finden wir mit Satz 5.4.7
|G| = [L : L G ] ≥ [L : L 〈G∪{σ}〉 ] = |〈G ∪ {σ}〉|
und dieser Widerspruch beweist die Behauptung.
Wendet man die analoge Behauptung jetzt auch auf H an, folgt das Korollar
sofort:
G = {σ ∈ Aut(L) | σ| L G = id } = {σ ∈ Aut(L) | σ| L H = id } = H.
⊓⊔
Bemerkung 5.4.9. Sei L/K eine Körpererweiterung und G = Gal(L/K). Dann
gilt K ⊆ L G ⊆ L und es stellt sich die Frage, wann K = L G gilt Ist zum Beispiel
K = Q und α ∈ R mit α 3 = 2, dann findet man L = Q(α) und es ergibt sich
Gal(L/K) = {1}, weil σ(α) 3 = 2 gelten muss, aber die komplexen Wurzeln nicht in
L sind.
Satz 5.4.10. Sei L/K eine endliche Körpererweiterung und G = Gal(L/K). Dann
sind folgende Aussagen äquivalent:
(1) K = L G .
(2) Jedes irreduzible Polynom p ∈ K[X] mit einer Nullstelle α ∈ L ist separabel und
zerfällt über L.
(3) L ist Zerfällungskörper eines separablen Polynoms f ∈ K[X].
Beweis. ”
(1)⇒(2)“: Schreibe {σ(α) | σ ∈ G} =: {α 1 , . . . , α n } und setze g :=
∏ n
j=1 (X − α j) ∈ L[X]. Dann liegen die Koeffizienten von g in L G = K, d.h.
g ∈ K[X]. Weiter gilt ggT(g, p) ≠ 1, weil beide Polynome von X − α in L[X]
geteilt werden. Aber dann gilt p | g, weil p irreduzibel ist und dies zeigt, dass p
keine mehrfachen Wurzeln hat (also separabel ist) und über L zerfällt.

5.4 Der Hauptsatz der Galoistheorie 103
” (2)⇒(3)“: Sei α 1 ∈ L \ K. Dann ist α 1 algebraisch über K, weil L/K endlich ist.
Sei p 1 ∈ K[X] das Minimalpolynom von α 1 . Wegen (2) ist p 1 separabel und
zerfällt über L. Wir bezeichnen Zerfällungskörper von p 1 über K mit K 1 . Wenn
L K 1 , wählen wir ein α 2 ∈ L \ K 1 und wiederholen das Argument. Der
Zerfällungskörper von p 1 p 2 werde dann mit K 2 bezeichnet. Wir fahren so fort
und erhalten K ⊆ K 1 ⊆ K 2 ⊆ . . . ⊆ K m = L (das Verfahren muss wegen der
Endlichkeit L/K terminieren). Da aber K m der Zerfällungskörper von p 1 · · · p m
ist, folgt (3).
(3)⇒(1)“: Nach Satz 5.2.9 gilt wegen (3), dass |G| = [L : K]. Aber wegen Satz
”
5.4.7 gilt auch [L : L G ] = |G| und das zeigt (1), weil K ⊆ L G .
⊓⊔
Definition 5.4.11. Eine endliche Körpererweiterung L/K heißt Galoiserweiterung,
wenn sie die äquivalenten Bedingungen von Satz 5.4.10 erfüllt.
Sei L/K eine Galoiserweiterung und K ⊆ E, F ⊆ L Zwischenkörper. Wenn es
einen Isomorphismus ϕ : E → F mit ϕ| K = id gibt, dann heißen E und F konjugiert.
Lemma 5.4.12. Sei L/K eine Galoiserweiterung und E ein Zwischenkörper. Dann
sind folgende Aussagen äquivalent:
(1) E ist nur zu sich selbst konjugiert.
(2) σ| E ∈ Gal(E/K) für alle σ ∈ Gal(L/K).
(3) E/K ist eine Galoiserweiterung.
Beweis. (1)⇒(2)“: Dies ist klar.
”
(2)⇒(3)“: Sei p ∈ K[X] irreduzibel mit Nullstelle β ∈ E. Da L/K eine Galoiserweiterung
ist, ist p separabel und zerfällt über L. Sei β ′ ∈ L Nullstelle von p. Nach
”
Korollar 4.2.11 gibt es einen Isomorphismus τ : K(β) → K(β ′ ) mit τ| K = id.
