Skript - Universität Paderborn

1.2 Gruppenwirkungen 7
Definition 1.2.3. Sei G eine Gruppe und Φ: G × X → X eine Gruppenwirkung.
Dann heißt X ein homogener Raum und Φ transitiv, wenn es zu x, y ∈ X ein
g ∈ G mit g · x = y gibt.
Beispiel 1.2.4. Im regelmäßigen Sechseck ist die Menge der Ecken ein homogener
Raum bzgl. der Diedergruppe D 6 (sogar schon bzgl. der Untergruppe der Rotationen
darin). Zerstört man die Symmetrie des Sechsecks durch Veränderung der
Längenverhältnisse, so kann man nicht mehr alle Ecken durch Anwendung von Symmetrien
ineinander überführen.
⊓⊔
Definition 1.2.5. Sei G × X → X eine Gruppenwirkung. Man nennt die Menge
G · x die Bahn von x unter der Gruppenwirkung. Die Menge aller Bahnen wird mit
G\X bezeichnet und heißt der Bahnenraum der Wirkung.
Proposition 1.2.6. Sei G × X → X eine Gruppenwirkung. Dann definiert
x ∼ y :⇔ ∃g ∈ G mit g · x = y
eine Äquivalenzrelation auf X. Die Äquivalenzklasse von x ∈ X ist gegeben durch
G · x = {g · x | g ∈ G}.
Beweis. Übung.
⊓⊔
Es folgt sofort aus der Definition von ∼, dass (g, x) ↦→ g · x auf jeder Bahn eine
transitive Wirkung definiert. Das bedeutet, man kann für jede Gruppenwirkung
G×X → X den Raum X in eine disjunkte Menge von homogenen Räumen zerlegen.
Die Anzahl der Bahnen ist dann eine Maßzahl für den Grad der Symmetrie der
Menge X.
Beispiel 1.2.7. (i) {1, . . . , n} ist bzgl. der Wirkung von S n via (σ, k) ↦→ σ(k) ein
homogener Raum.
(ii) Die n-Sphäre S n = {v ∈ R n+1 : ‖v‖ = 1} bzgl. der euklidischen Norm v ↦→ ‖v‖
ist ein homogener Raum bzgl. der Wirkung (g, v) ↦→ gv von SO(n + 1) auf S n
(Übung; Hinweis: kombiniere mehrere Rotationen).
(ii’) Die Bahnen in R n+1 unter der Wirkung (g, v) ↦→ gv von SO(n + 1) sind der
Nullpunkt sowie n-Sphären S n (r) = {v ∈ R n+1 : ‖v‖ = r} für r > 0.