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72 3 Moduln Satz 3.4.7 (Jordan–Normalform). Wenn K algebraisch abgeschlossen ist, dann gibt es zu jedem ϕ ∈ End K (V ) eine Basis für V , bzgl. der die darstellende Matrix von ϕ in Jordan-Normalform ist. Beweis. Kombiniere Proposition 3.4.6 mit Lemma 3.4.5. ⊓⊔ Korollar 3.4.8. Sei K algebraisch abgeschlossen. Ein Endomorphismus ϕ ∈ End K (V ) ist diagonalisierbar genau dann, wenn das Minimalpolynom q ϕ von ϕ keine mehrfachen Nullstellen hat. Beweis. ϕ ist genau dann diagonalisierbar, wenn alle Jordanblöcke trivial sind (d.h. 1 × 1-Matrizen). Nach Proposition 3.4.6 und Lemma 3.4.5 bedeutet das gerade, dass jedes q j nur einfache Nullstellen hat. Jetzt zeigt Proposition 3.4.1, dass q ϕ nur einfache Nullstellen hat. Umgekehrt sind aber alle q j Teiler von q ϕ , haben also nur einfache Nullstellen, wenn q ϕ nur einfache Nullstellen hat. Damit folgt die Behauptung. ⊓⊔ Satz 3.4.9 (Jordan–Chevalley–Zerlegung). Sei K algebraisch abgeschlossen und ϕ ∈ End K (V ). Dann gibt es eindeutig bestimmte Elemente ϕ d , ϕ n ∈ End K (V ) mit folgenden Eigenschaften: (i) ϕ = ϕ d + ϕ n . (ii) ϕ d ist diagonalisierbar. (iii) ϕ n ist nilpotent. (iv) ϕ d ◦ ϕ n = ϕ n ◦ ϕ d . Es gibt ein Polynom f d ∈ K[X] ohne konstanten Term mit f d (ϕ) = ϕ d . Insbesondere gilt ϕ d (U 2 ) ⊆ U 1 , wenn U 1 ⊆ U 2 Unterräume von V mit ϕ(U 2 ) ⊆ U 1 sind. Beweis. Idee: 3.3.1. Benütze die Jordan-Normalform 3.4.7 und den Chinesischen Restsatz Die Existenz von ϕ d , ϕ n ∈ End K (V ) mit den Eigenschaften (i)-(iv) erhält man aus der Jordan-Normalform (d.h. Satz 3.4.7) und die Eindeutigkeit aus dem Umstand, dass nur die Nullabbildung diagonalisierbar und nilpotent ist (Übung). Der Beweis der Existenz von f d liefert einen unabhängigen Beweis der Existenz von ϕ d und ϕ n : Sei χ ϕ = ∏ k i=1 (X − λ i) m i das charakteristische Polynom von ϕ. Nach dem Chinesischen Restsatz in der Version von Übung 3.3.1 finden wir ein Polynom f d ∈ K[X] mit f d ∈ λ i + (X − λ i ) mi K[X] i = 1, . . . , k und (falls alle λ i ≠ 0) f d ∈ XK[X]. Betrachte die ϕ-invarianten Unterräume V i := ker (ϕ − λ i id) m i . Es folgt, dass f d (ϕ)| Vi = λ i id | Vi und ( ) mi (ϕ − fd (ϕ))| Vi = 0. Da V = ⊕ k i=1 V i eine ϕ-invariante direkte Summenzerlegung ist, folgt, dass f d (ϕ) diagonalisierbar ist und ϕ − f d (ϕ) nilpotent. Damit folgt die Behauptung. ⊓⊔
3.4 Anwendung auf lineare Abbildungen 73 Übung 3.4.2 (Minimalpolynom). Sei V = R 3 und ϕ ∈ End R (R 3 ) gegeben durch ϕ(x) = Ax mit ⎛ ⎞ 1 1 0 A := ⎝0 1 0⎠ . 0 0 2 Betrachte V mit der von ϕ induzierten R[X]-Modulstruktur, p · x := p(ϕ)x für p ∈ R[X] und x ∈ V . Bestimme einen ϕ-zyklischen Vektor von V und das Minimalpolynom von ϕ.
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Algebra WS 2011/2012 Joachim Hilger
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Inhaltsverzeichnis 1 Gruppen. . . .
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2 1 Gruppen ◦ g 1 g 2 g 3 . . . g
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4 1 Gruppen Beispiel 1.1.7 (Graphen
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6 1 Gruppen Übung 1.1.10 (Abelsche
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8 1 Gruppen (iii) Sei C + := {z ∈
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10 1 Gruppen Übung 1.2.6. Seien G
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12 1 Gruppen (i) Für jede Familie
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14 1 Gruppen Die Abbildung G/U →
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16 1 Gruppen X M x g G Damit könne
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18 1 Gruppen 1.4 Homomorphismen, No
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20 1 Gruppen (iii) ϕ ist genau dan
Seite 26 und 27: 22 1 Gruppen (vii) Sei ϕ: G → H
Seite 28 und 29: 24 1 Gruppen (ii) gN = Ng für alle
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Seite 36 und 37: 32 2 Ringe R[[X 1 , . . . , X k ]]
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Seite 67 und 68: 3.3 Moduln über euklidischen Ringe
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Seite 75: 3.4 Anwendung auf lineare Abbildung
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Seite 82 und 83: 78 4 Körpererweiterungen ⊓⊔ Ü
Seite 84 und 85: 80 4 Körpererweiterungen (ii) Sei
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Seite 88 und 89: 84 4 Körpererweiterungen Propositi
Seite 90 und 91: ̸ ̸ ̸ ̸ 86 4 Körpererweiterung
Seite 92 und 93: 88 4 Körpererweiterungen Beweis. D
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