Nach Satz 4.2.16 gibt es dann auch ein σ ∈ Gal(L/K) mit σ| K(β) = τ. Jetzt
liefert (2), dass σ| E ∈ Gal(E/K) und daher insbesondere σ(β) ∈ E. Also zerfällt
p über E.
(3)⇒(1)“: E ist der Zerfällungskörper von f ∈ K[X] über K, also gilt E =
”
K(α 1 , . . . , α n ) mit den Nullstellen α 1 , . . . , α n } von f. Jedes σ ∈ Gal(L/K) permutiert
die α j ’s und daher gilt σ(E) = E. Nach Korollar 4.2.17 läßt sich jedes
τ : E → τ(E) mit τ| K = id zu einem ˜τ ∈ Gal(L/K) fortsetzen und es folgt
τ(E) = E.
⊓⊔
Definition 5.4.13. Ein Verband ist eine partiell geordnete Menge (L, ≤) in der
jedes Paar a, b ∈ L eine größte untere Schranke a∧b und eine kleinste obere Schranke
a ∨ b hat.
Beispiel 5.4.14. (i) Sei L/K eine Körpererweiterung
ZW(L/K) := {E | Zwischenkörper }.
Mit der Inklusion als Ordnung und E∧F = E∩F sowie E∨F = EF (Kompositum)
wird ZW(L/K) zu einem Verband.
(ii) Sei G eine Gruppe UG(G) := {H ≤ G | Untergruppe }. Mit der Inklusion als
Ordnung und H ∧ K = H ∩ K sowie H ∨ K = 〈H ∪ K〉 (erzeugte Gruppe) wird
UG(G) zu einem Verband.

104 5 Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale
Lemma 5.4.15. γ : L → L ′ sei eine ordnungsumkehrende (d.h. antitone) Bijektion
von Verbänden. Dann gilt
γ(a ∨ b) = γ(a) ∧ γ(b) und γ(a ∧ b) = γ(a) ∨ γ(b).
Beweis. Wenn a, b ≤ a ∨ b, dann gilt γ(a), γ(b) ≥ γ(a ∨ b), also γ(α) ∧ γ(b) ≥
γ(a ∨ b). Da γ surjektiv ist, gibt es ein c ∈ L mit γ(c) = γ(a) ∧ γ(b). Aber γ −1
ist automatisch ebenfalls antiton (Übung), was a, b ≤ c ≤ a ∨ b zeigt. Dies liefert
zunächst c = a ∨ b und dann γ(a ∨ b) = γ(a) ∧ γ(b). Die zweite Identität beweist
man analog (Übung).
⊓⊔
Satz 5.4.16 (Hauptsatz der Galoistheorie).
mit Galoisgruppe G = Gal(L/K).
(i) Die Abbildung
Sei L/K eine Galoiserweiterung
γ : UG(G) → ZW(L/K)
H ↦→ L H
ist eine antitone Bijektion mit Inversem
δ : ZW(L/K) → UG(G)
E ↦→ Gal(L/E).
(ii) Es gilt L Gal(L/E) = E und Gal(L/ L H ) = H.
(iii) Es gilt L H∨K = L H ∩ L K und L H∩K = L H ∨ L K .
(iv) Es gilt Gal ( L/(E ∨ F) ) = Gal(L/E) ∩ Gal(L/F) und Gal ( L/(E ∩ F) ) =
Gal(L/E) ∨ Gal(L/F).
(v) Es gilt [E : K] = [G : Gal(L/E)] und [G : H] = [L H : K].
(vi) E/K ist genau dann eine Galoiserweiterung, wenn Gal(L/E) ✂ G.
Beweis. (i) Aus K ≤ H folgt L H ≤ L K , also ist γ antiton. Die Injektivität von γ
folgt aus Korollar 5.4.8.
Ist L/K Galoiserweiterung, so ist L nach Satz 5.4.10 Zerfällungskörper von f ∈
K[X] über K, also auch Zerfällungskörper von f ∈ E[X] über E ∈ ZW(L/K).
Wieder mit Satz 5.4.10 sehen wir, dass L/E eine Galoiserweiterung ist. Aber
dann ist, nochmal mit Satz 5.4.10
E = L Gal(L/E) = γ · δ(E).
Dies zeigt γ ◦ δ = id und δ = γ −1 , d.h. die Behauptung.
