Skript - Universität Paderborn

1.4 Homomorphismen, Normalteiler und Quotientengruppen 25
Definition 1.4.19. Sei G eine Gruppe und a ∈ G. Dann heißt die Anzahl der
Elemente in der von a erzeugten Untergruppe 〈a〉 von G die Ordnung von a. Sie
wird mit Ord(a) bezeichnet und ist entweder ∞ oder gleich der kleinsten positiven
Zahl k, für die a k = e G gilt.
Bemerkung 1.4.20. Nach dem Satz von Lagrange (vgl. Bemerkung 1.3.14) teilt
für endliche Gruppen die Ordnung jedes Elements die Gruppenordnung, d.h. die
Anzahl der Elemente in G.
⊓⊔
Übung 1.4.4. Sei n ∈ Z und m ein Teiler von n.
(i) Zeige, dass
k + nZ ↦→ k + mZ
einen surjektiven Homomorphismus ϕ n,m : Z/nZ → Z/mZ definiert.
(ii) Sei (Z/nZ) × := {k + nZ ∈ Z/nZ | ggT(k, n) = 1}. Zeige, dass (Z/nZ) × bzgl.
(i + nZ) (j + nZ) := ij + nZ
eine abelsche Gruppe ist.
(iii) Zeige, dass ϕ n,m einen surjektiven Gruppen-Homomorphismus
induziert.
Übung 1.4.5. (i) Zeige, dass
SL(2, Z) :=
(Z/nZ) × → (Z/mZ) ×
{( )
}
a b
: a, b, c, d ∈ Z; ad − bc = 1
c d
bzgl. der Matrizenmultiplikation eine Gruppe ist.
(ii) Betrachte neben der Addition auch die Multiplikation (i + nZ) (j + nZ) := ij + nZ auf
Z/nZ und übertrage die normale Matrizenmultiplikation auf Matrizen mit Einträgen
in Z/nZ. Zeige, dass
{( )
}
a b
SL(2, Z/nZ) := : a, b, c, d ∈ Z/nZ; ad − bc = 1 + nZ
c d
bzgl. dieser Matrizenmultiplikation eine Gruppe ist.
(iii) Zeige, dass durch
( ) ( )
a b a + nZ b + nZ
↦→
c d c + nZ d + nZ
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus
definiert wird.
SL(2, Z) → SL(2, Z/nZ)
Proposition 1.4.21. Sei G eine Gruppe, G ′ die Kommutatorgruppe von G, und
U ≤ G. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(1) G ′ ⊆ U.
(2) U ist normal in G und G/U ist abelsch.