Skript - Universität Paderborn

3.1 Die Modulaxiome 55
(ii) Seien V und W zwei K-Vektorräume. Dann ist jede K-lineare Abbildung ϕ: V →
W ein K-Modulhomomorphismus.
(iii) Die Verknüpfung von Modulhomomorphismen ist ein Modulhomomorphismus.
(iv) Das Inverse eines bijektiven Modulhomomorphismus ist ein Modulhomomorphismus
(Isomorphismus).
(v) Sei ϕ: M → N ein Modulhomomorphismus sowie M ′ ⊆ M und N ′ ⊆ N Untermoduln.
Dann ist ϕ −1 (N ′ ) ein Untermodul von M und ϕ(M ′ ) ein Untermodul
von N. Insbesondere ist der Kern ker ϕ := ϕ −1 (0) ein Untermodul von M und
das Bild im ϕ := ϕ(M) ein Untermodul von N.
(vi) Betrachte R als Links- oder Rechts-R-Modul. Wenn I ⊆ R ein Untermodul ist,
dann heißt I ein Links- bzw. Rechts-Ideal.
⊓⊔
Bemerkung 3.1.7. (i) Wenn R ein Körper ist, reduzieren sich die Begriffe Untermodul
und Modulhomomorphismus zu ”
Untervektorraum“ und ”
Lineare Abbildung“.
(ii) Wenn R = Z ist, dann ist jede Untergruppe auch Untermodul und jeder Gruppenhomomorphismus
auch Modulhomomorphismus.
⊓⊔
Beispiel 3.1.8. (i) C k (R) ist C ∞ (R)-Untermodul von C(R).
(ii) {(r 1 , . . . , r k , 0, . . . , 0) | r j ∈ R} ist ein Untermodul von R n .
(iii) ρ r : R → R, s ↦→ s · r ist Modulhomomorphismus.
(iv) Die Ableitung
D : C ∞ (R) → C ∞ (R)
f ↦→ df
dt
ist R-Modulhomomorphismus, nicht aber C ∞ (R)-Modulhomomorphismus.
{ ( ) ∣∣∣
a 0
}
(v)
a, c ∈ R ist Links-Ideal in Mat(2 × 2, R), nicht aber Rechts-Ideal.
c 0
⊓⊔
Übung 3.1.1. Sei M ein R-Modul und N ein Untermodul von M. Weiter sei
die Menge aller N-Nebenklassen. Zeige:
(i) M/N ein R-Modul via
M/N := {m + N | m ∈ M}
r(m + N) = rm + N, (m 1 + N) + (m 2 + N) = (m 1 + m 2) + N.
(ii) Die Abbildung π : M → M/N, m ↦→ m + N ist surjektiver R-Modulhomomorphismus
mit Kern N.
(iii) Sei ϕ: M → L ein R-Modulhomomorphismus mit Kern N. Dann ist im ϕ = ϕ(M)
isomorph zu M/N.
Man nennt M/N den Quotientenmodul oder Faktormodul von M nach N.
Übung 3.1.2. Sei M eine R-Modul und I ein Ideal in R. Zeige:
(i) IM = { ∑ endl. r jm j : r j ∈ I, m j ∈ M} ein Untermodul von M.