(ii) Dies ist nur eine Umformulierung von γ ◦ δ = id und δ ◦ γ = id.
(iii), (iv) Dies folgt sofort aus Lemma 5.4.15, angewandt auf γ bzw. δ.
(v) Mit Satz 5.4.7 finden wir
[E : K] =
[L : K]
[L : E] = |G|
= [G : Gal(L/E)]
| Gal(L/E)|
und das liefert [L H : K] = [G : Gal ( L/L H) ] = [G : δ ◦ γ(H)] = [G : H].
(vi) Wenn E/K eine Galoiserweiterung ist, liefern Satz 5.2.14 und Satz 5.4.10, dass
Gal(L/E) ein Normalteiler in Gal(L/K) ist.
Umgekehrt, wenn H := Gal(L/ B ) ✂ G, dann gibt es zu σ ∈ G und τ ∈ H ein
τ ′ ∈ H mit τσ = στ ′ . Also gilt τσ(α) = σ(α) für alle α ∈ E, d.h. σ(E) ⊆ L H =
E. Aus Dimensionsgründen muss dann σ(E) = E gelten und dann zeigt Lemma
5.4.12, dass E/K eine Galoiserweiterung ist.
⊓⊔

5.4 Der Hauptsatz der Galoistheorie 105
Lemma 5.4.17. Sei L Zerfällungskörper von f ∈ K[X] über K und G = Gal(L/K).
Wenn ˜K/L eine Erweiterung ist und ˜L ⊇ L Zerfällungskörper von f ∈ ˜K[X] über
˜K, dann ist
ein injektiver Gruppenhomomorphismus.
Gal(˜L/˜K) → Gal(L/K)
σ ↦→ σ| L
Beweis. Schreibe L = K(α 1 , . . . , α n ) und ˜L = ˜K(α 1 , . . . , α n ) mit den Nullstellen
α 1 , . . . , α n von f in L. Jedes σ ∈ Gal(˜L/˜K) läßt die Menge {α 1 , . . . , α n } invariant.
Also gilt σ(L) = L (da ja σ| K = id) und wir sehen, dass die angegebene Abbildung
ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist. Da σ ist durch seine Werte auf
{α 1 , . . . , α n } vollständig bestimmt, folgt auch die Injektivität. ⊓⊔
Sei L/K eine Galoiserweiterung und α ∈ L × = L \ {0} sowie G := Gal(L/K). Dann
heißt
N(α) := ∏ σ(α)
σ∈G
die Norm von α.
Bemerkung 5.4.18. (i) N(α) ∈ K × für alle α ∈ L × (weil G-invariant).
(ii) Es gilt N(αβ) = N(α)N(β) für alle α, β ∈ L × und N(1) = 1, d.h. N : L × → K ×
ist ein Gruppenhomomorphismus.
(iii) Für α ∈ K × gilt N(α) = α n mit n = [L : K] = |G|.
(iv) N ( σ(α) ) = N(α) für alle α ∈ L × und alle σ ∈ G.
Lemma 5.4.19 (Hilberts Satz 90). Sei L/K eine Galoiserweiterung mit G =
Gal(L/K) ∼ = Z/nZ. Mit G = 〈σ〉 sind dann für α ∈ L × folgende Aussagen
äquivalent:
(1) N(α) = 1.
(2) Es gibt ein β ∈ L mit α = βσ(β) −1 .
Beweis. ”
(2)⇒(1)“: N(α) = N ( βσ(β) −1) = N(β)N ( σ(β) ) −1
= N(β)N(β) −1 = 1.
” (1)⇒(2)“: Setze δ 0 = α, δ 1 = ασ(α), . . . , δ n−1 = ασ(α)σ 2 (α) . . . σ n−1 (α). Dann
gilt δ n−1 = N(α) = 1.
Korollar 5.4.3 zeigt, dass {1, σ, σ 2 , . . . , σ n−1 } linear unabhängig in L L ist, also
gibt es ein γ ∈ L mit
β := δ 0 γ + δ 1 σ(γ) + · · · + δ n−2 σ n−2 (γ) + δ n−1
}{{}
=1
Jetzt zeigt ασ(δ j ) = δ j+1 für j = 0, . . . , n − 2, dass
σ(β) = α −1( δ 1 σ(γ) + · · · + δ n−1 σ n−1 (γ) ) +
σ n−1 (γ) ≠ 0.
σ n (γ)
} {{ }
=γ=α −1 δ 0γ
= α −1 β.
⊓⊔
Korollar 5.4.20. Sei L/K eine Galoiserweiterung und [L : K] = p prim. Wenn K
eine primitive p-te Einheitswurzel enthält, dann ist L/K rein.

106 5 Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale
Beweis. Sei w ∈ K primitive p-te Einheitswurzel. Dann gilt N(w) = w p = 1 und für
G = Gal(L/K) zeigt der Hauptsatz 5.4.16 der Galoistheorie |G| = p, also G ∼ = F p .
Mit einem Erzeuger σ schreiben wir G = 〈σ〉 und Lemma 5.4.19 liefert ein β ∈ L
mit w = βσ(β) −1 . Dann gilt σ(β) = βw −1 und mit σ(β p ) = (βw −1 ) p = β p folgt
β p ∈ L G = K. Wegen w ≠ 1 erhalten wir β /∈ K und für K(β) ∈ ZW(L/K) findet
man
[K(β) : K] | [L
} {{
: K
}
].
=p
Aber dann gilt [K(β) : K] = p das zeigt K(β) = L, d.h. die Behauptung.
⊓⊔
Satz 5.4.21 (Galois). Sei K eine Körper der Charakteristik char K = 0 und L/K
eine Galoiserweiterung mit auflösbarer Galoisgruppe G = Gal(L/K). Dann gibt
es eine Radikalerweiterung ˜L/K mit L ⊆ ˜L. Insbesondere gilt mit Satz 5.3.10 für
f ∈ K[X]:
f(x) durch Radikale auflösbar ⇐⇒ Gal K (f) auflösbar.
Beweis. Wir beweisen dies mit Induktion über [L : K]. Der Fall [L : K] = 1 ist klar.
Sei also [L : K] > 1. Korollar 5.2.19 liefert einen Normalteiler H ✂G mit [G : H] = p
prim. Sei jetzt w primitive p-te Einheitswurzel und ˜K := K(w). Für ˜L = L(w)
ist dann ˜L/K eine Galoiserweiterung (betrachte das Polynom f(X p − 1), wenn L
Zerfällungskörper von f ist). Da ˜L der Zerfällungskörper von X p − 1 über ˜K ist, ist
˜L/˜K eine Galoiserweiterung. Außerdem ist ˜K/K eine reine Erweiterung. Wenn jetzt
˜L ⊆ ˜F, ˜F/˜K eine Radikalerweiterung ist, dann ist ˜F/K eine Radikalerweiterung und
es gilt L ⊆ ˜F. Aber dann gilt
und ˜G ist auflösbar.
˜G := Gal(˜L/˜K) ϕ
↩→ Gal(L/K)
1. Fall Für | ˜G| < |G| gilt [˜L : ˜K] < [L : K] und Induktion liefert eine Radikalerweiterung
˜F/˜K mit ˜L ⊆ ˜F, was dann die Behauptung beweist.
2. Fall Für | ˜G| = |G| setze Ẽ := ˜L ˜H und ˜H = ϕ −1 (H). Dann gilt ˜G ϕ ∼ = G und
Ẽ/˜K ist Galoiserweiterung mit
[Ẽ : ˜K] = [ ˜G : ˜H] = [G : H] = p.
Aber ˜K/K ist rein und ˜L/Ẽ ist eine Galoiserweiterung mit
[˜L : Ẽ] = | ˜H| = |H| < [L : K].
Außerdem ist Gal(˜L/Ẽ) = ˜H auflösbar. Jetzt liefert wieder Induktion
eine Radikalerweiterung ˜F/Ẽ mit ˜L ⊆ ˜F. Mit Korollar 5.4.20 erhält man
jetzt
K rein
⊆
˜K
rein
⊆ Ẽ rad.
⊆ ˜F.
Also ist ˜F/K eine Radikalerweiterung, die ˜L enthält, und das zeigt die
Behauptung.
⊓⊔

5.4 Der Hauptsatz der Galoistheorie 107
Beispiel 5.4.22 (Regelmäßige n-Ecke). Das regelmäßige n-Eck ist genau dann
konstruierbar, wenn für die Primzahlzerlegung n = 2 k p k1
1 · · · pk m m gilt: k j = 1 und p j
ist eine Fermatsche Primzahl.
Nach Beispiel 4.5.7 bleibt nur noch zu zeigen, dass die p-te Einheitswurzel ζ p
für eine Fermatsche Primzahl p = 2 2l + 1 konstruierbar ist. Da nach Beispiel 5.3.8
die Galoisgruppe G := Gal(Q(ζ p )/Q) zyklisch der Ordnung p − 1 = 2 2l ist, findet
man eine Kette von zyklischen Untergruppen
{e} = H 0 ≤ H 1 ≤ . . . ≤ H 2 l = G,
für die |H j | = 2 j gilt. Für die zugehörigen Fixkörper L j gilt dann
Q = L 0 ⊆ L 1 ⊆ . . . ⊆ L 2l = Q(ζ p )
und [L j+1 : L j ] = 2, d.h. ζ p ist konstruierbar.
⊓⊔

Sachverzeichnis
Φ p , Kreisteilungspolynom, 86
κ g, Konjugation mit g, 19
Aff(V ), affine Gruppe, 18
A n , 21
Aut(G), 18
Aut K (L), Körperautomorphismen mit
Fixpunktmenge K, 93
Bij(M), Menge aller bijektiven Selbstabbildungen
von M, 3
c(f), Inhalt von f, 49
Cent(R), Zentrum eines Ringes R, 30
char(K), Charakteristik eines Körpers, 83
deg(f), Grad eines Polynoms, 32
D n, 3
ev x , Auswertung, 33
Fix(g), Fixpunkte, 15
F q, endlicher Körper mit q Elementen, 84
ggT(a 1 , . . . , a k ) für Ringe, 38
GL(V ), 18
Gal(L/K), Galoisgruppe einer
Körpererweiterung, 93
Gal K (f), Galoisgruppe eines Polynoms, 93
Hom(G, H), 18
Hom R (M, N), Modulhomomorphismen, 54
im ϕ, Bild eines Gruppenhomomorphismus,
19
Inn(G), 22
ker ϕ, Kern eines Gruppenhomomorphismus,
19
N(α), Norm bzgl. eine Galoiserweiterung,
105
Ord(a), Ordnung eines Gruppenelements,
25
Proj n (K), projektiver Raum, 6
rest ]c,d[ , Restriktion, 33
S n, symmetrische Gruppe, 3
Unit(R), Einheiten in einem Ring R, 30
K(α 1 , . . . , α n ), von K und den α j erzeugter
Unterkörper, 79
〈E〉, von E erzeugter Untermodul, 56
L G , Fixkörper einer Automorphismengruppe,
101
G x , Stabilisator von x in G, 13
G/U, Nebenklassenraum, 13
U\G, Nebenklassenraum, 13
[G : U], Index von U in G, 13
[L : K], Grad einer Körpererweiterung, 78
G\X, G-Bahnen, 7
G · x, G-Bahn, 7
I ✂ R, Ideal in einem Ring, 32
L/K, Körpererweiterung, 78
G (i+1) , höhere Kommutatorgruppen, 96
〈M〉, von M erzeugte Untergruppe, 12
N U (M), 12
R[X 1 , . . . , X k ], Polynomring, 32
R[X 1, . . . , X k ] d , homogene Polynome vom
Grad d, 32
U ≤ G, Untergruppe, 10
U ✂ G, Normalteiler in einer Gruppe, 21
Z U (M), 12
R × , Einheiten in einem Ring R, 30
Abbildung
gebrochen lineare, 8
Abel, Niels Hendrik (1802–1829), 100
Addition, 29
Adjunktion
von Elementen, 79
äquivariant, 14
algebraisch abgeschlossen, 71
algebraische Körpererweiterung, 79
algebraisches Element, 79
allgemeine lineare Gruppe, 4
alternierende Gruppe, 21
Assoziativgesetz
der Gruppenoperation, 1
assoziierte Elemente
eines Ringes, 38
auflösbare Gruppe, 96
Auflösbarkeit durch Radikale, 92
Auswertung
eines Ringhomomorphismus, 69
Auswertungshomomorphismus, 34
Automorphismus
Graphen-, 4
Gruppen-, 18

110 Sachverzeichnis
innerer, 19
Bahn
einer Gruppenwirkung, 7
Bahnenabbildung, 14
Bahnengleichung, 15
Bahnenraum
einer Gruppenwirkung, 7
Basis
eines Moduls, 56
Bild
eines Gruppenhomomorphismus, 19
eines Modulhomomorphismus, 55
Binomialformel
in Charakteristik p, 83
Burnside
Lemma von, 15
Burnside, William (1852–1927), 15
Cauchy
-Produkt, auf formalen Potenzreihen, 32
Charakter
einer Gruppe, 100
Charakteristik
eines Körpers, 83
charakteristische Polynom, 34
charakteristisches Polynom, 70
Chevalley, Claude (1909–1984), 72
Chinesischer Restsatz, 67
Darstellung
einer Gruppe, 8
Dedekind, (Julius Wilhelm) Richard
(1831–1916), 100
Delisches Problem, 89
Derivation
einer Polynomalgebra, 84
Diagramm
kommutatives, 58
Diedergruppe, 3
direkte Summe
von Moduln, 59
direktes Produkt
von Gruppen, 5
von Moduln, 59
Distributivgesetz, 29
Division mit Rest in einem euklidischen
Ring, 43
Divisionsring, 30
dynamisches System
reversibles, 8
Ecke
eines Graphen, 4
einfache
Körpererweiterung, 79
Einheit
in einem Ring, 30
Einparametergruppe, 18
diskrete, 18
Einselement
einer Gruppe, 1
Eisenstein
-Kriterium, 86
Eisenstein, Ferdinand Gotthold Max
(1823–1852), 86
Element
irreduzibles, 48
endliche Erweiterung, 78
Erlanger Programm, 6
Erweitedrungskörper, 78
Erweiterung
endliche, 78
reine, 92
Erzeugnis
in einem Modul, 56
euklidischer Algorithmus, 44
euklidischer Ring, 43
f.f.a., ”
für fast alle“, 11
Faktormodul, 55
Fermat
Primzahl, 90
Fixkörper
einer Automorphismengruppe, 101
Fixpunkt
einer Gruppenwirkung, 15
Frobenius
-Automorphismus, für Körper endlicher
Charakteristik, 83, 98
Frobenius, (Ferdinand) Georg (1849-1917),
83, 98
für fast alle, 11
G-Raum, 14
Galois
-Felder, 84
Erweiterung, 103
Galoisgruppe
einer Körpererweiterung, 93
Gauß
-Zahlen, 30
Gauß, Carl Friedrich (1777–1855), 30, 50
Gauß, Johann Friedrich Carl (Originalname),
30
gebrochen lineare Abbildung, 8
Grad
einer Körpererweiterung, 78
eines Polynoms, 32
Gradfunktion, 43
Graph, 4
-Automorphismus, 4
größter gemeinsamer Teiler, 38
Gruppe
abelsche, 1
affine, 18
allgemeine lineare, 4
auflösbare, 96

Sachverzeichnis 111
einfache, 22
orthogonale, 4
Quotienten-, 23
spezielle lineare, 4
spezielle orthogonale, 4
spezielle unitäre, 4
symplektische, 4
unipotente, 4
unitäre, 4
zyklische, 12, 24
Gruppen, 1
-Automorphismus, 18
-Darstellung, 8
-Homomorphismus, 18
-Isomorphismus, 18
-Operation, 6
-Tafel, 1
-Wirkung, 6
-Wirkung, transitive, 7
Gruppenordnung, 25
Halbgruppe, 1
Hauptideal, 33
Hauptidealring, 43
Hauptsatz der Galoistheorie, 104
Heisenberg
-Gruppe, 11
Heisenberg, Werner (1901–1976), 11
Hilbert
Satz 90, 105
Hilberts Satz 90, 105
homogener Raum, 7
homogenes Polynom, 32
Homomorphismus
Gruppen-, 18
Modul-, 54
Ring-, 32
Ideal, 32
-Links, 55
-Rechts, 55
maximales, 38
von einer Menge erzeugtes, 33
Index
einer Untergruppe, 13
Inhalt, 49
innere direkte Summe
von Untermoduln, 61
Integritätsbereich, 36
Invarianz
der Basislänge
für freie Moduln, 57
inverses Element
in einer Gruppe, 1
irreduzibles Element, 48
irreduzibles Polynom, 48
Isomorphiesatz
dritter, für Gruppen, 24
erster, für Gruppen, 23
zweiter, für Gruppen, 23
Isomorphismus
Gruppen-, 18
Modul-, 55
Ring-, 33
Isotropiegruppe, 13
Jordan
-Block, 71
-Normalform, 72
Jordan, Camille (1838–1922), 72
Jordan–Chevalley–Zerlegung, 72
Körper
perfekter, 91
Körpererweiterung, 78
separable, 91
Kante
eines Graphen, 4
Kern
eine Modulhomomorphismus, 55
eines Gruppenhomomorphismus, 19
eines Ringhomomorphismus, 33
Körper
algebraisch abgeschlossener, 71
Körpererweiterung
algebraische, 79
einfache, 79
transzendente, 79
Körpererweiterung, 46
Kommutativgesetz
für Gruppen, 1
multiplikativ, 29
Kommutatorgruppe, 21
Kompositum zweier Körper, 95
Konjugation, 19
Konjugationsklasse, 19
Konjugierte, 19
konjugierte Zwischenkörper, 103
konstruierbare
Punkte, 87
Zahlen, 87
Kreisquadrierung, 89
Kreisteilungspolynom, 86
Kürzungsregeln, 2
kurze exakte Sequenz, 62
Lagrange
Satz von, 15
Lagrange, Joseph Louis (1736–1813), 15
Leitkoeffizient, 32
Lemma
von Burnside, 15
von Gauß, 49
lexikographische Ordnung, 37
Lindemann, Ferdinand von (1852–1939),
89
Linearkombination
in einem Modul, 56

112 Sachverzeichnis
Linkswirkung
einer Gruppe, 6
Minimalpolynom
einer lineare Abbildung, 69
eines Körperelements, 80
Modul, 53
endlich erzeugter, 56
freier, 56
Links-, 53
Rechts-, 54
zyklischer, 54
Modulhomomorphismus, 54
monisches Polynom, 32
Monoid, 1
Multiindex, 31
Multiplikation, 29
Nebenklassen, 13
Norm
bzgl. eine Galoiserweiterung, 105
Normalisator, 12
Normalteiler, 21
normiertes Polynom, 32
Nullstelle
eines Polynoms, 75
Nullteiler, 36
Ordnung
eines Gruppenelements, 5, 25
lexikographische, 37
totale, 37
perfekter Körper, 91
Polynom, 32
charakteristisches, 34
homogenes, 32
irreduzibles, 48
normiertes, 32, 69, 71
separables, 91
Polynomdivision, 42
Potenzreihe
formale, 31
Primelement, 38
Primideal, 38
primitiv, 48
primitive Einheitswurzel, 98
primitives Element, 98
Primkörper, 83
Primzerlegung
eindeutige, 46
Projektionen
kanonische, auf Untermoduln, 61
projektiver Raum, 6
Quaternionen, 31
Quotientengruppe, 23
Quotientenkörper, 37
eines Integritätsbereiches, 38
Quotientenmodul, 55
Quotientenring, 34
Radikalerweiterung, 92
Rang
eines Moduls, 57
rationale Normalform
einer linearen Abbildung, 70
Rechtswirkung
einer Gruppe, 10
reine Erweiterung, 92
Repräsentantensystem
für Nebenklassen, 20
Restklassen, 35
Ring, 29
faktorieller, 46
kommutativer, 29
Ruffini, Paolo (1765–1822), 100
Satz
Abel-Ruffini, 100
von Gauß, 50
Schiefkörper, 30
separable Körpererweiterung, 91
separables Polynom, 91
Signum
einer Permutation, 18
Spann
in einem Modul, 56
spezielle lineare Gruppe, 4
Stabilisator, 13
symmetrische
Gruppe, 3
Teiler, 38
teilerfremd, 38, 48
transzendente Körpererweiterung, 79
Unabhängigkeit
von Gruppencharakteren, 100
Unabhängigkeit
in einem Modul, 56
universelle Eigenschaft
freie Moduln, 58
Untergruppe, 10
charakteristische, 21
erzeugte, 12
nicht-triviale, 10
normale, 21
Untergruppenkriterium, 11
Untermodul, 54
von einer Menge erzeugter, 56
Unterring, 30
Verband, 103
Winkeldreiteilung, 89
Wirkung, 6
Wurzel

Sachverzeichnis 113
eines Polynoms, 75
Zentralisator, 12
Zentrum
einer Gruppe, 12
eines Rings, 30
Zerfällungskörper, 81
zyklische Gruppe, 12
zyklischer Modul, 54
zyklischer Vektor
einer linearen Selbstabbildung, 70